2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1.    斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    已知三角形的三边长分别为，，，且为整数，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是(    )

A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称
C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮

5.    下列运算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是(    )
    

A. 以点为圆心、的长为半径的弧 B. 以点为圆心、的长为半径的弧
C. 以点为圆心、的长为半径的弧 D. 以点为圆心、的长为半径的弧

7.    如图，点是的两个外角平分线的交点，下列结论：点在的平分线上；点到的三边的距离相等；以上结论正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，等腰中，，是边上一条运动的线段点不与点重合，点不与点重合，且，交于点，交于点，在从左至右的运动过程中，和的面积之和(    )
   
    

A. 保持不变 B. 先变小后变大 C. 先变大后变小 D. 一直变大

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9.    如果等腰三角形一边长为，另一边长为，那么它的周长是______．
10. 已知一正多边形的每个外角是，则该正多边形是______边形．
11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则表示重心的点是______ ．

12. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为______．

13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则______

14. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：个正三角形，记作；个正三角形和两个正方形，记作；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案______．
15. 如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于______．

16. 新年联欢，某公司为员工准备了、两种礼物，礼物单价元、重千克，礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重千克，则两个盲盒的总价钱相差          元，通过称重其他盲盒，大家发现：

若这些礼物共花费元，则          元．

三、解答题（本大题共11小题，共68分）

17. 因式分解：
    ；
    ．
18. 计算：
    ；
    ．
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，，，求证：．
     
21. 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
    已知：如图，线段和线段．
    求作：，使得，，边上的中线为．
    作法：如图，
    作射线，并在射线上截取；
    作线段的垂直平分线，交于；
    以为圆心，为半径作弧，交于；
    连接和．
    则为所求作的图形．
    根据上述作图过程，回答问题：
    用直尺和圆规，补全图中的图形；
    完成下面的证明：
    证明：由作图可知，．
    为线段的垂直平分线，点在上，
    ______填依据．
    又线段的垂直平分线交于，
    ____________．
    为边上的中线，且．

22. 如图，在中，，，平分，，求的长．

23. 课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到边形的内角和等于，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明边形内角和定理．

24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，
    在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______；
    如果要使以、、为顶点的三角形与全等、不重合，写出所有符合条件的点坐标．

25. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为．
    于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
    请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问愿：
    多项式关于______对称；
    若关于的多项式关于对称，求的值；
    整式关于______对称．
26. 在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点．
    
    如图，若，
    依题意补全图形；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
    若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段，，之间新的数量关系不需证明．
27. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作例如，点的一次反射点为，二次反射点为根据定义，回答下列问题：
    点的一次反射点为______，二次反射点为______；
    当点在第三象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是______；
    若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数；
    若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
利用因式分解的定义，将多项式和的形式化为积的形式，即可得到结果．
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
为整数，
的最大值为．
故选：．
根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，求出的取值范围，进而得到的最大值．
此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
 

4.【答案】 

【解析】解：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是三角形的稳定性．
故选：．
桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故主要是利用了三角形的稳定性．
本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的基本步骤．
根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
【解答】
解：由作图可知作图步骤为：
以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，．
以点为圆心，以的长为半径画弧，交于．
以点为圆心，以的长为半径画弧，交弧于．
过点作射线．
根据同位角相等两直线平行，可得．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：过点作于，于，于，如图，
平分，，，
，
同理可得，
，
点在的平分线上，所以正确；
，所以正确；
不能确定，
不能确定，
不能确定，所以错误．
故选：．
过点作于，于，于，如图，根据角平分线的性质得到，，则，于是根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断；同时可对进行判断；由于不能确定，则不能确定，则可对进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查等腰三角形的性质，关键根据二次函数的性质得出面积的变化规律．设，，，则，根据二次函数的性质即可解决问题．
【解答】
解：设，，

则
则有

是等腰三角形，
为大于的数且固定不变，也不变，且当时取最小值，
这个等式是关于的开口向上的二次函数，且对称轴在轴右侧，
和的面积之和的值先变小后变大，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

10.【答案】十 

【解析】解：设所求正边形是边形，
则，
解得．
故正多边形是十边形．
故答案为：十．
多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

11.【答案】点 

【解析】解：根据图形，点为和边上的中线的交点，
所以点为重心．
故答案为点．
利用三角形重心的定义进行判断．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：．
 

12.【答案】 

【解析】解：左边场地面积，
左边场地的面积与右边场地的面积相等，
宽，
故答案为：．
求出左边场地的面积为，由题意可求右边场地的宽，按此计算便可．
本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质分别求出，的度数，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：正三角形的一个内角度数为，正六边形的一个内角度数为，那么个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做，
故答案为：答案不唯一．
一种正多边形组成镶嵌，看一个内角度数为的约数即可；两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为，找到这样的正多边形或组合即可．
此题考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是的约数；两种或两种以上的正多边形能组成镶嵌，同一顶点处的几个角之和为．
 

15.【答案】 

【解析】解：于，交于，

是等边三角形，是边上的中线，
，
是的垂直平分线，
点，关于为对称，
，
根据垂线段最短得出：，即此时的值最小，
是等边三角形，
，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
作于，交于，根据等边三角形的性质得到，求得点，关于为对称，得到，根据垂线段最短得出，即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：礼物重千克，礼物重千克，
礼物比礼物重千克，
每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重千克，
小李的盲盒中为件礼物和件礼物，小林的盲盒中为件礼物；或小李的盲盒中为件礼物，小林的盲盒中为件礼物和件礼物；
不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差元，
由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有盒可知小李的盲盒中为件礼物和件礼物，不可能为件礼物，
小李的盲盒中为件礼物和件礼物，小林的盲盒中为件礼物，
重量小于小李的盲盒为件礼物，
与小林的盲盒一样重盲盒有盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有盒，重量小于小李的盲盒有盒，
件礼物的有盒，件礼物和件礼物有盒，件礼物有盒，
，
解得，
故答案为：，．
根据小林的盲盒比小李的盲盒重千克可判断两个盲盒的总价钱相差元，再根据重量小于小李的盲盒的为盒可以得出结论：小李的盲盒中为件礼物和件礼物，小林的盲盒中为件礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．，
本题主要考查一元一次方程的应用，能根据已知数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物时解答此题的关键．
 

17.【答案】解：；
． 

【解析】先提公因式，再用公式法因式分解即可；
先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：


；



 

【解析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方即可得出答案；
根据平方差公式和整式的除法计算即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，平方差公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
当，即时，原式． 

【解析】根据完全平方公式进而多项式乘多项式法则展开，再进行化简，然后整体代入即可求值．
本题考查了整式混合运算．
 

20.【答案】证明：，
．
即：．
在与又中，，
≌．
． 

【解析】要证明，只要证明三角形和全等即可．两三角形中已知的条件有，，只要再得出两对应边的夹角相等即可．我们发现和都是由一个相等的角加上，因此，这样就构成了两三角形全等的条件，两三角形就全等了．
本题主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．
 

21.【答案】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等     

【解析】解：图形如图所示：

证明：由作图可知，．
为线段的垂直平分线，点在上，
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，
又线段的垂直平分线交于，
，
为边上的中线，且．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，，．
根据要求作出图形即可；
利用线段的承载着平分线的性质，等腰三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
是的平分线，
，
，
，
又，
．
即的长是． 

【解析】在中利用，易求，再利用角平分线性质可求，从而可得，进而可求，在中，利用的角所对的边等于斜边的一半可求．
本题考查了含有角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出．
 

23.【答案】   

【解析】证明：方法在边形内任取一点，并把与各顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的角和为，再减去以点为顶点的一个周角，就可以得到边形的内角和为．
故答案为：；
方法在边形的任意一边上任取一点，连接点与其它各顶点的线段可以把边形分成个三角形，
这个三角形的内角和等于，
以为公共顶点的个角的和是，
所以边形的内角和是．
故答案为：．
在边形内任取一点，并把与各顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的角和为，再减去以点为顶点的一个周角，就可以得到边形的内角和为；
连接点与其它各顶点的线段可以把边形分成个三角形．
本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；的坐标为；
故答案为：；

所有符合条件的点坐标为：或或．

根据轴对称的性质即可作出关于轴对称的，进而可以得的坐标；
根据网格利用全等三角形的判定即可写出所有符合条件的点坐标．
本题考查了作图轴对称变换，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

25.【答案】   

【解析】解：，
则多项式关于对称．
故答案为：；
，
关于的多项式关于对称，
，
；
原式


，
关于对称．
故答案为：．
对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
求出的对称轴，令对称轴即可；
对多项式进行配方，根据新定义判定即可．
本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
 

26.【答案】解：补全图形如图所示：

，
理由如下：
如图，连接，并延长交于点，过点作于，于，

，
，
是的中点，
，
又，
≌，
，，
将线段沿所在直线翻折，
，
又，，
≌，
，，
又，
≌，
，
，
；
不成立，
当是锐角时，如图，，
理由如下：

连接，并延长交于点，过点作于，于，
，
，
是的中点，
，
又，
≌，
，，
将线段沿所在直线翻折，
，
又，，
≌，
，，
又，
≌，
，
，
．
当是钝角时，如图，同理可得：
 

【解析】依照题意补全图形；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，，由可证≌，可得，可得结论；
分两种情况讨论，当是锐角时，；当是钝角时，
本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

27.【答案】     

【解析】解：点的一次反射点为，二次反射点为；
故答案为：，；

点在第三象限时，
一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
点，，中可以是点的二次反射点的是；
故答案为：；

如图中，

，
与轴的夹角为或，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为或；

如图中，观察图象可知，当点在轴上时，是等腰直角三角形．

如图中，观察图象可知，当点在直线上时，是等腰直角三角形．

综上所述，点在轴上或直线上．
根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可；
根据一次反射点，二次反射点的定义，判断出的位置即可；
判断出射线与轴的夹角，可得结论；
利用图象法，点在轴上或直线上满足条件．
本题考查坐标与图形变化对称，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解一次反射点，二次反射点的定义，学会利用图象法解决问题．