课后素养落实(四)　空间向量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　)

A．a    B．b    C．c    D．a＋b

C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D．]

2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　)

A．a＋b＋c   B．a－b＋c

C．－a－b＋c   D．－a＋b＋c

D　[由于＝＋＝＋(＋)

＝－a＋b＋c，故选D．]

3．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(　　)

A．＝＋＋

B．≠＋

C．＝＋＋

D．＝2－

C　[若，，为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C．]

4．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　)

A．a－b＋c   B．－a＋b＋c

C．a＋b－c   D．a＋b－c

B　[＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋

＝－a＋b＋c．]

5．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)

A．5    B．6    C．4    D．8

A　[在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中有，＝＋＋＝＋＋

所以有||＝|＋＋|，于是有||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＝25，所以||＝5．]

二、填空题

6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________．(用a，b，c表示)

a＋b＋c　[因为在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝(＋)＝＋＝a＋×(＋)＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c．]

7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．

4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)　[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)，

则有解得

则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．]

8．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝________．

a－b＋c　[因为BG＝2GD，所以＝．

又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b，

所以＝＋＝b＋(a＋c－2b)

＝a－b＋c．]

三、解答题

9．如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c．

(1)用a，b，c表示向量，；

(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示．

[解]　(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c．

＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a．

(2)法一：连接OG，OH(图略)，

则＝＋＝－＋

＝－(＋)＋(＋)

＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)

＝(c－b)．

法二：连接O′C(图略)，则＝＝(－)

＝(c－b)．

10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E为CC1上的点，且CE＝1，求与夹角的余弦值．

[解]　令＝a，＝b，＝c，

∴|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝0，

∴{a，b，c}能作为一组基底．

∵＝a＋c，＝＋＝b＋c，

∴·＝(a＋c)·＝a·b＋a·c＋b·c＋c2＝3．

又||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝．

11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是(　　)

A．2a，a－b，a＋2b   B．2b，b－a，b＋2a

C．a,2b，b－c   D．c，a＋c，a－c

ABD　[对于A，因为2a＝(a－b)＋(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B，因为2b＝(b－a)＋(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C，因为找不到实数λ、μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D，因为c＝(a＋c)－(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD．]

12．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为(　　)

A．  　   B．

C．  　   D．

A　[因为四边形BCC1B1是平行四边形，

∴＝＝(＋)，

∴＝＋＝＋＋＝＋＋．

∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，

∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，

∴2＝2＝4，＝9，·＝0，·＝·＝3×2×cos 60°＝3，

∴2＝(＋＋)2

＝(2＋2＋2＋2·＋2·＋2·)＝，

∴||＝，即AO＝．

13．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为________．

，－1，－　[由题意得，a、b、c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使d＝αa＋βb＋γc．

∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)

＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3．

又∵d＝e1＋2e2＋3e3，

∴⇒]

14．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则

(1)·＝________；cos〈，〉＝________；

(2)·＝________．

(1)1　　(2)1　[(1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，

||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，

∴||＝，

||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝，

∴cos〈，〉＝＝．

(2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1．]

15．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：⊥，⊥．

[证明]　设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．

∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c，

∴·＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a

＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0．

于是⊥．同理可证⊥．