2022-2023学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了0分，0分），0分)，【答案】C，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根为(    )A.  B.  C.  D. 一元二次方程经过配方后，可变形为(    )A.  B.  C.  D. 已知，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 若∽，其相似比为：，则与的面积比为(    )A. ： B. ： C. ： D. ：一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为(    )A.  B.  C.  D. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是(    )A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是(    )A.  B.  C.  D. 函数与在同一坐标系中的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 在边长为的方格上建立直角坐标系如图甲，在第一象限内画出反比例函数，，，的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为的方格上建立直角坐标系如图乙，在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出条．(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率，则估计盒子中大约有红球______个．若一元二次方程有两个相等的实数根，则          ．某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为则所列方程为______．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，求球拍击球的高度 ______ 米．
 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数
的图象过点，则的值为______．
 ，，点是边上一动点不与，重合，，
交于点，下列结论：
与一定相似；
与一定相似；
当时，；
．
其中正确的结论有______填写序号． 三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解下列方程：
；
．本小题分
如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为上一点，且．
求证：∽．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形；
直接写出点坐标______．
本小题分
阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
若，都有，则称是增函数；
若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，．
则
且，，
．
即，
函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
例如函数，，，则______，______；
猜想是______函数填“增”或“减”，并证明你的猜想．本小题分
教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温和通电时间成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题：

分别求出当和时，和之间的函数关系式；
求出图中的值；
李老师这天早上：将饮水机电源打开，若他想在：上课前喝到不低于的开水，则他需要在什么时间段内接水？本小题分
李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同不透明的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：转移注意力，合理宣泄，自我暗示，放松训练．
若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是______ ；
若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊抽走后不放回，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．本小题分
某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．
若销售单价为每件元，求每天的销售利润；
要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？本小题分
如图，在直角三角形中，直角边，设、分别为、上的动点，在点自点沿方向向点做匀速移动的同时，点自点沿方向向点做匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设、移动的时间秒．
当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
能否与直角三角形相似？若能，求的值；若不能，说明理由．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
求，对应的函数表达式；
过点作轴交轴于点，求的面积；
根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
本小题分
【问题背景】如图，在和中，，，由已知可以得到：
______≌______；
______∽______．
【尝试应用】如图，在和中，，，
求证：∽．
【问题解决】如图，在和中，，，与相交于点，点在上，，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：设方程的另一个根为，
是方程的一个根，
，
解得，
故选：．
根据是方程的一个根和两根之积等于常数项与二次项系数的比值，可以求得方程的另一个根．
本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
；
故选：．
根据已知条件求出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，是一道基础题．
 5.【答案】 【解析】解：∽，相似比为：，
与的面积比是：，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比得出即可．
本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，
它的宽，
故选：．
根据黄金比值是进行计算即可．
本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值为是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：、当时，，此函数图象过点，故本选项正确；
B、，此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、，当时，随着的增大而减小，故本选项正确；
D、当时，，当时，，故本选项错误．
故选：．
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有种情况，
小灯泡发光的概率为：．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 9.【答案】 【解析】解：当时，函数的图象经过第一、二、三象限，的图象位于第一、三象限，故选项A符合题意，选项D不符合题意；
当时，函数的图象经过第二、三、四象限，的图象位于第二、四象限，故选项C、不符合题意；
故选：．
根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数的图象、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和反比例函数的性质．
 10.【答案】 【解析】解：由题意知，要使的为的合数，而这些合数分解质因数后作为横纵坐标的两个数不超过，
通过实验法得的合数，这其中只有个数，
将这个数进行分解因数后符合条件的值有：、、、、、、、、、、、、共个．
最多可以画条．
故选：．
本题是借用反比例函数要解答一道分解因数的数学问题，要求函数图象要经过至个格点，且积不超过，且为合数，而在解答的过程发现，经过至个且横纵坐标不超过的合数，就将范围缩小到的合数，在这中间去寻找符合条件的数就可以了．
本题考查的是一道反比例函数的综合试题，它涉及到了代数的合数和分解因数，反比例函数的性质．是一道综合性较强的试题，在解答中需要用到实验法．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意知，袋中球的总个数约为，
所以估计盒子中大约有红球个，
故答案为：．
先根据摸到黄球的频率及黄球的个数求出球的总个数，继而得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
 12.【答案】 【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：依题意得，
故答案为：．
利用三月份的口罩产量一月份的口罩产量该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
∽，
，即，
．
故答案为．
由可判断∽，根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求即可．
本题考查了相似三角形的应用，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
 15.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故答案为：．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
∽，
故正确；
，，
，
，
∽，
故正确；
，，
，
∽，
，
，
，
，
故正确；
如图，作于点，则，
，
，

点是边上一动点且不与点、点重合，
，
，
，
，
，
，
故正确，
故答案为：．
由，得，已知，则，而与是和的公共角，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，可判断正确；
由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，可判断正确；
由∽，得，即，所以，得，可判断正确；
作于点，则，，由点是边上一动点且不与点、点重合及垂线段最短可求得的取值范围是，则，所以，即可求得，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、一元一次不等式的应用等知识与方法，证明∽是解题的关键．
 17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；

，
，
，
或，
，． 【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
∽． 【解析】由平行四边形的性质可证，由相似三角形的判定可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

点的坐标为，
故答案为：．
连接并延长，截取，连接并延长，截取，连接并延长，截取，确定出；
根据图形求出点坐标即可．
此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 20.【答案】   减 【解析】解：计算：，；
故答案为：，；

猜想：是减函数，
证明：设，
则，
，
，，
即，
函数是减函数．
故答案为：减．
把，分别代入函数解析式即可求得；
猜想：函数是减函数，按照例题的解题方法证明猜想．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答．
 21.【答案】解：当时，设，
将，的坐标分别代入得，
解得，．
当时，．
当时，设，
将的坐标代入，
得
当时，．
综上，当时，；当时，；

将代入，
解得，
即；

当时，．
要想喝到不低于的开水，需满足，
即李老师要在：到：之间接水． 【解析】直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
利用中所求解析式，当时，得出答案；
当时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用及反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
 22.【答案】解：
画树状图如图：

所有的等可能的结果有：、、、、、、、、、、、，共种，
其中小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有：、、、、、，共种，
小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为． 【解析】【分析】
此题考查的是求概率，可以用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，也可以用树状图法求概率，适合于两步及两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：一共有个锦囊，若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
见答案．  23.【答案】解：



元．
答：每天的销售利润为元．
设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每件工艺品售价应为元． 【解析】利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可求出结论；
设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 24.【答案】解：，，
，
是以为顶角的等腰三角形，
，
，
解得；
能．理由如下：
当∽时，，即，解得；
当∽时，，即，解得，
即：与直角三角形相似时，的值为或． 【解析】由等腰三角形的性质可得，即可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 25.【答案】解：
直线与双曲线相交于，两点，
，解得：，
双曲线的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
，
把和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：；
过点作，交的延长线于点，如图

轴，
轴，轴，
，，
，，
；
的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的的取值范围，
故其解集为：或． 【解析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键结合图形分析清楚问题与条件之间的关系．
把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
过点作，交的延长线于点，由所给的条件可得轴，进而确定的长度，的长度，利用三角形的面积公式进行求解即可；
的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的的取值范围，根据图象求解即可．
 26.【答案】       【解析】【问题背景】和是等腰直角三角形，
∽，
，
，，
≌，
故答案为：≌；∽．
【尝试应用】∽，
，，
，
∽；
【问题解决】连接，

由【尝试应用】知，∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；
【尝试应用】由∽，得，，则，从而证明结论；
【问题解决】连接，利用两个角相等可证∽，得，得，且，从而解决问题．
本题想相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型--旋转型相似是解题的关键．