重难点2-5 函数不等式恒成立问题6大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点2-5 函数不等式恒成立问题6大题型

新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题变式考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式和数列等知识为载体，渗透着还原、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题、能问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分，考查难度一般为中等或难题。

一、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
二、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
（1）若，，有成立，则有；
（2）若，，有成立，则有；
（3）若，，有成立，故；


【题型1 单变量不等式恒成立问题】
【例1】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）设函数，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，若对任意的都有不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．


【变式1-2】（2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知一次函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围.


【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数是奇函数.
（1）求 的值;
（2）用定义证明 在上为减函数;
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.


【题型2 单变量不等式能成立问题】
【例2】（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式2-1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数为幂函数．
（1）求函数的值域；
（2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围．


【变式2-2】（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数，．
（1）当a＝2时，求不等式的解集；
（2）若，使成立，求a的取值范围．


【变式2-3】（2021秋·江苏·高三校联考期中）已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，求x的取值范围.


【变式2-4】（2022秋·重庆北碚·高三重庆市朝阳中学校考开学考试）已知函数是奇函数，是偶函数.
（1）求和的值；
（2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.


【题型3 任意-任意型不等式成立问题】
【例3】（2022秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中）已知函数，，若对任意的实数，均有，则实数的取值范围是__．


【变式3-1】（2022秋·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考阶段练习）已知函数满足．
（1）求的解析式，并求在上的值域；
（2）若对且，都有成立，求实数k的取值范围．


【变式3-2】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，当时，对任意，，都有，求的取值范围．


【变式3-3】（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称．
（1）若，求x的值．
（2）令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围．


【题型4 任意-存在性不等式成立问题】
【例4】（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，，命题：对任意，都存在，使得，则命题正确的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．


【变式4-1】（2022秋·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考期末）已知函数.
（1）若，判断的奇偶性并加以证明；
（2）当时，
①用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值；
②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.


【变式4-2】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且
（1）判断的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.


【变式4-3】（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，.
（1）求的值；若函数的定义域为，求的值域.
（2）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围.


【题型5 存在-存在性不等式成立问题】
【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，，使得，求实数的取值范围.


【变式5-1】（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）已知函数
（1）利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性；
（2）若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.


【变式5-2】（2022秋·江西抚州·高三江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知
（1）解不等式；
（2）若存在实数x1，x2，使得，求实数a的取值范围．


【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的一个极值点是.
（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；
（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围.


【题型6 任意-存在性等式成立问题】
【例6】（2023·全国·高三对口高考）已知函数，，若对任意，都存在，使得等式成立，则实数k的可能取值是（ ）．
A． B． C． D．


【变式6-1】（2022秋·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式6-2】（2022秋·北京·高三北师大实验中学校考期中）已知函数，且.
（1）求实数的值，并求函数的最大值和最小值；
（2）函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.


【变式6-3】（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）已知，，其中，且函数为奇函数；
（1）若函数的图像过点A（1，1），求实数m和n的值；
（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，求实数m的取值范围；



（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）已知函数设，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若∃∈R，使得成立，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
5．（2022秋·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，4）
6．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围.


8．（2022秋·辽宁·高三大连二十四中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，．
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．


9．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．