【备战2023高考】数学专题讲与练-考向08《函数的奇偶性、周期性与对称性》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性

【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.

【2022年新高考全国II卷】已知函数的定义域为R，且，则（       ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．


1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
2.周期性技巧

3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
4.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．

1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有.
(2)如果函数是偶函数，那么.
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性
3.函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值:
(1)若，则.
(2)若，则.
(3)若，则.
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.
(2)若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称.
(3)若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称.
5.两个奇偶函数四则运算的性质
（1）两个奇函数的和仍为奇函数；
（2）两个偶函数的和仍为偶函数；
（3）两个奇函数的积是偶函数；
（4）两个偶函数的积是偶函数；
（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

1．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.


1．（2022·全国·模拟预测（理））若幂函数满足，则下列关于函数的说法正确的是（       ）
①不是周期函数             ②是单调函数             ③关于原点对称             ④关于点对称
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（       ）
A．－2 B．2 C．3 D．
3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若函数满足，且当时，，则（       ）
A． B．10 C．4 D．2
5．（2022·江西省丰城中学模拟预测（文））已知定义域为的奇函数，则的值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
6．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
7．（2022·全国·模拟预测）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．

1．（2022·上海·位育中学模拟预测）定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，若 ， 则（       ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（       ）
A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数
C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知是上的奇函数，当时，，则满足的m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（       ）
A． B． C．0 D．2
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
7．（2022·重庆八中模拟预测）定义域为的偶函数，满足．设，若是偶函数，则（       ）
A． B． C．2021 D．2022
8．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）定义在R上的奇函数满足，当时，，则（       ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2022·海南海口·二模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（       ）
A． B． C． D．
10．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
11．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（       ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
12．（2022·广西·南宁三中二模（文））若函数的图象关于直线对称，则_______．
13．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则_________．
14．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图像关于直线对称，，则_______.
15．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围______．
16．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知函数（其中是自然对数的底数），若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件一个直线的方程即可）.
17．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为___________；（2）计算___________.



1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（       ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
7．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
8．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
9．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
11．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
12．（2020·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
13．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．



1．【答案】C
【解析】∵，即，则
构建，则
令，则
在上单调递减，在上单调递增
则当且仅当时等号成立
∴，则，
若是周期函数，则存在非零实数，使得对任意的总成立，
但时，无意义，，故两者不相等，故不是周期函数，
①正确；
不是单调函数，②错误；
，不是奇函数，③错误；
关于点对称，④正确；
故选：C．
2．【答案】D
【解析】由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又，
，的周期为4.
.
故选：D.
3．【答案】A
【解析】令，
，是R上的奇函数，，即，
又，所以．
故选：A．
4．【答案】B
【解析】解：由，得，
∴函数是周期函数，且4是它的一个周期，
又当时，，
∴；
故选：B.
5．【答案】A
【解析】依题意得，解得，
由，得，
所以.
故选：A.
6．【答案】1
【解析】由题意，，即，
所以，化简得，解得．
故答案为：1
7．【答案】
【解析】由①知的图象关于直线对称，由②知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为．
故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可）



1．【答案】C
【解析】设，
则，
因为为奇函数，为偶函数，化简得：
，解得：
.
故选：C.
2．【答案】D
【解析】即①，
在①中将变换为，则，则，
又因为，所以，所以②，
在②将变换为，所以，所以，
所以的周期为.
因为，所以，
所以为奇函数.
故选：D.
3．【答案】D
【解析】因为函数在上均为减函数，
∴在上为减函数.又，且是上的奇函数，∴在上为减函数.
又，得或，解得或.
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
4．【答案】C
【解析】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，
故选：C.
5．【答案】B
【解析】根据题意，函数是偶函数，
则函数的对称轴为，
则有，
又由函数的图象关于点成中心对称，
则，
则有，即，
变形可得，
则函数是周期为8的周期函数，
，
故选：B.
6．【答案】B
【解析】因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
7．【答案】C
【解析】∵，
∴，又为偶函数，
∴，即，
∴，又是定义域为R偶函数，
∴，
∴周期为4，又，
∴，
∴.
故选：C.
8．【答案】A
【解析】因为，且为奇函数，
所以，
所以，
故为周期为8的周期函数，
所以
又当时，，
所以，
所以，
故选：A
9．【答案】B
【解析】因为的图象关于对称，则是偶函数，
，且，
所以，对任意的恒成立，所以，，
因为且为奇函数，所以，，
因此，.
故选：B.
10．【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，
因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，
因为，则，
所以，由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
11．【答案】C
【解析】函数是R上的奇函数，则
设，则，则函数的图像关于点对称
函数图像与函数关于对称，
所以函数的图像关于对称，所以
故选：C
12．【答案】7
【解析】由题意，即，
所以，即，解得，
此时，

，满足题意．
所以，．
故答案为：7．
13．【答案】
【解析】因为函数满足对任意恒成立，
所以令，即，解得，所以对任意恒成立，
又函数的图象关于点对称，将函数向右平移个单位得到，
所以关于点，即为上的奇函数，所以，
又对任意恒成立，令，得，
即，再令，得，分析得，
所以函数的周期为，因为，所以在中，
令，得，所以.
故答案为：.
14．【答案】3
【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以函数的图像关于直线对称，即函数是偶函数，则有；
因为对任意，都有，
令，得，
所以对任意，都有，即函数的周期为，
则，
故答案为：.
15．【答案】
【解析】，
因为在上为增函数，
所以在上为增函数，
因为，
所以可化为，
因为在上为增函数，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即实数的取值范围，
故答案为：
16．【答案】（不唯一）
【解析】在上单调递增，
，，
曲线关于点中心对称，

在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线上.
所以，直线上的点都满足，即直线在表示的半平面内，
故直线斜率为，纵截距小于等于2，如等.
故答案为：（不唯一）
17．【答案】         
【解析】（1），，
令，解得，
∴，
∴函数的对称中心为；
（2）∵的对称中心为，
∴，
∴，
，
故答案为：（1）；（2）.

1．【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
3．【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
4．【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
5．【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
6．【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
7．【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
8．【答案】D
【解析】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
9．【答案】BC
【解析】因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
10．【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
11．【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
12．【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
13．【答案】     ；     ．
【解析】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．