【备战2023高考】数学专题讲与练-考向03《不等式性质与一元二次不等式》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向03  不等式性质与一元二次不等式 【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A. 【2022年新高考全国II卷】（多选题）若x，y满足，则（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．(3)解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(4)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．3．已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．4．已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．5．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．6．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；9．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 1．比较大小基本方法 关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性3．元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）①若，解集为．②若，解集为．③若，解集为．(2) 当时，二次函数图象开口向下．①若，解集为②若，解集为1．（多选题）（2022·福建·三明一中模拟预测）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性质与基本不等式判断.【详解】，，A错；，，成立，即B正确；，得，当且仅当时取等号，同理，，当且仅当时取等号，又，即不同时等于1，，C正确；当时，，D错.故选：BC2．（多选题）（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，且，则下列说法中正确的有（       ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式判断ABC，举反例判断D．【详解】由题意，当且仅当时等号成立，A正确；，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，C正确；，时，，D错误．故选：ABC．3．（2022·海南华侨中学模拟预测）不等式的解集为，则__________．【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得的值.【详解】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且，所以，，解得.故答案为：.4．（2022·全国·模拟预测）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.【答案】【解析】【分析】先解出的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由，得,令，， “”是“”成立的必要不充分条件，.（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.故答案为：中任何一个均可.1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，求出结合条件可得结果.【详解】设，可得，解得，，因为可得，所以.故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】因为，所以，对于A：，，所以，故A错误；对于B：，所以在上为增函数，又，所以，故B错误；对于C：，因为，，所以，所以，故C错误；对于D：，因为，，所以，即，故D正确.故选：D3．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（       ）A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【详解】当且 时，的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.故选：B4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.【详解】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正数，，的大小关系为.故选：A5．（2022·北京·北大附中三模）已知，下列不等式中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选：C.6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】通过构造函数得出的不等关系，然后逐项检验即可【详解】设则所以设,令,得易知函数在单调递减所以,即,即,所以对,所以B错,所以C错,所以错故选：A7．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.【详解】不等式即 ，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故，当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是 ，故，，故实数m的取值范围为，故选：C8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题知，进而分和空集两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知，因为，所以，当时，，解得，当时，或，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：D9．（2022·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题知，进而根据题意求解即可.【详解】解：因为，，若有2个元素，则或，解得或，所以，实数的取值范围是.故选：D．10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C11．（2022·安徽黄山·二模（文））若集合，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.【详解】不等式化为：，解得：，则，不等式，即，整理得：，解得，则，所以.故选：D12．（2022·全国·二模（理））已知，则下列判断正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项.【详解】对于A选项，取，，则，A错；对于B选项，因为函数、均为上的增函数，所以，函数在上为增函数，因为，则，即，B对；对于C选项，因为，则，所以，，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：B.13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知，则下列不等关系中正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．【详解】对A，由，得，当，时，A错误；对B，当，时，B错误；对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：对D，由，得，所以，因为，所以D正确．故选：CD． 1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.2．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.  3．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本题可根据图像得出结果.【详解】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.4．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（       ）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.5．（2020·全国·高考真题（文））已知集合则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.6．（多选题）（2022年新高考全国II卷）若x，y满足，则（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．7．（多选题）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.8．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.【答案】【解析】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.故答案为：【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.9．（2019·天津·高考真题（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】，即，即，故的取值范围是．