高考数学一轮复习《解三角形》夯基练习(2份打包，教师版+原卷版)

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一、选择题
在△ABC中，有下列关系式：
①asin B=bsin A；
②a=bcs C＋ccs B；
③a2＋b2－c2=2abcs C；
④b=csin A＋asin C.
一定成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案解析】答案为：C
在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2
【答案解析】答案为：B；
解析：S=eq \f(1,2)×AB·ACsin 60°=eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)×AC=eq \f(\r(3),2)，所以AC=1，
所以BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcs 60°=3，所以BC=eq \r(3).
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB=eq \r(3)ac，则角B的值为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
【答案解析】答案为：C；
解析：由余弦定理，知a2＋c2－b2=2accsB，所以由(a2＋c2－b2)tanB=eq \r(3)ac
可得2accsB·eq \f(sinB,csB)=eq \r(3)ac，所以sinB=eq \f(\r(3),2)，所以B=eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，故选C．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C=( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
【答案解析】答案为：C；
解析：
由题可知S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2=2absinC．由余弦定理得a2＋b2－c2=2abcsC，所以sinC=csC．∵C∈(0，π)，∴C=eq \f(π,4)，故选C．
在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案解析】答案为：C；
解析：由正弦定理得a2＋b2 已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶eq \r(3)，则此三角形的最大内角为( )
A．60° B．90° C．120° D．135°
【答案解析】答案为：C；
解析：∵sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶eq \r(3)，∴a∶b∶c=1∶1∶eq \r(3)，设a=m，则b=m，c=eq \r(3)m.
∴cs C=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(m2＋m2－3m2,2m2)=-eq \f(1,2)，∴C=120°.
二、填空题
在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面积为，则BC边长为 ．
【答案解析】答案为：7；
在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.已知a＋eq \r(2)c=2b，sinB=eq \r(2)sinC，则csA=________.
【答案解析】答案为： eq \f(\r(2),4)；
解析：由sinB=eq \r(2)sinC得b=eq \r(2)c.又因为a＋eq \r(2)c=2b，所以a=eq \r(2)c，
因此csA=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(2c2＋c2－2c2,2\r(2)c2)=eq \f(\r(2),4)
如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=eq \r(10)，DC=eq \r(2)，则AB=________.

【答案解析】答案为： eq \f(2\r(6),3)；
解析：
在△ACD中，因为AD=2，AC=eq \r(10)，DC=eq \r(2)，所以cs∠ADC=eq \f(2＋4－10,2×2×\r(2))=－eq \f(\r(2),2)，
从而∠ADC=135°，所以∠ADB=45°.在△ADB中，eq \f(AB,sin45°)=eq \f(2,sin60°)，
所以AB=eq \f(2×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))=eq \f(2\r(6),3)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=eq \r(3)，则S△ABC=________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(3),2).
解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B=60°.由正弦定理，
得eq \f(1,sin A)=eq \f(\r(3),sin 60°)，解得sin A=eq \f(1,2).因为0°＜A＜180°，
所以A=30°或150°(舍去)，此时C=90°，所以S△ABC=eq \f(1,2)ab=eq \f(\r(3),2).
三、解答题
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC(acsB＋bcsA)=c．
(1)求C；
(2)若c=eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．
【答案解析】解：
(1)由已知及正弦定理得，
2csC(sinAcsB＋sinBcsA)=sinC，
2csCsin(A＋B)=sinC．
故2sinCcsC=sinC．因sinC≠0，
可得csC=eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C=eq \f(π,3)．
(2)由已知，得eq \f(1,2)absinC=eq \f(3\r(3),2)．
又C=eq \f(π,3)，所以ab=6．
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcsC=7．
故a2＋b2=13，从而(a＋b)2=25，a＋b=5．
所以△ABC的周长为5＋eq \r(7)．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sinA)．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC=1，a=3，求△ABC的周长．
【答案解析】解：
(1)由题设得eq \f(1,2)acsinB=eq \f(a2,3sinA)，即eq \f(1,2)csinB=eq \f(a,3sinA)．
由正弦定理得eq \f(1,2)sinCsinB=eq \f(sinA,3sinA)．故sinBsinC=eq \f(2,3)．
(2)由题设及(1)得csBcsC－sinBsinC=－eq \f(1,2)，
即cs(B＋C)=－eq \f(1,2)，所以B＋C=eq \f(2π,3)，故A=eq \f(π,3)．
由题设得eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(a2,3sinA)，即bc=8．
由余弦定理得b2＋c2－bc=9，
即(b＋c)2－3bc=9，得b＋c=eq \r(33)．
故△ABC的周长为3＋eq \r(33)．
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足eq \f(acsB＋bcsA,c)=2csC.
(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC的面积为2eq \r(3)，a＋b=6，求边c的长．
【答案解析】解：
(1) 解法1 在△ABC中，由余弦定理，得
acsB＋bcsA=eq \f(a2＋c2－b2,2c)＋eq \f(b2＋c2－a2,2c)=c，所以csC=eq \f(1,2).
解法2 在△ABC中，由正弦定理，得
eq \f(acsB＋bcsA,c)=eq \f(sinAcsB＋sinBcsA,sinC)=eq \f(sinA＋B,sinC)=eq \f(sinπ－C,sinC)=1，所以csC=eq \f(1,2).
因为C∈(0，π)，所以C=eq \f(π,3)
(2) 由(1)知，S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(\r(3),4)ab=2eq \r(3)，所以ab=8.
由余弦定理，得c2=a2＋b2－ab=(a＋b)2－3ab=36－24=12.
因为c>0，所以c=2eq \r(3).
在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsB=2a＋b．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积S=eq \f(\r(3),2)c，求ab的最小值．
【答案解析】解：
(1)因为2ccsB=2a＋b，所以2c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)=2a＋b，
化简得a2＋b2－c2=－ab，所以csC=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=－eq \f(1,2)．
又因为0°(2)因为S=eq \f(1,2)absinC=eq \f(\r(3),4)ab=eq \f(\r(3),2)c，即c=eq \f(1,2)ab．
代入a2＋b2－c2=－ab，得eq \f(1,4)a2b2－ab=a2＋b2≥2ab，
解得ab≥12，所以ab的最小值为12，当且仅当a=b时，等号成立．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若23cs2 A＋cs 2A=0，且△ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值；
(2)若a=eq \r(3)，A=eq \f(π,3)，求b＋c的取值范围．
【答案解析】解：(1)∵23cs2 A＋cs 2A=23cs2 A＋2cs2 A－1=0，
∴cs2 A=eq \f(1,25)，又A为锐角，∴cs A=eq \f(1,5)，而a2=b2＋c2－2bccs A，
即b2－eq \f(12,5)b－13=0，解得b=5(负值舍去)，∴b=5.
(2)由正弦定理可得b＋c=2(sin B＋sin C)=2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))))=2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，
∵0＜B＜eq \f(2π,3)，∴eq \f(π,6)＜B＋eq \f(π,6)＜eq \f(5π,6)，∴eq \f(1,2)＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))≤1，∴b＋c∈(eq \r(3)，2eq \r(3)]．