不等式恒（能）成立问题练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破

不等式恒（能）成立问题

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在上定义运算：已知时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为 (    )

A.  B.
C.  D.

2.    若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是．(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

3.    若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围(    )

A.  B.
C.  D.  

4.    关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.    已知，且，若对任意的恒成立，则实数的可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

6.    若不等式对于任意恒成立，则实数的最小值是          ．
7.    设，为实数，若对于满足的全体，，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．
8.    已知，且恒成立，则正数的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.    本小题分

若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

10. 本小题分

已知关于的不等式的解集为或．
求，的值
当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题为新定义问题，主要考查了函数的最值，一元二次不等式的解法．
，由题意，当时，求出在上的最大值，得出关于的不等式，即可得出的范围．

【解答】

解：，
因为当时，存在使不等式成立，
所以存在，使不等式成立，
即当时，．
因为，所以当时，取最大值，为，
所以，解得．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式恒成立问题，属于中档题．
将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可．

【解答】

解：因为正实数、满足，则，即，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，

因为不等式有解，则，即，

即，解得或．

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
将不等式恒成立，转化为，利用“”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．

【解答】

 解：由，，，且恒成立，
可得，
由，
当且仅当，上式取得等号．
则，
解得．
故选B

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式恒成立问题，考查了充分条件、必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
关于的不等式恒成立，时，可得：；时，可得：，解得范围，结合选项即可得到答案．

【解答】

解：关于的不等式恒成立，
时，可得：；
时，可得：，解得．
综上可得：．
关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，属中档题．
依题意，问题化为对任意的恒成立，又，利用基本不等式求得最小值，得，求解即可．

【解答】

解：因为，
所以对任意的恒成立，
可化为对任意的恒成立，
又
，
当且仅当时取等号，
所以，
所以解得，
结合选项知ACD正确，
故选ACD．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于拔高题．
令，由题意可得对一切实数恒成立，讨论，，，化为二次不等式恒成立问题，结合二次函数的图象和性质，解不等式可得的范围，即可得到所求的最小值．

【解答】

解：令，则，
不等式对于任意恒成立，
即为对一切实数恒成立，
当时，可得，解得或；
当时，即为恒成立，
令，
可得若对称轴，即，且，解得；
若，即，且，不符题意；
当时，即为恒成立，
令，
可得若对称轴，即，且，解得；
若，即，且，可得；
综上可得，原不等式恒成立时，，
可得的最小值为，
故答案为：．

7.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查了基不等式及恒成立问题，应用了整体思想及转化思想，属于中档题．

由化简得，结合重要不等式得，从而化简得，得，由恒成立得，从而解得．

【解答】

解：，
，

即，

，，

，

解得，，当且仅当，或，时，等号成立，
故，

故不等式恒成立化为，

解得，或；

故实数的取值范围是或，

故答案为：或．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式解决恒成立问题．
由，可得，，，所以恒成立，结合基本不等式即可得解．

【解答】

解：由，可得，，．
不等式恒成立，
可得恒成立，
恒成立，
，
当且仅当时等号成立，
，
且为正数
，
故答案为：．

9.【答案】解：由题意，时，不等式等价于，显然恒成立．
当时，该不等式为一元二次不等式，又对恒成立，
根据其对应一元二次函数的图像性质可知，其开口必向下且对应一元二次方程无解，于是有

解得．
综上，根据分析可知实数的取值范围是．
由时，不等式等价于，显然对恒成立．
 下面对分两种情况考虑：
当时，
即考虑不等式对一切恒成立，
不等式可变形为，即，
解得．
 当时，
即考虑不等式对一切恒成立，
不等式可变形为，即，
解得．
综上所述，若不等式 对一切恒成立，
必有，
即． 

【解析】本题考查了含参不等式恒成立问题，含参不等式对参数所在区间的恒成立问题属于较难题．
对参数分类讨论，并利用一元二次函数图像性质与其对应一元二次方程根的判别式可计算参数取值范围．
同考虑的情况，另外当时对不等式进行变形，将参数不等式化为常见的一元二次不等式，分类进行求解对这几种情况实数所在范围取交集运算，得到不等式对参数所在区间恒成立时实数的取值范围．
 

10.【答案】解：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，
所以解得，
由知，且，，
故，
当且仅当，即时，等号成立．
依题意有，即，
得，
所以的取值范围为． 

【解析】本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式．