2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．椫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫棒，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果两个相似三角形对应边之比是1：2，那么它们的对应周长之比是（ ）
A．B．1：2C．1：4D．1：6
3．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
4．如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（ ）
A．米B．米C．x•sinα米D．x•csα米
5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2
6．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
7．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
8．为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（ ）
A．3B．3C．4D．6
10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤c＜6D．﹣4≤c＜5
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
12．已知，那么的值等于 ．
13．若x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个解，则m的值是 ．
14．已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
16．如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝ ．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
18．解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
19．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，求证：△NDM∽△MCB．
20．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
21．某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
（1）九年级1班的学生共有 人，补全条形统计图；
（2）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
22．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
23．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求CE的长．
24．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
25．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
26．问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放（点B、C、E在同一条直线上），其中∠ECF＝90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：
初步探究
（1）如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系 ；
（2）如图3，将（1）中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE＝CF，∠BCD＝∠FCE，其他条件不变，求证：BF＝DE；
深入探究
（3）如图4，将（1）中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°且，其它条件不变．
①探索线段BF与DE的关系，说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，直接写出DF2+BE2＝ ．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．椫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫棒，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
解：如图所示，俯视图为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
2．如果两个相似三角形对应边之比是1：2，那么它们的对应周长之比是（ ）
A．B．1：2C．1：4D．1：6
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可．
解：∵两个相似三角形对应边之比是1：2，
∴它们的对应周长之比为1：2，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（ ）
A．米B．米C．x•sinα米D．x•csα米
【分析】根据题意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
解：由题意得：BC⊥AB，
在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，
∴AC＝＝（米），
∴A，C两处相距米，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2
【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
8．为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为＝，
故选：B．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（ ）
A．3B．3C．4D．6
【分析】依据题意，可得A（k，1），B（1，k），再由AB＝3，从而2（k﹣1）2＝18，进而得解．
解：由题意，得A（k，1），B（1，k）．
∵AB＝3，
∴由两点距离公式可得：2（k﹣1）2＝18．
∴（k﹣1）2＝9．
∴k＝﹣2或4．
又k＞0，
∴k＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．
10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤c＜6D．﹣4≤c＜5
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
【分析】找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
解：∵袋子中共有10个球，其中绿球有7个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．已知，那么的值等于 ．
【分析】把化成+1，再进行计算即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，把化成+1是解题的关键．
13．若x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个解，则m的值是 3 ．
【分析】把x＝2代入方程x2+x﹣2m＝0列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：依题意，得22+2﹣2m＝0，
解得：m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为 （2，﹣3） ．
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），根据抛物线的顶点式解答．
解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是关键．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：由题意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
则AB＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝ ．
【分析】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，得出所求面积为矩形ABP1D的面积，再分别求矩形ODP1C和矩形OABC的面积即可．
解：∵P1，P2，P3，…P2024的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
∴阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
∴S1+S2+S3+…+S2023＝，
把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，
∴S矩形OABC＝OA•OC＝，
由几何意义得，＝8，
∴＝8﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|
＝1+2﹣2×+5
＝1+2﹣1+5
＝7．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、绝对值的意义，二次根式的性质及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
18．解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
【分析】先把方程化为两个因式积的形式，再求出x的值即可．
解：∵原方程可化为：（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得，x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．
19．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，求证：△NDM∽△MCB．
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠A＝∠BMN＝90°，故可得出∠DMN+∠BMC＝90°，再由∠DNM+∠DMN＝90°可得出∠DNM＝∠BMC，据此可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵△MBN由△ABN翻折而成，
∴∠DMN+∠BMC＝90°，
∵∠DNM+∠DMN＝90°，
∴∠DNM＝∠BMC，
∴△NDM∽△MCB．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的性质及翻折变换，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
20．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；
（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB＝（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD•cs∠DCG＝600×cs45°＝600×＝（m），
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
21．某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
（1）九年级1班的学生共有 50 人，补全条形统计图；
（2）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由C的人数及对应的百分数可得九年级1班的学生共有50人；求出B的人数为14人，D的人数为8人，再补全条形统计图；
（2）列树状图用概率公式可得答案．
解：（1）∵15÷30%＝50（人），
∴九年级1班的学生共有50人；
∴B的人数为50×28%＝14（人），
∴D的人数为50﹣8﹣14﹣15﹣5＝8（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）列树状图如下：
由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是P＝＝．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列树状图求求概率．
22．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案．
解：（1）设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝kx+b，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400；
（2）根据题意可得：（﹣10x+400）（x﹣10）＝2160，
整理得：x2﹣50x+616＝0，
（x﹣28）（x﹣22）＝0，
解得：x1＝28（不合题意，舍去），x2＝22，
答：应将销售单价定为22元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
23．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到半径OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可证明AB＝AC；
（2）连接DF，DA，由圆周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴半径OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DA，
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∴DF＝DC，
∵DE⊥CF，
∴FE＝EC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∠ADE+∠CDE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠AED＝∠CED＝90°，
∴△DAE∽△CDE，
∴DE：CE＝AE：DE，
∵AE＝3，DE＝6，
∴6：CE＝3：6，
∴CE＝12．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出OD∥AC；由等腰三角形的性质得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的长．
24．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2＝（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，则Q（p，），求得PQ＝﹣2p+9﹣，根据三角形面积公式得到S△POQ＝（﹣2p+9﹣）•p＝3，解得即可．
解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣）•p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）可将抛物线的表达式设为交点式，代入点C坐标，进一步求得结果；
（2）点Q的纵坐标为±9，代入求得其横坐标，进而求得结果；
（3）根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出PD和PE，进而表示出△PDE的面积的函数表达式，进一步求得结果．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a•3×（﹣6），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为：直线x＝＝，
由对称性可得Q1（3，﹣9），
当y＝9时，
＝9，
∴x＝，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin∠PBD＝，
∴，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE＝，
∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，
∴当m＝时，S最大＝，
∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26．问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放（点B、C、E在同一条直线上），其中∠ECF＝90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：
初步探究
（1）如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系 BF＝DE，BF⊥DE ；
（2）如图3，将（1）中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE＝CF，∠BCD＝∠FCE，其他条件不变，求证：BF＝DE；
深入探究
（3）如图4，将（1）中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°且，其它条件不变．
①探索线段BF与DE的关系，说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，直接写出DF2+BE2＝ 500 ．
【分析】（1）先证明△BCF≌△DCE，得出BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，进而证明BF⊥DE；
（2）由∠BCD＝∠FCE得出∠BCF＝∠DCE，再由菱形得出BC＝DC，又CF＝CE，可证明△BCF≌△DCE，即可得出BF＝DE；
（3）①由∠BCD＝∠ECF＝90°得∠BCF＝∠DCE，又，得△BCF∽△DCE，即可得出BF与DE的关系；
②利用相似三角形的性质求出CF、BC的长度及∠CBF＝∠CDE，进而得出BE⊥DF，再利用勾股定理及等量代换得出DF2+BE2＝DB2+EF2，即可求出DF2+BE2的值．
解：（1）如图2，BF与CD交于点M，与DE交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，
∴∠CDE+∠DMF＝90°，
∴∠BND＝90°，
∴BF⊥DE，
故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；
（2）如图3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，
∵∠BCD＝∠FCE，
∴∠BCD+∠DCF＝∠FCE+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵CF＝CE，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE；
（3）①如图4，＝，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ECF＝90°，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵，
∴△BCF∽△DCE，
∴；
②如图5，连接BD，
∵△BCF∽△DCE，
∴，∠CBF＝∠CDE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝12，
∵CE＝6，∴，
∴CF＝8，BC＝16，
∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，
在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，
在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，
∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，
∴BD2+EF2＝400+100＝500，
∴DF2+BE2＝500，
故答案为：500．
【点评】本题考查了相似图形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理并会灵活应用是解决问题的关键．
类别
劳动时间x
A
0≤x＜1
B
1≤x＜2
C
2≤x＜3
D
3≤x＜4
E
4≤x
销售单价x（元）
20
25
30
销售量y（件）
200
150
100
类别
劳动时间x
A
0≤x＜1
B
1≤x＜2
C
2≤x＜3
D
3≤x＜4
E
4≤x
销售单价x（元）
20
25
30
销售量y（件）
200
150
100