专题13 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）

这是一份专题13 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题13 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·郴州）关于二次函数 y=(x-1)2+5 ，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是 (-1，5)
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 x>1 时，y随x的增大而增大
2．（2022·岳阳）已知二次函数y=mx2-4m2x-3（m为常数，m≠0），点P(xp，yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤-3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1或m<0 B．m≥1
C．m≤-1或m>0 D．m≤-1
3．（2022·株洲）已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·衡阳模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出五个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣32，y1）、C（﹣52，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数 y=x2+2 的图象与反比例函数 y=2x 的图象的交点的横坐标 x0 所在的范围是（　　）
A．0 6．（2021·岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 OABC 中，点 A(0,2) ，点 C(2,0) ，则互异二次函数 y=(x-m)2-m 与正方形 OABC 有交点时 m 的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，-1 B．5-172 ，-1 C．4，0 D．5+172 ，-1
7．（2021·株洲）二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，点 P 在 x 轴的正半轴上，且 OP=1 ，设 M=ac(a+b+c) ，则 M 的取值范围为（　　）

A．M<-1 B．-10
8．（2021·怀化模拟）已知抛物线 y=ax2 （ a>0 ）过 A(-2，y1) ， B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1>0>y2 B．y2>0>y1 C．y1>y2>0 D．y2>y1>0
9．（2021·攸县模拟）二次函数 y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，且 a≠0 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论：①ac<0 ；②3a+b=0 ；③当 x>1 时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的根，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·望城模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0) ，与 y 轴的交点 B 在点 (0,-2) 与点 (0,-3) 之间（包含端点），顶点 D 的坐标为 (1,n) .则下列结论：①3a+c=0 ；②23
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　．

12．（2021·南县）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝　 　.
13．（2021·怀化模拟）已知抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点 (1，1) ，双曲线 y=12x 经过点 (a，bc) .给出下列结论：①bc>0 ；②b+c>0 ；③b ， c 是关于 x 的一元二次方程 x2+(a-1)x+12a=0 的两个实数根.其中正确的结论是　 　（填写序号）.
14．（2021·南县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③b﹣2a=0；其中正确结论是　 　（填序号）.

15．（2021·株洲模拟）在-3，-2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x-2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是　 　.
16．（2021·长沙模拟）二次函数 y=-2(x-1)2+3 的顶点坐标是　 　.
17．（2021·永州模拟）抛物线 y=2(x+3)2-3 的开口方向为向　 　
18．（2021·绥宁模拟）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式（顶点式）是　 　.
19．（2021·绥宁模拟）如图，抛物线y＝ 14 x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是　 　.

20．（2021·汉寿模拟）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a ，我们称 a 为这个函数的不动点.如果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1 ， x2 ，则 x22-x12-2x1=　 　
三、综合题
21．（2022·益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022·湘西）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022·长沙）若关于x的函数y，当t-12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=M-N2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.
（1）①若函数y=4044x，当t=1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y=2x （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y=-x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
24．（2022·岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(-3，0)和点B(1，0).

（1）求抛物线F1的解析式；
（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）.
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值.
25．（2022·永州）已知关于x的函数y=ax2+bx+c.
（1）若a=1，函数的图象经过点(1，-4)和点(2，1)，求该函数的表达式和最小值；
（2）若a=1，b=-2，c=m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围.
（3）阅读下面材料：
设a>0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2-4ac>0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需-b2a<0.
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：a>0Δ=b2-4ac>0c>0-b2a<0
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.
26．（2022·湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成I、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度AE=1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；
顶点坐标为（1，5），故选项B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故选项C错误；
当 x>1 时，y随x的增大而增大，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），当x=h时，函数取得最小值k；当x>h时，y随x的增大而增大，据此判断.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2-4m2x-3，
∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0，-3)，
∵点P(xp，yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤-3，
∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，
此时，当x=4时，y≤-3，即m⋅42-4m2⋅4-3≤-3，
解得m≥1；
②当m<0时，对称轴x=2m<0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤xp≤4时，yp≤-3恒成立；
综上，m的取值范围是：m≥1或m<0.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2m，与y轴的交点为（0，-3），然后分m>0、m<0确定出函数的增减性，据此解答.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：对于二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)，
令x=0，则y=-c，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，-c)
∵c>0，
∴-c<0，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=-b2a>0，
∵b>0，
∴a<0，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项.
故答案为：C.
【分析】令x=0，得y=-c，结合c>0可得抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为x=-b2a，结合各个图象确定出a的正负，据此判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a<0，c＞0，
∵对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b<0，2a=b，
∴abc>0，2a-b=0，故①②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，即 4ac-b2<0，故③正确；
∴B（﹣32，y1）距离对称轴较近，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故④正确；
∵当x=-1时，y值最大，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，故⑤不正确；
综上，正确的结论是：①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，对称轴为直线x=-b2a=-1<0，据此可得a、b、c的正负，进而判断①②；根据抛物线与x轴有两个交点可判断③；根据距离对称轴越近的点，对应的函数值越大可判断④；当x=-1时，y值最大，据此判断⑤.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

由图知，显然 12 当 x0=34 时，将其分别代入 y=x2+2 与 y=2x 计算得；
y1=916+2=4116，y2=234=83 ，
∵y2-y1=83-4116=548>0 ，
∴ 此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，
∴34 故答案为：D.
【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，根据函数图象进行判断即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由正方形的性质可知：B（2，2）；
若二次函数 y=(x-m)2-m 与正方形 OABC 有交点，则共有以下四种情况:
当 m≤0 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 m≤0m2-m≤2 ，
解得： -1≤m<0 ；
当 0 解得： 0 当 10 ，
解得： 1 当 m>2 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 m>2m2-m≥0(2-m)2-m≤2 ，
解得： 2 综上可得： m 的最大值和最小值分别是 5+172 ， -1 .
故答案为：D.
【分析】先求出点B（2，2），分四种情况：①当 m≤0 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点；②当 02 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，据此分别列出不等式组，求解即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向下，并与 y 轴相交于正半轴，
∴a<0 ， c>0 ，
当 x=1 ， y=a·12+b·1+c=a+b+c ，
∵OP=1 ，并由图象可得，二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 OP 之间，
∴a+b+c<0
∴M=ac(a+b+c)>0 ，
故答案为：D.
【分析】观察图形可知抛物线的开口向下且与y轴相交于正半轴，则a<0，c>0，于是可得ac＜0，由OP=1可得y=a+b+c＜0，根据两数相乘同号得正异号得负可得M=ac(a+b+c）＞0.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2(a>0)，
∴A(-2，y1) 关于 y 轴对称点的坐标为 (2，y1) .
又 ∵a>0，0<1<2，
∴0 故答案为：C.
【分析】根据抛物线的对称性可得(2，y1)在抛物线上，然后依据二次函数的增减项解答即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】∵当 x=0 时， y=3 ；当 x=1 时， y=5 ；当 x=3 时， y=3 ，
∴3=c5=a+b+c3=9a+3b+c ，解得： a=-1b=3c=3 ，
故该二次函数为 y=-x2+3x+3 ，且改为顶点式为 y=-(x-32)2+214 .
∴ac=-1×3=-3<0 ，故①正确；
3a+b=3×(-1)+3=0 ，故②正确；
∵a=-1<0 ，且对称轴为 x=32 ，
∴当 x>32 时，y随x的增大而减小，故③错误；
方程 ax2+(b-1)x+c=0 为 -x2+(3-1)x+3=0 ，即 -x2+2x+3=0 ，
解方程 -x2+2x+3=0 ，得： x1=-1，x2=3 ，故④正确.
综上正确的为①②④，共3个.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出此二次函数解析式，再结合二次函数的性质和解一元二次方程逐项判断即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=- b2a =1，
∴b=-2a，
∵x=-1时，y=0，
即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点B在点（0，-2）与点（0，-3）之间（包含端点），
∴-3≤c≤-2，
而c=-3a，
∴-3≤-3a≤-2，
∴23 ≤a≤1，所以②错误；
∵顶点D的坐标为（1，n）.抛物线开口向上，
∴x=1时，二次函数有最小值n，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
即对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，所以③正确；
∵顶点D的坐标为（1，n）.
∴直线y=n与y=ax2+bx+c只有一个公共点，
∴直线y=n+1与y=ax2+bx+c有两个公共点，
即关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个实数根，所以④错误.
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a，再利用x=-1时，a-b+c=0，则3a+c=0，于是可对①进行判断；由于-3≤c≤-2，c=-3a，所以-3≤-3a≤-2，解不等式组可对②进行判断；利用x=1时，二次函数有最小值n，则可对③进行判断；利用直线y=n与y=ax2+bx+c只有一个公共点，则直线y=n+1与y=ax2+bx+c有两个公共点，于是可对④进行判断.
11．【答案】-294＜b＜-1
【解析】【解答】解：如图，

当y＝0时，−x2＋4x＋5＝0，
x1＝−1，x2＝5，
∴A（−1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x−5），
即y＝x2−4x−5（−1≤x≤5），
当直线y＝−x＋b经过点A（−1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝−1；
当直线y＝−x＋b与抛物线y＝x2−4x−5（−1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2−4x−5＝−x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：b=-294
∴当直线y＝−x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为-294＜b＜−1.
故答案为：-294＜b＜−1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝−x＋b经过点A（−1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝−x＋b与抛物线y＝x2−4x−5（−1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝ 0+22 ＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6.
故答案为：6.
【分析】由表格可得对称轴为x＝0+22＝1，则x＝-1时的函数值等于x=3时的函数值，据此解答.
13．【答案】①③
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点 (1，1) ，双曲线 y=12x 经过点 (a，bc) ，
∴a>0a+b+c=1bc=12a ，
∴bc>0 ，故①正确.
当a > 1时，则b、c均小于0，此时b+c<0，
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0，故②错误.
∴关于 x 的一元二次方程 x2+(a-1)x+12a=0 可以转化为： x2-(b+c)x+bc=0 ，则 x=b 或 x=c ，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】根据抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点 (1，1) ，双曲线 y=12x 经过点 (a，bc) ，可得a＞0，从而得出bc=12a>0，然后再对a、b、c进行讨论，从而判断①②③；
将方程 x2+(a-1)x+12a=0 可以转化为（x-b)(x-c)=0，解出方程即可判断④.
14．【答案】①③
【解析】【解答】解：①由图可知，∵与x轴两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，∴①正确；
②∵函数对称轴x=﹣1，与x轴的一个交点在0至1之间，则另一个交点在-2至-3之间，∴当x=﹣2或x=0时，y＞0，即y=4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，∴②错误；
③∵对称轴x= -b2a= -1，即b=2a，即b-2a=0，∴③正确；
故答案为：①③.
【分析】由图可知，二次函数与x轴两个交点，故△>0，对称轴x=- 1，与x轴的一个交点在0至1之间，则另一个交点在-2至-3之间，然后逐项分析即可得出答案.
15．【答案】35
【解析】【解答】解：当a大于0时，二次函数y=ax2+4x-2图象开口向上，
-3，-2，1，2，3中大于0的数有3个，
所以该二次函数图象开口向上的概率是35.
故答案为：35.
【分析】根据二次函数的图象开口向上可得a=1、2、3，然后根据概率公式进行计算.
16．【答案】（1，3）
【解析】【解答】解：∵y=-2（x-1）2+3，
∴二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）
故答案为：（1，3）.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），据此解答即可.
17．【答案】上
【解析】【解答】解：∵y＝2（x+3）2﹣3，
∴a=2>0 ，抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】二次函数“y=a(x-h)2+k”中，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下，据此即可得出答案.
18．【答案】y＝﹣（x﹣2）2﹣1
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2；
再向下平移1个单位为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1.
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1.
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
19．【答案】32
【解析】【解答】解：连接BP，如图，

当y＝0时， 14 x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝ 12 BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC＝ 32+42 ＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴线段OQ的最小值为 32 .
故答案为： 32 .
【分析】连接BP，如图，先根据抛物线与x轴交点的坐标特点得A、B两点的坐标，再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝12BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值.
20．【答案】1
【解析】【解答】解：由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点，
当 x=a，y=a 时，a称为不动点，
即 x=y 时，方程有两个相等的实数根
∵x=x2+2x+c
∴x2+x+c=0
x22-x12-2x1
=x22-x12-2x1-1+1
=x22-(x1+1)2+1
=(x2+x1+1)(x2-x1-1)+1
由根与系数的关系可知：
x1+x2=-1
将其代入上式中可得
x22+x12-2x1=1
故答案为：1.
【分析】根据函数不动点的定义可得方程x=x2+2x+c有两个相等的实数根，即得方程为 x2+x+c=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=-1，将x22-x12-2x1利用配方法变形为=(x2+x1+1)(x2-x1-1)+1，再将x1+x2=-1代入计算即可.
21．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线E：y=-(x-m)2+2m2(m<0)的顶点P的坐标为(m，2m2)，∵点P在抛物线F：y=ax2上，∴am2=2m2，∴a=2．
（2）解：∵直线x=t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴yA=-(t-m)2+2m2=-t2+2mt+m2，yB=2t2，∴s=yA-yB=-t2+2mt+m2-2t2=-3t2+2mt+m2=-3(t-13m)2+43m2，∵-3<0，∴当t=13m时，s的最大值为43m2，∵s的最大值为4，∴43m2=4，解得m=±3，∵m<0，∴m=-3．
（3）解：存在，理由如下：设点M的坐标为n，则M(n，2n2)，∴Q(2n-m，4n2-m2)，∵点Q在x轴正半轴上，∴2n-m>0且4n2-m2=0，∴n=-22m，∴M(-22m，m2)，Q(-2m-m，0)．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，

∴∠K=∠N=90°，∠QPK+∠PQK=90°，∵∠PQG=90°，∴∠PQK+∠GQN=90°，∴∠QPK=∠GQN，∴ΔPKQ∽ΔQNG，∴PK：QN=KQ：GN，即PK⋅GN=KQ⋅QN．∵PK=-2m-m-m=-2m-2m，KQ=2m2，GN=-2m-m，∴(-2m-2m)(-2m-m)=2m2⋅QN解得QM=32+42．∴G(0，-32+42)．
【解析】【分析】（1）将抛物线E的函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标；再根据点P在抛物线F上，将其代入，可得到关于m的方程，解方程求出a的值.
（2）将x=t代入两个抛物线的解析式，求出对应的y的值；再根据s＝yA﹣yB，代入可得到s与t的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及s的最大值为4，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
（3）设点M的坐标为n，可表示出点M，Q的坐标；利用点Q在x轴的正半轴，可得到关于m的不等式，求出m的取值范围；同时可得到关于n的方程，解方程表示出n，代入可表示出点M，Q的坐标；过点Q作KN⊥x轴，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于点K，N，利用余角的性质可证得∠QPK=∠GQN，可得到△PKQ∽△QNG，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，建立关于MQ的方程，解方程求出QM的长，即可得到点G的坐标.
22．【答案】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴9a-6a+c=0c=-1，解得a=13c=-1，
∴y＝13x2+23x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）解：设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t-1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=13t2+23t-1-(t2+2t-3)=-23t2-43t+2，
∴MNDM＝-(t2+2t-3)23(t2+2t-3)=32．
（3）解：存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，
理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），
①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），
∴EG＝22，
∴22＝(x+2)2+1，
解得x＝7﹣2或x＝﹣7﹣2，
∴F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；
②当EG＝FG时，22＝9+x2，此时x无解；
综上所述：F点坐标为（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）．
【解析】【分析】（1）将点A，H的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式；由x=0可求出对应的y的值，可得到点G的坐标.
（2）设M（t，t2+2t﹣3），可得到D（t，13t2+23t-1），N（t，0），可表示出MN，DM的长；然后代入求出线段MN与线段DM的长度的比值.
（3）利用二次函数解析式可求出对称轴，利用对称性求出点E的坐标；设F（x，0）；利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当EG=EF时；当EG=FG时，利用直角坐标系中两点之间的距离公式，分别得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点F的坐标.
23．【答案】（1）解：①当t=1时，则1-12≤x≤1+12，即12≤x≤32，
∵y=4044x，k=4044>0，y随x的增大而增大，
∴h=M-N2=4044×32-4044×122=2022，
②若函数y=kx+b，当k>0时，t-12≤x≤t+12，
∴M=k(t+12)+b，N=k(t-12)+b，
∴h=M-N2=k2，
当k<0时，则M=k(t-12)+b，N=k(t+12)+b，
∴h=M-N2=-k2，
综上所述，k>0时，h=k2，k<0时，h=-k2
（2）解：对于函数y=2x(x≥1)，
∵2>0，x≥1，函数在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴t-12≥1，
解得t≥32，
当t-12≤x≤t+12时，
∴M=2t-12=42t-1，N=2t+12=42t+1，
∴h=M-N2=12(42t-1-42t+1)=2(2t+1)-2(2t-1)(2t-1)(2t+1)=4(2t-1)(2t+1)=44t2-1，
∵当t≥32时，4t2-1随t的增大而增大，
∴当t=32时，4t2-1取得最小值，此时h取得最大值，
最大值为h=4(2t-1)(2t+1)=42×4=12
（3）解：对于函数y=-x2+4x+k=-(x-2)2+4+k，
a=-1<0，抛物线开口向下，
x<2时，y随x的增大而增大，
x>2时，y随x的增大而减小，
当x=2时，函数y的最大值等于4+k，
在t-12≤x≤t+12时，
①当t+12<2时，即t<32时，N=-(t-12)2+4(t-12)+k，M=-(t+12)2+4(t+12)+k，
∴h=M-N2=12{-(t+12)2+4(t+12)+k-[-(t-12)2+4(t-12)+k]}=2-t，
∴h的最小值为12（当t=32时），
若12=4+k，
解得k=-72，
但t<32，故k=-72不合题意，故舍去；
②当t-12>2时，即t>52时，M=-(t-12)2+4(t-12)+k，N=-(t+12)2+4(t+12)+k，
∴h=M-N2=t-2，
∴h的最小值为12（当t=52时），
若12=4+k，
解得k=-72，
但t>52，故k=-72不合题意，故舍去
③当t-12≤2≤t+12时，即32≤t≤52时，M=4+k，
i)当2-(t-12)≥(t+12)-2时，即32≤t≤2时
N=-(t-12)2+4(t-12)+k
h=M-N2=4+k+(t-12)2-4(t-12)-k2=12t2-52t+258
∵对称轴为t=52，12>0，抛物线开口向上，在32≤t≤2上，
当t=2时，h有最小值18，
∴18=4+k
解得k=-318
i i)当 2-(t-12)≤(t+12)-2时，即2≤t≤52时，M=4+k，
N=-(t+12)2+4(t+12)+k，
∴h=M-N2=4+k+(t+12)2-4(t+12)-k2=12t2-32t+98，
∵对称轴为t=32，12>0，抛物线开口向上，在2 当t=2时，h有最小值18，
∴18=4+k
解得k=-318
综上所述，t=2时，存在k=-318
【解析】【分析】（1）①当t=1时，根据t-12≤x≤t+12可得x的范围，根据正比例函数的性质可得y随x的增大而增大，据此可得M、N的值，进而可求出h的值；
②当k>0时，y随x的增大而增大，据此表示出M、N，然后代入h=M-N2中进行计算可得h的值；同理可求出k<0时h的值；
（2）根据反比例函数的性质可得图象在第一象限内，y随x的增大而减小，根据x≥1可得t的范围，根据函数的增减性可得M、N，然后表示出h，再结合二次函数的性质求解即可；
（3）根据二次函数的性质可得：图象开口向下，分t+12<2、t- 12>2、t-12≤2≤t+12，确定出函数的最值，据此可得M、N，进而可表示出h，求出h的最小值.
24．【答案】（1）解：将点A(-3，0)和点B(1，0)代入y=x2+bx+c，
∴9-3b+c=01+b+c=0，解得b=2c=-3，
∴y=x2+2x-3
（2）解：y=-x2+2x+3
（3）解：由题意可得，抛物线F3的解析式为y=-(x-1)2+6=-x2+2x+5，
①联立方程组y=-x2+2x+5y=x2+2x-3，
解得x=2或x=-2，
∴C(-2，-3)或D(2，5)；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴-2k+b=-32k+b=5，解得k=2b=1，
∴y=2x+1，
过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，如图所示：

设M(m，m2+2m-3)，N(n，-n2+2n+3)，
则F(m，2m+1)，N(n，2n+1)，
∴MF=2m+1-(m2+2m-3)=-m2+4，
NE=-n2+2n+3-2n-1=-n2+2，
∵-2 ∴当m=0时，MF有最大值4，
当n=0时，NE有最大值2，
∵S四边形CMDN=S△CDN+S△CDM=12×4×(MF+NE)=2(MF+NE)，
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为12.
【解析】【解答】解：（2）∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的顶点(-1，-4)，
∵顶点(-1，-4)关于原点的对称点为(1，4)，
∴抛物线F2的解析式为y=-(x-1)2+4，
∴y=-x2+2x+3.
【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得顶点坐标，然后求出顶点关于原点的对称点的坐标，据此可得抛物线F2的解析式；
（3）①由题意可得：抛物线F3的解析式为y=-(x-1)2+6=-x2+2x+5，联立抛物线F1的解析式求出x、y，可得点C、D的坐标；
②利用待定系数法求出直线CD的解析式，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，设M（m，m2+2m-3），N（n，-n2+2n+3），则F（m，2m+1），N（n，2n+1），表示出MF、NE，结合偶次幂的非负性可得MF、NE的最大值，然后根据S四边形CMDN=S△CDN+S△CDM进行计算.
25．【答案】（1）解：根据题意，得1+b+c=-44+2b+c=1a=1
解之，得a=1b=2c=1，所以y=x2-2x+1=(x+1)2
函数的表达式y=x2+2x+1或y=(x+1)2，当x=-1时，y的最小值是0
（2）解：根据题意，得y=x2-2x+m+1而函数的图象与x轴有交点，所以Δ=b2-4ac=(-2)2-4(m+1)≥0所以m⩽0
（3）解：函数y=ax2-2x+3的图象
图1：

a<0(-2)2-12a>0--22a<1a-2+3>0即a<0a<13a>1a>-1
所以，a的值不存在.
图2：

a<0(-2)2-12a>0--22a>1a-2+3>0即a<0a<13a<1a>-1的值-1 图3：

a<0(-2)2-12a=0--22a>1a-2+3<0即a<0a=13a<1a<-1
所以a的值不存在
图4：

a>0(-2)2-12a>0--22a>1a-2+3<0即a>0a<13a<1a<-1
所以a的值不存在.
图5：

a>0(-2)2-12a=0--22a>1a-2+3>0
即a>0a=13a<1a>-1
所以a的值为13
图6：y=-2x+3函数与x轴的交点为(1.5，0)

所以a的值为0成立.
综上所述，a的取值范围是-1＜a≤0或a=13.
【解析】【分析】（1）将a的值及点（1，-4），（2，1）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式.
（2）将a，b，c代入函数解析式，由y=0，可得到关于x的一元二次方程，根据函数图象与x轴有交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）抓住已知条件：函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧，与x轴有且只有一个交点，分别画出函数图象，分情况讨论，可得到关于a的不等式组，分别求出不等式组的解集，可确定出a的取值范围.
26．【答案】（1）解∵：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG=x，DG=12-x，
2(12-x）+3x=32，
x=8，
∴CG=8m，DG=4m；
（2）解：设BC=a，CD=21-3a，
S=a(21-3a)=-3x2+21a=-3(a-72 )2+1474，
∵21-3a≤12，
∴a≥3，
∴当a=3时，S最大=1474，
即BC应设计为3米时，此时最大面积为1474.
【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质和篱笆墙的总长度为21m求出AD的长，设CG=x，DG=12-x，根据 总种植面积为32m2 建立方程求解，即可解答；
(2)BC=a，CD=31-3a，设BC=a，CD=21-3a，根据两块地的总面积为BC×CD建立函数式，再根据BC≤12，列出不等式求出a的范围，然后根据二次函数的性质求最大值即可