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初中数学沪科版八年级上册第11章 平面直角坐标系综合与测试练习题
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这是一份初中数学沪科版八年级上册第11章 平面直角坐标系综合与测试练习题，文件包含专题114点的坐标变化规律与新定义问题重难点培优解析版docx、专题114点的坐标变化规律与新定义问题重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题11.4点的坐标变化规律与新定义问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•汝南县期中）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A100的坐标为（ ）
A．（101，100） B．（150，51） C．（150，50） D．（100，55）
【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），由100是偶数，A100的横坐标应该是100÷2×3，纵坐标应该是100÷2+1，则可求A100（150，51）．
【解析】观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），
A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），
∵100是偶数，且100＝2n，
∴n＝50，
∴A100（150，51），
故选：B．
2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点P2021的纵坐标是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，
由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0）…；
∵2021÷6＝336…5，
∴经过第2021次运动后，动点P的坐标与P5坐标相同，为（5，2），
故经过第2021次运动后，动点P的纵坐标是2．
故选：B．
3．（2020秋•包河区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2020秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2019，0） B．（2020，0） C．（2019，1） D．（2020，﹣1）
【分析】计算点P走一个半圆的时间，确定第2020秒点P的位置．
【解析】点运动一个半圆用时为ππ2=2秒，
∵2020＝1009×2+2，
∴2020秒时，P在第1010个的半圆的最末尾处，
∴点P坐标为（2020，0），
故选：B．
4．（2020春•天河区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣2，0），P2（﹣2，﹣2），P3（2，﹣2），P4（2，2），P5（﹣4，2），P6（﹣4，﹣4），P7（4，﹣4），P8（4，4），P9（﹣6，4），…，依此扩展下去，则P2019的坐标为（ ）
A．（1010，﹣1010） B．（﹣1010，﹣1010）
C．（1010，1010） D．（﹣1012，1010）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2019在第四象限，再根据第四象限点的规律即可得出结论．
【解析】由规律可得，2019÷4＝504…3，
∴点P2019在第四象限，
∵点P3（2，﹣2），点P7（4，﹣4），点P11（6，﹣6），
∴点P2019（1010，﹣1010），
故选：A．
5．（2021春•雨花区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2021的坐标为（﹣3，2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ）
A．﹣5 B．3 C．﹣1 D．5
【分析】列出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；根据以上结论和A2021的坐标为（﹣3，2），找出A1的坐标，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出结论．
【解析】∵A2021的坐标为（﹣3，2），
根据题意可知：
A2020的坐标为（﹣3，﹣2），
A2019的坐标为（1，﹣2），
A2018的坐标为（1，2），
A2017的坐标为（﹣3，2），
…
∴A4n+1（﹣3，2），A4n+2（1，2），A4n+3（1，﹣2），A4n+4（﹣3，﹣2）（n为自然数）．
∵2021＝505×4•••1，
∵A2021的坐标为（﹣3，2），
∴A1（﹣3，2），
∴x+y＝﹣3+2＝﹣1．
故选：C．
6．（2021春•硚口区期中）在平面直角坐标系中，点A（1，0）第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳至A2（2，1），第三次向左跳至A3（﹣2，2），第四次向右跳至A4（3，2），…，按照此规律，点A第2021次跳动至A2021的坐标是（ ）
A．（﹣1011，1011） B．（1011，1010）
C．（﹣1010，1010） D．（1010，1009）
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．
【解析】如图，观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2020次跳动至点的坐标是（1011，1010），
第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．
故选：A．
7．（2021春•重庆期中）一只青蛙在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点（ ）
A．（6，45） B．（5，44） C．（4，45） D．（3，44）
【分析】根据青蛙运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退4次可得2021次所对应的坐标．
【解析】青蛙运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．
2025﹣1﹣3＝2021，
故第2018次时青蛙所在位置的坐标是（3，44）．
故选：D．
8．（2021春•岳麓区校级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，按这样的运动规律，点P2021的纵坐标是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；
∵2021÷6＝336…5，
∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标是2，
故选：D．
9．（2021春•武昌区期中）如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（ ）
A．（﹣12，﹣12） B．（15，18） C．（15，﹣12） D．（﹣15，18）
【分析】由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，根据规律可得到A9A10＝3×10＝30，进而求得A10的横纵坐标．
【解析】根据题意可知：OA1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18•••，A9A10＝30，
∴A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，6），
A3点坐标为（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（9，﹣6），
A6点坐标为（9，12），
以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），
所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，
∴A10点坐标为（15，18），
故选：B．
10．（2021春•黄埔区校级期中）如图，A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…按此规律，点A2021的坐标为（ ）
A．（505，505） B．（506，﹣505） C．（506，506） D．（﹣506，506）
【分析】观察下标可知点A2021在第四象限，由此探究规律即可解决问题；
【解析】由题可知
第一象限的点：A2，A6，A10…角标除以4余数为2；
第二象限的点：A3，A7，A7…角标除以4余数为3；
第三象限的点：A4，A8，A12…角标除以4余数为0；
第四象限的点：A5，A9，A13…角标除以4余数为1；
由上规律可知：2021÷4＝505…1，
∴点A2021在第四象限，纵坐标为﹣505，横坐标为505+1＝506，
∴A2021的坐标是（506，﹣505）．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•泗水县期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2020的坐标是 （1010，0） ．
【分析】每6个点的纵坐标规律：32，0，32，0，-32，0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…，n2，即可求解．
【解析】每6个点的纵坐标规律：32，0，32，0，-32，0，
∵2020÷6＝336…4，
∴点P2020的纵坐标为0，
点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…，n2，
∴点P2020的横坐标为1010，
∴点P2020的坐标（1010，0），
故答案为（1010，0）．
12．（2021春•郧西县月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），…，则P2021的坐标是 （674，﹣1） ．
【分析】先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2021（674，﹣1）．
【解析】由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
2021÷6＝336•••5，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2017（672，1），P2018（673，1），P2019（673，0），P2020（673，﹣1），P2021（674，﹣1），
故答案为：（674，﹣1）．
13．（2021春•东莞市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A25的坐标为 （12，1） ．
【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1），依此规律即可得出结论．
【解析】∵点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，1）、A6（3，1）、A7（3，0）、A8（4，0）、A9（4，1）、…，
∴点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1），
∴点A25的坐标为（12，1）．
故答案为：（12，1）．
14．（2021春•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 （﹣3，1） ；若点A1的坐标为（a，b），且a，b均为整数，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则点A1的坐标为 （0，1） ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出A2，A3；
再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【解析】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2的横坐标为﹣1+1＝0，纵坐标为3+1＝4，
∴A2（0，4），
∴A3的横坐标为﹣4+1＝﹣3，纵坐标为0+1＝1，
∴A3（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
a+1＞0-a+1＞，-b+2＞0b＞0，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
∵a，b均为整数，
a＝0，b＝1
∴A1的坐标为（0，1）．
故答案为（0，1）．
15．（2021•海南模拟）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示的方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到（1，1），第3秒运动到（0，1），第4秒运动到点（0，2），…则第9秒点P所在位置的坐标是 （3，0） ，第2021秒点P所在位置的坐标是 （44，3） ．
【分析】分析点P在坐标系中的运动路线，寻找点P运动至x轴或y轴时的点坐标的规律．
【解析】根据题意列出P的坐标寻找规律．
P1（1，0）；
P8（2，0）；
P24（4，0）；
P48（6，0）；
即P2n（2n+2）坐标为（2n，0）．
P2024（44，0）．
∴P2021坐标为P2024（44，0）退回三个单位→（44，1）→（44，2）→（44，3）．
故答案为：（2，1），（44，3）．
16．（2017秋•高新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）我们把P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为 （3，1） ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2017除以4，根据商和余数的情况确定点A2017的坐标即可．
【解析】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4＝504…1，
∴点A2017的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．
故答案是：（3，1）．
17．（2020秋•梅列区校级期中）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到长方形OABC的边时，点P的坐标为 （5，0） ．
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解析】如图，根据题意得：P0（0，3），P1（3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，
∴点Pn的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（5，0）．
18．（2020春•钦州期末）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：（1，0），（0，1），（1，1），（﹣2，0），（0，﹣2），（﹣2，﹣2），（3，0），（0，3），（3，3），（﹣4，0），（0，﹣4），（﹣4，﹣4）…，按此规律，这列点中第1000个点的坐标是 （﹣334，0） ．
【分析】（1）观察各点规律发现：第1、4、7、10个点在x轴上，偶数是负号，奇数是正号，坐标分别（1，0），（﹣2，0），（3，0），（﹣4，0），…，第2、5、8个点在y轴上，偶数是负号，奇数是正号，坐标分别（0，1），（0，﹣2），（0，3），…，第3、6、9个点在一三象限，坐标分别（1，1），（﹣2，﹣2），（3，3），…，依此规律可求出第1000个点的坐标．
【解析】（1）观察各点规律发现：
第1、4、7、10个点在x轴上，偶数是负号，奇数是正号，
坐标分别（1，0），（﹣2，0），（3，0），（﹣4，0），…，
第2、5、8个点在y轴上，偶数是负号，奇数是正号，
坐标分别（0，1），（0，﹣2），（0，3），…，
第3、6、9个点在一三象限，
坐标分别（1，1），（﹣2，﹣2），（3，3），…，
∵1000÷3＝333余1，
∴第1000个点在x轴负半轴上，坐标为（﹣334，0）．
故答案为：（﹣334，0）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•拱墅区期中）已知当m，n都是实数．且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，n+22）为“开心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，n+22）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解析】（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，
当A（5，3）时，m﹣1＝5，n+22=3，得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“开心点”；
点B（4，10）不是“开心点”，理由如下，
当B（4，10）时，m﹣1＝4，n+22=10，得m＝5，n＝18，
则2m＝10，8+18＝26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“开心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”，
∴m﹣1＝a，n+22=2a-1，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3），
故点M在第三象限．
20．（2020春•船营区期末）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示：
（1）填写下列各点的坐标：A5（ 2 ， 1 ），A9（ 4 ， 1 ），A13（ 6 ， 1 ）；
（2）写出点A4n+1的坐标（n是正整数）；
（3）指出蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．
【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；
（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n+1的坐标（n为正整数）；
（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．
【解析】（1）根据点的坐标变化可知：
各点的坐标为：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；
故答案为：2，1，4，1，6，1；
（2）根据（1）发现：
点A4n+1的坐标（n为正整数）为（2n，1）；
（3）因为每四个点一个循环，
所以2021÷4＝505…1．
所以蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向是向上．
21．（2020春•新丰县期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…
（1）填写下列各点的坐标：P9（ 3 、0 ），P12（ 4 、 0 ），P15（ 5 、 0 ）
（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；
（3）点P60的坐标是（ 20 、 0 ）；
（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．
【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P3、P6、P9、P12，发现其中规律是脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．
【解析】（1）由动点运动方向与长度可得P3（1，0），P6（2，0），
可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，
即动点运动三次与横轴相交，
故答案为P9（ 3，0），P12（4、0 ），P15（5、0 ）．
（2）由（1）可归纳总结点P3n的坐标为P3n（n，0），（n是正整数）；
（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P60的横坐标是20
故点P60的坐标是（20、0 ）
故答案为（20、0 ）．
（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律
∴点P210在x轴上，
又由图象规律可以发现当动点在x 轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，
而点P210是在x轴上的偶数点
所以动点从点P210到点P211的移动方向应该是向上．
22．（2021春•西城区校级期中）已知整点P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”（也就是中国象棋式“日字”型跳跃）．例如，在下图中，从点A做一次“跳马运动”可以到点B，但是到不了点C．
设P0做一次跳马运动到点P1，再做一次跳马运动到点P2，再做一次跳马运动到点P3，……，如此继续下去
（1）若P（1，0），则P1可能是下列哪些点 E（﹣1，﹣1） ；
D（﹣1，2）；E（﹣1，﹣1）；F（﹣2，0）；
（2）已知点P0（9，3），P2（5，3），则点P1的坐标为 P1（7，2）或P1（7，4） ；
（3）P0为平面上一个定点，则点P7、P26可能与P0重合的是 P26 ；
（4）P0为平面上一个定点，则线段P0P7长的最小值是 5 ；
（5）现在P0（1，0），规定每一次只向x轴的正方向跳跃，若P21（38，10），则P1，P2，……，P20点的纵坐标的最大值为 18 ．
【分析】（1）根据跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位可得答案；
（2）P0至P2经两次运动，横坐标变小4个单位，纵坐标不变，可得答案；
（3）偶数次变化可能重合；
（4）P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”，即P0与P2、P4、P6重合，由此可得答案；
（5）从P0至P21共21次变化，每次都向x轴正向运动，则横坐标始终变大，设有x次运动，为横坐标变化2个单位，纵坐标变一个单位，则有（21﹣x）次为纵坐标变化2个单位，横坐标变1个单位，由此得方程，解方程可得答案．
【解析】（1）由题意，知跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，
∴P1可能为E（﹣1，﹣1）；
（2）P0至P2经两次运动，横坐标变小4个单位，纵坐标不变，则P1可能为P1（7，2）或P1（7，4）；
故答案为：P1（7，2）或P1（7，4）；
（3）P0为平面上一个定点，则点P7、P26可能与P0重合的是P26；
故答案为：P26；
（4）∵P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”，即P0与P2、P4、P6重合，
∴P0P7长的最小值是：22+12=5．
故答案为：5；
（5）从P0至P21共21次变化，每次都向x轴正向运动，则横坐标始终变大，设有x次运动，为横坐标变化2个单位，纵坐标变一个单位，则有（21﹣x）次为纵坐标变化2个单位，横坐标变1个单位，
∴2x+21﹣x＝38﹣1，
∴x＝16，
设有m次为纵坐标变大1个单位，则有（16﹣m）次变小1单位，有n次纵坐标变大2单位，（5﹣n）次变小2单位，
m+2n﹣（16﹣m）﹣2（5﹣n）＝10，
∴m＝18﹣2n，
∴纵坐标最大为：m+2n＝18．
故答案为：18．
23．（2020秋•长沙月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P'（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…
（1）若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 （﹣3，1） ，点A2018的坐标为 （0，4） ；
（2）若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足什么条件？
【分析】（1）根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2018的坐标即可；
（2）再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【解析】（1）∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2018÷4＝504余2，
∴点A2018的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；
故答案为：（﹣3，1），（0，4）；
（2）∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴a+1＞0-a+1＞0，-b+2＞0b＞0，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
24．（2020春•朝阳区校级月考）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如图1中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．
根据上述知识，解决下面问题：
（1）已知点P（3，﹣4），在点A（5，2），B（﹣1，0），C（﹣2，1），D（0，1）中，与点P之间的“折线距离”为8的点是 A，B，D ；
（2）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，求t的值；
（3）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，t+1），且d（P，Q）＝8，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）分别求出A，B，C，D与点P之间的“折线距离”求解．
（2）通过d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8求解．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8，分类讨论t的取值范围去绝对值符号求解．
【解析】（1）由题意得d（P，A）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，
d（P，B）＝|3﹣（﹣1）|+|﹣4﹣0|＝8，
d（P，C）＝|3﹣（﹣2）|+|﹣4﹣1|＝10，
d（P，D）＝|3﹣0|+|﹣4﹣1|＝8，
故答案为：A，B，D．
（2）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，
解得t＝﹣1或t＝7．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|，
化简得d（P，Q）＝|3﹣t|+|5+t|，
当﹣5≤t≤3时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t+5+t＝8，满足题意．
当t＜﹣5时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t﹣5﹣t＝﹣2﹣2t，不满足题意．
当t＞3时，|3﹣t|+|5+t|＝t﹣3+5+t＝2+2t，不满足题意．
∴﹣5≤t≤3．
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题11.4点的坐标变化规律与新定义问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•汝南县期中）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A100的坐标为（ ）
A．（101，100） B．（150，51） C．（150，50） D．（100，55）
【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），由100是偶数，A100的横坐标应该是100÷2×3，纵坐标应该是100÷2+1，则可求A100（150，51）．
【解析】观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），
A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），
∵100是偶数，且100＝2n，
∴n＝50，
∴A100（150，51），
故选：B．
2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点P2021的纵坐标是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，
由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0）…；
∵2021÷6＝336…5，
∴经过第2021次运动后，动点P的坐标与P5坐标相同，为（5，2），
故经过第2021次运动后，动点P的纵坐标是2．
故选：B．
3．（2020秋•包河区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2020秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2019，0） B．（2020，0） C．（2019，1） D．（2020，﹣1）
【分析】计算点P走一个半圆的时间，确定第2020秒点P的位置．
【解析】点运动一个半圆用时为ππ2=2秒，
∵2020＝1009×2+2，
∴2020秒时，P在第1010个的半圆的最末尾处，
∴点P坐标为（2020，0），
故选：B．
4．（2020春•天河区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣2，0），P2（﹣2，﹣2），P3（2，﹣2），P4（2，2），P5（﹣4，2），P6（﹣4，﹣4），P7（4，﹣4），P8（4，4），P9（﹣6，4），…，依此扩展下去，则P2019的坐标为（ ）
A．（1010，﹣1010） B．（﹣1010，﹣1010）
C．（1010，1010） D．（﹣1012，1010）
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2019在第四象限，再根据第四象限点的规律即可得出结论．
【解析】由规律可得，2019÷4＝504…3，
∴点P2019在第四象限，
∵点P3（2，﹣2），点P7（4，﹣4），点P11（6，﹣6），
∴点P2019（1010，﹣1010），
故选：A．
5．（2021春•雨花区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2021的坐标为（﹣3，2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ）
A．﹣5 B．3 C．﹣1 D．5
【分析】列出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；根据以上结论和A2021的坐标为（﹣3，2），找出A1的坐标，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出结论．
【解析】∵A2021的坐标为（﹣3，2），
根据题意可知：
A2020的坐标为（﹣3，﹣2），
A2019的坐标为（1，﹣2），
A2018的坐标为（1，2），
A2017的坐标为（﹣3，2），
…
∴A4n+1（﹣3，2），A4n+2（1，2），A4n+3（1，﹣2），A4n+4（﹣3，﹣2）（n为自然数）．
∵2021＝505×4•••1，
∵A2021的坐标为（﹣3，2），
∴A1（﹣3，2），
∴x+y＝﹣3+2＝﹣1．
故选：C．
6．（2021春•硚口区期中）在平面直角坐标系中，点A（1，0）第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳至A2（2，1），第三次向左跳至A3（﹣2，2），第四次向右跳至A4（3，2），…，按照此规律，点A第2021次跳动至A2021的坐标是（ ）
A．（﹣1011，1011） B．（1011，1010）
C．（﹣1010，1010） D．（1010，1009）
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．
【解析】如图，观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2020次跳动至点的坐标是（1011，1010），
第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．
故选：A．
7．（2021春•重庆期中）一只青蛙在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点（ ）
A．（6，45） B．（5，44） C．（4，45） D．（3，44）
【分析】根据青蛙运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退4次可得2021次所对应的坐标．
【解析】青蛙运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．
2025﹣1﹣3＝2021，
故第2018次时青蛙所在位置的坐标是（3，44）．
故选：D．
8．（2021春•岳麓区校级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，按这样的运动规律，点P2021的纵坐标是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；
∵2021÷6＝336…5，
∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标是2，
故选：D．
9．（2021春•武昌区期中）如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（ ）
A．（﹣12，﹣12） B．（15，18） C．（15，﹣12） D．（﹣15，18）
【分析】由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，根据规律可得到A9A10＝3×10＝30，进而求得A10的横纵坐标．
【解析】根据题意可知：OA1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18•••，A9A10＝30，
∴A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，6），
A3点坐标为（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（9，﹣6），
A6点坐标为（9，12），
以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），
所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，
∴A10点坐标为（15，18），
故选：B．
10．（2021春•黄埔区校级期中）如图，A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…按此规律，点A2021的坐标为（ ）
A．（505，505） B．（506，﹣505） C．（506，506） D．（﹣506，506）
【分析】观察下标可知点A2021在第四象限，由此探究规律即可解决问题；
【解析】由题可知
第一象限的点：A2，A6，A10…角标除以4余数为2；
第二象限的点：A3，A7，A7…角标除以4余数为3；
第三象限的点：A4，A8，A12…角标除以4余数为0；
第四象限的点：A5，A9，A13…角标除以4余数为1；
由上规律可知：2021÷4＝505…1，
∴点A2021在第四象限，纵坐标为﹣505，横坐标为505+1＝506，
∴A2021的坐标是（506，﹣505）．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•泗水县期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2020的坐标是 （1010，0） ．
【分析】每6个点的纵坐标规律：32，0，32，0，-32，0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…，n2，即可求解．
【解析】每6个点的纵坐标规律：32，0，32，0，-32，0，
∵2020÷6＝336…4，
∴点P2020的纵坐标为0，
点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…，n2，
∴点P2020的横坐标为1010，
∴点P2020的坐标（1010，0），
故答案为（1010，0）．
12．（2021春•郧西县月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），…，则P2021的坐标是 （674，﹣1） ．
【分析】先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2021（674，﹣1）．
【解析】由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
2021÷6＝336•••5，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2017（672，1），P2018（673，1），P2019（673，0），P2020（673，﹣1），P2021（674，﹣1），
故答案为：（674，﹣1）．
13．（2021春•东莞市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A25的坐标为 （12，1） ．
【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1），依此规律即可得出结论．
【解析】∵点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，1）、A6（3，1）、A7（3，0）、A8（4，0）、A9（4，1）、…，
∴点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1），
∴点A25的坐标为（12，1）．
故答案为：（12，1）．
14．（2021春•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 （﹣3，1） ；若点A1的坐标为（a，b），且a，b均为整数，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则点A1的坐标为 （0，1） ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出A2，A3；
再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【解析】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2的横坐标为﹣1+1＝0，纵坐标为3+1＝4，
∴A2（0，4），
∴A3的横坐标为﹣4+1＝﹣3，纵坐标为0+1＝1，
∴A3（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
a+1＞0-a+1＞，-b+2＞0b＞0，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
∵a，b均为整数，
a＝0，b＝1
∴A1的坐标为（0，1）．
故答案为（0，1）．
15．（2021•海南模拟）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示的方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到（1，1），第3秒运动到（0，1），第4秒运动到点（0，2），…则第9秒点P所在位置的坐标是 （3，0） ，第2021秒点P所在位置的坐标是 （44，3） ．
【分析】分析点P在坐标系中的运动路线，寻找点P运动至x轴或y轴时的点坐标的规律．
【解析】根据题意列出P的坐标寻找规律．
P1（1，0）；
P8（2，0）；
P24（4，0）；
P48（6，0）；
即P2n（2n+2）坐标为（2n，0）．
P2024（44，0）．
∴P2021坐标为P2024（44，0）退回三个单位→（44，1）→（44，2）→（44，3）．
故答案为：（2，1），（44，3）．
16．（2017秋•高新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）我们把P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为 （3，1） ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2017除以4，根据商和余数的情况确定点A2017的坐标即可．
【解析】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4＝504…1，
∴点A2017的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．
故答案是：（3，1）．
17．（2020秋•梅列区校级期中）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到长方形OABC的边时，点P的坐标为 （5，0） ．
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解析】如图，根据题意得：P0（0，3），P1（3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，
∴点Pn的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（5，0）．
18．（2020春•钦州期末）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：（1，0），（0，1），（1，1），（﹣2，0），（0，﹣2），（﹣2，﹣2），（3，0），（0，3），（3，3），（﹣4，0），（0，﹣4），（﹣4，﹣4）…，按此规律，这列点中第1000个点的坐标是 （﹣334，0） ．
【分析】（1）观察各点规律发现：第1、4、7、10个点在x轴上，偶数是负号，奇数是正号，坐标分别（1，0），（﹣2，0），（3，0），（﹣4，0），…，第2、5、8个点在y轴上，偶数是负号，奇数是正号，坐标分别（0，1），（0，﹣2），（0，3），…，第3、6、9个点在一三象限，坐标分别（1，1），（﹣2，﹣2），（3，3），…，依此规律可求出第1000个点的坐标．
【解析】（1）观察各点规律发现：
第1、4、7、10个点在x轴上，偶数是负号，奇数是正号，
坐标分别（1，0），（﹣2，0），（3，0），（﹣4，0），…，
第2、5、8个点在y轴上，偶数是负号，奇数是正号，
坐标分别（0，1），（0，﹣2），（0，3），…，
第3、6、9个点在一三象限，
坐标分别（1，1），（﹣2，﹣2），（3，3），…，
∵1000÷3＝333余1，
∴第1000个点在x轴负半轴上，坐标为（﹣334，0）．
故答案为：（﹣334，0）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•拱墅区期中）已知当m，n都是实数．且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，n+22）为“开心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，n+22）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解析】（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，
当A（5，3）时，m﹣1＝5，n+22=3，得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“开心点”；
点B（4，10）不是“开心点”，理由如下，
当B（4，10）时，m﹣1＝4，n+22=10，得m＝5，n＝18，
则2m＝10，8+18＝26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“开心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”，
∴m﹣1＝a，n+22=2a-1，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3），
故点M在第三象限．
20．（2020春•船营区期末）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示：
（1）填写下列各点的坐标：A5（ 2 ， 1 ），A9（ 4 ， 1 ），A13（ 6 ， 1 ）；
（2）写出点A4n+1的坐标（n是正整数）；
（3）指出蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．
【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；
（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n+1的坐标（n为正整数）；
（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．
【解析】（1）根据点的坐标变化可知：
各点的坐标为：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；
故答案为：2，1，4，1，6，1；
（2）根据（1）发现：
点A4n+1的坐标（n为正整数）为（2n，1）；
（3）因为每四个点一个循环，
所以2021÷4＝505…1．
所以蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向是向上．
21．（2020春•新丰县期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…
（1）填写下列各点的坐标：P9（ 3 、0 ），P12（ 4 、 0 ），P15（ 5 、 0 ）
（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；
（3）点P60的坐标是（ 20 、 0 ）；
（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．
【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P3、P6、P9、P12，发现其中规律是脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．
【解析】（1）由动点运动方向与长度可得P3（1，0），P6（2，0），
可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，
即动点运动三次与横轴相交，
故答案为P9（ 3，0），P12（4、0 ），P15（5、0 ）．
（2）由（1）可归纳总结点P3n的坐标为P3n（n，0），（n是正整数）；
（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P60的横坐标是20
故点P60的坐标是（20、0 ）
故答案为（20、0 ）．
（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律
∴点P210在x轴上，
又由图象规律可以发现当动点在x 轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，
而点P210是在x轴上的偶数点
所以动点从点P210到点P211的移动方向应该是向上．
22．（2021春•西城区校级期中）已知整点P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”（也就是中国象棋式“日字”型跳跃）．例如，在下图中，从点A做一次“跳马运动”可以到点B，但是到不了点C．
设P0做一次跳马运动到点P1，再做一次跳马运动到点P2，再做一次跳马运动到点P3，……，如此继续下去
（1）若P（1，0），则P1可能是下列哪些点 E（﹣1，﹣1） ；
D（﹣1，2）；E（﹣1，﹣1）；F（﹣2，0）；
（2）已知点P0（9，3），P2（5，3），则点P1的坐标为 P1（7，2）或P1（7，4） ；
（3）P0为平面上一个定点，则点P7、P26可能与P0重合的是 P26 ；
（4）P0为平面上一个定点，则线段P0P7长的最小值是 5 ；
（5）现在P0（1，0），规定每一次只向x轴的正方向跳跃，若P21（38，10），则P1，P2，……，P20点的纵坐标的最大值为 18 ．
【分析】（1）根据跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位可得答案；
（2）P0至P2经两次运动，横坐标变小4个单位，纵坐标不变，可得答案；
（3）偶数次变化可能重合；
（4）P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”，即P0与P2、P4、P6重合，由此可得答案；
（5）从P0至P21共21次变化，每次都向x轴正向运动，则横坐标始终变大，设有x次运动，为横坐标变化2个单位，纵坐标变一个单位，则有（21﹣x）次为纵坐标变化2个单位，横坐标变1个单位，由此得方程，解方程可得答案．
【解析】（1）由题意，知跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位；另一种为横坐标变化1个单位，纵坐标变化2个单位，
∴P1可能为E（﹣1，﹣1）；
（2）P0至P2经两次运动，横坐标变小4个单位，纵坐标不变，则P1可能为P1（7，2）或P1（7，4）；
故答案为：P1（7，2）或P1（7，4）；
（3）P0为平面上一个定点，则点P7、P26可能与P0重合的是P26；
故答案为：P26；
（4）∵P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”，即P0与P2、P4、P6重合，
∴P0P7长的最小值是：22+12=5．
故答案为：5；
（5）从P0至P21共21次变化，每次都向x轴正向运动，则横坐标始终变大，设有x次运动，为横坐标变化2个单位，纵坐标变一个单位，则有（21﹣x）次为纵坐标变化2个单位，横坐标变1个单位，
∴2x+21﹣x＝38﹣1，
∴x＝16，
设有m次为纵坐标变大1个单位，则有（16﹣m）次变小1单位，有n次纵坐标变大2单位，（5﹣n）次变小2单位，
m+2n﹣（16﹣m）﹣2（5﹣n）＝10，
∴m＝18﹣2n，
∴纵坐标最大为：m+2n＝18．
故答案为：18．
23．（2020秋•长沙月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P'（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…
（1）若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 （﹣3，1） ，点A2018的坐标为 （0，4） ；
（2）若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足什么条件？
【分析】（1）根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2018的坐标即可；
（2）再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【解析】（1）∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2018÷4＝504余2，
∴点A2018的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；
故答案为：（﹣3，1），（0，4）；
（2）∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴a+1＞0-a+1＞0，-b+2＞0b＞0，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
24．（2020春•朝阳区校级月考）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如图1中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．
根据上述知识，解决下面问题：
（1）已知点P（3，﹣4），在点A（5，2），B（﹣1，0），C（﹣2，1），D（0，1）中，与点P之间的“折线距离”为8的点是 A，B，D ；
（2）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，求t的值；
（3）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，t+1），且d（P，Q）＝8，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）分别求出A，B，C，D与点P之间的“折线距离”求解．
（2）通过d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8求解．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8，分类讨论t的取值范围去绝对值符号求解．
【解析】（1）由题意得d（P，A）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，
d（P，B）＝|3﹣（﹣1）|+|﹣4﹣0|＝8，
d（P，C）＝|3﹣（﹣2）|+|﹣4﹣1|＝10，
d（P，D）＝|3﹣0|+|﹣4﹣1|＝8，
故答案为：A，B，D．
（2）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，
解得t＝﹣1或t＝7．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|，
化简得d（P，Q）＝|3﹣t|+|5+t|，
当﹣5≤t≤3时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t+5+t＝8，满足题意．
当t＜﹣5时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t﹣5﹣t＝﹣2﹣2t，不满足题意．
当t＞3时，|3﹣t|+|5+t|＝t﹣3+5+t＝2+2t，不满足题意．
∴﹣5≤t≤3．
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