新高考数学一轮复习《高考大题突破练—解三角形》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《高考大题突破练—解三角形》课时练习

1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【答案解析】解：

(1)由题设得acsinB=，即csinB=．

由正弦定理得sinCsinB=．

故sinBsinC=．

(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC=－，

即cos(B＋C)=－，所以B＋C=，故A=．

由题设得bcsinA=，即bc=8．

由余弦定理得b2＋c2－bc=9，

即(b＋c)2－3bc=9，得b＋c=．

故△ABC的周长为3＋．

2.已知△ABC满足________，且b＝，A＝，求sin C的值及△ABC的面积．(从①B＝，②a＝，③a＝3sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答)

注：如果选择多个条件进行解答，则按第一个解答计分．

【答案解析】解：选择①时，B＝，A＝，

故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

根据正弦定理＝，故a＝3，故△ABC的面积S＝absin C＝；

选择②时，a＝，b＝，故B>A，A为钝角，故无解；

选择③时，a＝3sin B，

根据正弦定理＝，得＝，

解得sin B＝，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

根据正弦定理＝，

得a＝3，故△ABC的面积S＝absin C＝.

3.在①bcos A﹣c＝0，②acos B＝bcos A，③acos C＋b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝，c＝4，满足________．

(1)请写出你的选择，并求出角A的值；

(2)在(1)的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD的值．

【答案解析】解：(1)若选择条件①，得cos A＝＝2>1，不符合题意；

若选择条件②，由余弦定理知a·＝b·，化简得a＝b，

所以a＋b＝2<4，不符合题意；

若选择条件③，由余弦定理得a·＋b＝0，

所以a2＋3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，

所以cos A＝＝＝，

因为A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由(1)知cos C＝＝＝﹣，

因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝.

所以sin∠CAD＝sin(﹣C)＝sin cos C﹣cossin C＝.

在△ACD中，因为＝，所以CD＝＝.

4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c=2acosB．

(1)证明：A=2B；

(2)若△ABC的面积S=，求角A的大小．

【答案解析】解：

(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC=2sinAcosB，

故2sinAcosB=sinB＋sin(A＋B)=sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，

于是sinB=sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以，B=π－(A－B)或B=A－B，

因此A=π(舍去)或A=2B，

所以A=2B．

(2)由S=得absinC=，故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB，

因sinB≠0，得sinC=cosB．又B，C∈(0，π)，所以C=±B．

当B＋C=时，A=；当C－B=时，A=．

综上，A=或A=．

5.△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csin C﹣bsin B＝

a(sin A﹣sin B)．

(1)求角C；

(2)若D为AB的中点，且c＝2，求CD的最大值．

【答案解析】解：(1)因为csin C﹣bsin B＝a(sin A﹣sin B)，

所以c2﹣b2＝a2﹣ab，

所以c2＝a2＋b2﹣ab且c2＝a2＋b2﹣2abcos C，

所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.

(2)因为＝，所以||2＝()2＝a2＋b2＋，

又因为c2＝a2＋b2﹣ab＝4，

所以a2＋b2＝4＋ab≥2ab，所以ab≤4(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，

所以CD2＝a2＋b2＋＝≤＝3，

所以CD≤(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，

所以CD的最大值为.

6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)=c.

(1)求C；

(2)若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【答案解析】解：

(1)由已知及正弦定理得：2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)=sin C，

即2cos Csin(A＋B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.

可得cos C=，所以C=.

(2)由已知，absin C=.

又C=，所以ab=6.

由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C=7.

故a2＋b2=13，从而=25.

所以△ABC的周长为5＋.

7.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC.

(1)求角A的大小；

(2)设a=，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值.

【答案解析】解：(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC，

∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)=bc，

即b2＋c2－a2=－bC.

∴由余弦定理，得cosA==－.

又A∈(0，π)，所以A=π.

(2)根据a=，A=π及正弦定理可得====2，

∴b=2sinB，c=2sinC.∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC.

∴S＋cosBcosC=sinBsinC＋cosB·cosC=cos(B－C).

故当即B=C=时，

S＋cosB·cosC取得最大值.

8.在①＝，②S△AMN＝4，③AC＝AM这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，c＝8，点M，N是BC边上的两个三等分点，＝3，________，求AM的长和△ABC外接圆半径．

(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分)

【答案解析】解:若选择条件①，

因为＝，所以＝2，设BM＝t，所以AN＝2t，

又B＝60°，c＝8，

所以在△ABN中，AN2＝AB2＋BN2﹣2AB·BNcos B，

即(2t)2＝82＋4t2﹣2×8×2tcos 60°，

即t2＋2t﹣8＝0，所以t＝2或t＝﹣4(舍去)．

在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2﹣2AB·BMcos B＝82＋4﹣2×8×2cos 60°＝52，

所以AM＝2，

同理AC2＝AB2＋BC2﹣2AB·BCcos B＝82＋62﹣2×8×6cos 60°＝52，

所以AC＝2，

由正弦定理可得2R＝＝＝，

所以△ABC外接圆半径为R＝.

若选择条件②，

因为点M，N是BC边上的三等分点，且S△AMN＝4，

所以S△ABC＝12，

因为B＝60°，所以S△ABC＝12＝AB·BCsin 60°＝×8×BC×，

所以BC＝6，所以BM＝2.

在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2﹣2AB·BMcos B＝82＋4﹣2×8×2cos 60°＝52，

所以AM＝2，

同理AC2＝AB2＋BC2﹣2AB·BCcos B＝82＋62﹣2×8×6cos 60°＝52，

所以AC＝2，

由正弦定理可得2R＝＝＝，

所以△ABC外接圆半径为R＝.

若选择条件③，

设BM＝t，则BC＝3t，

在△ABM中，

AM2＝AB2＋BM2﹣2AB·BMcos B＝82＋t2﹣2×8tcos 60°＝64＋t2﹣8t，

在△ABC中，

AC2＝AB2＋BC2﹣2AB·BCcos B＝82＋9t2﹣2×8×3tcos 60°＝64＋9t2﹣24t，

因为AC＝AM，所以64＋t2﹣8t＝64＋9t2﹣24t，

所以t＝2，

所以AM2＝52，

所以AC＝AM＝2，

由正弦定理可得2R＝＝＝，

所以△ABC外接圆半径为R＝.