【备战2023高考】数学专题讲与练-考向17《任意角、弧度制及任意角的三角函数》（重点）全能练（新高考地区专用）

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【2022·全国·高考真题（理）】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以．
故选：B．
【2021·北京·高考真题】若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】与关轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为．
故答案为：（满足即可）．
（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角．
（2）确定的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置．
（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．
（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
v
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2．弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】A
【解析】根据题意作图如下，
由题意知：的长为，为的中点，，
，即所求距离约为米.
故选：A.
2．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点作轴与点，
在直角中，，
所以，
因为，所以，可得，
由题意，
所以点的坐标次一个循环，即周期为，
又因为，所以.
故选：B.
3．（2022·北京·人大附中三模）半径为的圆的边沿有一点，半径为的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设、两点再次重合小圆滚动的圈数为，则，其中、，
所以，，则当时，.
故、两点再次重合小圆滚动的圈数为.
故选：D.
4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【解析】由题知：
设角的终边上一点，则.
当时，，，，
.
当时，，，，
.
故选：C
1．（2022·全国·模拟预测）已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】是角的终边上一点，由三角函数定义可得
，，
所以.
故选：C.
2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，
.
故选：D.
3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的高为h
则，
解得：，
设截面在圆锥底面的轨迹，
则截面等腰三角形的高，
所以截面面积
，
当且仅当，即等号成立，
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习（理））济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，
在中，，所以，，
所以在直角三角形中，，所以，所以，而，
所以，所以.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km；当很小时，，．）（ ）
A．9 cmB．11 cmC．9 mD．11 m
【答案】C
【解析】如右图．记地球半径为R，绳索比地球赤道长2x=0.02，则
由题述近似可得所以．
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习（理））若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，
可得：，而符号不确定，
又为第一或三象限角，
，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定
综上所述，必定为正值的只有一个
故选：．
7．（2022·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.
故选：C．
8．（2022·全国·高三专题练习）设是第三象限角，且，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
若为奇数，可设，则，
此时为第四象限角；
若为偶数，可设，则，
此时为第二象限角.
因为，则，故为第二象限角.
故选：B.
9．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：，
由题得，所以.
故选：B
10．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】角的终边的经过，
所以，，
所以，，
所以．
故选：B．
11．（2022·全国·高三阶段练习）已知，，是三个互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数最多有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为，，是三个互不相同的锐角，
所以
，
所以在，，三个值中，不会全部大于，
若令，，，则，
，
所以大于的个数最多有2个.
故选：C
12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为角的终边上一点，
所以，
又，
所以为第四象限角，
所以，
又因，
所以.
故选：C.
13．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）“角，的终边关于轴对称”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若角，的终边关于轴对称，则sinα＝csβ，则；
若，则，则sinα＝±csβ，则角，的终边关于或y＝－x轴对称；
综上，“角，的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
【答案】
【解析】解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以.又，
所以，
所以，
故.
故答案为：
15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．
【答案】
【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，
即．
故答案为：．
16．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则___________.
【答案】
【解析】因在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称，
则有，即，而，
所以，，.
故答案为：
17．（2022·上海青浦·二模）已知角的终边过点，则的值为_________．
【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，
所以.
故答案为：-2.
18．（2022·全国·模拟预测）已知为第三象限角，且，则______．
【答案】
【解析】因为为第三象限角，且，所以，，
所以．
故答案为：.
19．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【答案】 ; .
【解析】由题意可知：，
所以弧长，弧田的面积，
故答案为：；.
1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以．
故选：B．
2．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【解析】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D．
3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
4．（2019·北京·高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
【答案】B
【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β， 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+
．
故选B．
5．（2015·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】终边在轴正半轴上的角的集合是
故选：A
6．（2011·全国·高考真题（理））已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知条件可知，点在直线上，则，，
所以，．
故选：B．
7．（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论．
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线．
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误．
综上，故选C．
8．（2014·全国·高考真题（文））已知角的终边经过点，则=
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以．故选D．
考点：三角函数的概念．
9．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为．
故答案为：（满足即可）．
10．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得．
故答案为：
11．（2017·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若，则=___________．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以．
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
12．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________．
【答案】
【解析】
【详解】
如图，连结AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知的长为2．
∵圆的半径为1，
∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－．
∴DP＝AP·sin＝－cs 2，
∴PC＝1－cs 2，
DA＝APcs＝sin 2．
∴OC＝2－sin 2．
故＝（2－sin 2，1－cs 2）．
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
R
＋
＋
－
－
R
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线