初中数学沪科版八年级上册第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系精品单元测试达标测试

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题13.6第13章 三角形中的边角关系单元测试（培优提升卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021春•兴隆县期末）下列图形具有稳定性的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据三角形具有稳定性解答．

【解答】解：选项中只有选项是三角形，

故具有稳定性的图形是三角形．

故选：．

2．（2021春•沙坪坝区期中）下列各图中，作边上的高，正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据三角形的高的概念判断即可．

【解答】解：、是边上的高，不符合题意；

、是边上的高，不符合题意；

、是边上的高，不符合题意；

、是边上的高，符合题意；

故选：．

3．（2020秋•长清区期末）下列命题是真命题的是　　

A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 

C．三角形的外角大于任一内角 D．直角三角形的两锐角互余

【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、三角形的外角的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；

、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，符合题意，

故选：．

4．（2020秋•薛城区期末）如图，已知，在中，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】如图，延长交直线于．利用平行线的性质，求出，利用三角形的外角的性质求出即可．

【解答】解：如图，延长交直线于．

，

，

，

故选：．

5．（2021•德州模拟）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为　　

A． B． C． D．

【分析】如图，作．证明即可解决问题．

【解答】解：如图，作．

，，

，

，，

，

，

，

故选：．

6．（2021春•淮阳区校级期末）一个三角形其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角的差，则这个三角形一定是　　

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【分析】由题意得这个三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的差，设这个内角为，另外两个内角为、且．由，得．

【解答】解：由题意得：这个三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的差．

设这个内角为，另外两个内角为、且．

，

．

．

这个三角形的是直角三角形．

故选：．

7．（2021春•建平县期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为，那么这个“特征角” 的度数为　　

A． B． 

C．或 D．或或

【分析】设三角形的三个内角分别是、、且．由题意得或或，故需分这3种情况讨论．

【解答】解：设三角形的三个内角分别是、、且．

当，则．

当，则．

当，则．

．

．

．

综上：“特征角” 可能为或或．

故选：．

8．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，延长的边到点，过点作．平分，平分交的反向延长找于点．已知，则的大小为　　

A． B． C． D．

【分析】由三角形的内角和可得，再由，可得，由角平分线可得，，由三角形的外角性质可得，最后在中，利用三角形的内角和即可求解．

【解答】解：在中，，

，

，

平分，平分，

，，

，

是的一个外角，

，

在中，，

，

，

，

整理得：，

，

，

，

解得：．

故选：．

9．（2019春•徐州期中）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．

【解答】解：平分，

，

，，

，

，①正确；

，

，

平分，，

，

，②正确；

平分，

，

，，

不等于，③错误；

平分，平分，

，，

，，，

，④正确；

，⑤正确，

故选：．

10．（2020秋•白银期末）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：

①；

②；

③平分；

④．

其中正确的结论是　　

A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．

②正确．首先证明，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．

③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．

④正确．证明即可解决问题．

【解答】解：，

，

平分，

，

，故①正确，

，

，

，

，

，

，

，

，，，

，故②正确，

假设平分，则，

，显然不符合题意，故③错误，

，，

，故④正确，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021春•长沙县期末）一个命题由“题设”和“结论”两部分组成．则命题“如果同旁内角互补，那么两直线平行”的题设是 　同旁内角互补　．

【分析】每个命题都由题设和结论两部分组成，题设是条件，结论是结果．

【解答】解：命题“如果同旁内角互补，那么两直线平行”的题设是同旁内角互补，

故答案为：同旁内角互补．

12．（2021春•自贡期末）命题：直线、、，若，，则；则此命题为 　真　命题．（填真或假）

【分析】根据平行线的性质定理判断即可．

【解答】解：，，

，

直线、、，若，，则；则此命题为真命题；

故答案为：真．

13．（2020秋•连山区期末）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为　30　．

【分析】利用中线定义可得，进而可得，然后再求的周长即可．

【解答】解：的周长为，

，

，

，

为的中线，

，

，

，

，

的周长为，

故答案为：30，

14．（2020秋•厦门期末）如图，是外角的平分线，且，若，则等于　72　度．

【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．

【解答】解：，

，

是外角的平分线，

，

，

，

故答案为：72．

15．（2021•鼓楼区二模）将一副三角板如图摆放，则　105　．

【分析】根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质计算即可．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

【解答】解：如图所示：

，

，

，

．

故答案为：105．

16．（2018秋•兴业县期中）如图，在中，的角平分线和外角的平分线，交于点，若，则　40　度．

【分析】根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，过作交的延长线于，，交的延长线于，根据角平分线的性质得到，，推出平分，得到，于是得到答案．

【解答】解：为的角平分线，为的角平分线，

，，

，

，

，

，

过作交的延长线于，，交的延长线于，

为的角平分线，为的角平分线，

，，

，

平分，

，

，

，

故答案为：40．

17．（2020春•叙州区期末）如图，中，、、分别平分的外角、内角、外角，．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有　①②④　．（填序号）

【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，求得，故①正确；根据角平分线的定义得到，求得故②正确；根据全等三角形的性质得到，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到，故④正确．

【解答】解：平分，

，

，

，，

，故①正确；

，分别平分，，

可得，

，

，故②正确；

，，，

，

，与题目条件矛盾，故③错误，

，，

，，

，故④正确，

故答案为：①②④．

18．（2019秋•河北区期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　①②③④　．（填序号）

【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定一一判断即可．

【解答】解：①、分别平分的内角、外角，

平分的外角，

，

，且，

，

，故①正确．

②、分别平分的内角、外角，

，

，故②正确，

③，，

，

，

，

，

，故③正确，

④，

，

，故④正确，

故答案为：①②③④．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021春•重庆期末）如图所示，已知，分别是和的高和中线，，，，．试求：

（1）的长；

（2）的面积；

（3）和的周长的差．

【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度；

（2）与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；

（3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，易求其值．

【解答】解：，是边上的高，

，

，即的长度为；

（2）方法一：如图，是直角三角形，，，，

．

又是边的中线，

，

，即，

．

的面积是．

方法二：因为，由（1）知，

所以．

的面积是．

（3）为边上的中线，

，

的周长的周长，即和的周长的差是．

20．（2021春•新蔡县期末）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．

【分析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出．

【解答】解：，

，

又是高，

，

，

、是角平分线，

，，

，

，

，

，．

故，．

21．（2020秋•肇州县期末）如图，与的角平分线交于点．

（1）若，，求的度数；

（2）猜想，，的等量关系．

【分析】设，，根据和的角平分线相交于点可得，，再由三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：（1）设，，

根据和的角平分线相交于点可知：

，，

三角形的内角和等于，，，

，即①．

是与的外角，

，即②．

同理，是与的外角，

，即③，

①②得，④，

①③得，⑤，

④代入⑤得，，

，

解得；

（2），理由如下：

由（1）同理可知：

，

解得．

22．（2021春•苏州期末）如图，中，为上一点，，的角平分线交于点．

（1）求证：；

（2）为上一点，当平分且时，求的度数．

【分析】（1）由角平分线定义得，再根据三角形的外角性质得；

（2）由角平分线定义得，进而得，由平行线的判定得，再根据平行线的性质求得结果．

【解答】解：（1）证明：平分，

，

，

，，

；

（2）平分，

，

，

，

，

，

．

23．（2020春•铁西区期末）在中，点是边上一点，分别过点，作于点，于点．

（1）如图，若，点是边上一点，且，请判断与的数量关系，并说明理由；

（2）若，点是直线上一点，且，请直接写出与的数量关系．

【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据垂直的定义得到，根据余角的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）于点，于点，

，

，

，

；

（2）如图2，

于点，于点，

，

，

，

；

如图3，当点在的延长线上时，

，

，，

，

，

，

综上所述，与的数量关系为相等或互补．

24．（2020春•溧水区期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．

（1）猜想并说明与、的数量关系；

（2）如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；

（3）如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系　　．

【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明与、的数量关系；

（2）结合（1）的结论，根据与的平分线．，，即可求的度数；

（3）结合（1）的结论，根据、分别是四边形外角、的角平分线．进而可以写出、与的数量关系．

【解答】解：（1）猜想：，

，

又，

；

（2），，

，

又、分别平分与，

，，

，

；

（3）、与的数量关系为为：

．

理由如下：

、分别是四边形外角、的角平分线．

，，

由（1）可知：

，

，

，

．

故答案为：．

25．（2019秋•永城市期末）（1）如图1，在中，平分，且与的外角的角平分线交于点，若，，求的度数．

（2）如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的角平分线交于点，若，，求的度数．

【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出、的等式，推出，最后代入求出即可；

（2）根据（1）中的结论即可得到结论．

【解答】解：（1）平分，平分，

，．

，，

，即，

．

，，，

．

（2）如图，延长，交于点．

，，

，

由（1）知．

26．（2017春•宛城区期末）【问题背景】小明在学习多边形时，把如图1的图形成为“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由；

（2）【尝试应用】如图2，、分别平分、，若，，求的

度数；

小明结合（1）中的结论并利用方程思想轻松解答如下：

解：由、分别平分、，可设，，

由（1）的结论得：，①②，

得

（3）【拓展延伸】如图3，已知，，，，请利用上述结论或方

法求的度数．

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．

（2）由平分的外角，平分的外角，推出，，由（1）可得，①②，得，推出，即可解决问题．

（3）列出方程组即可解决问题．

【解答】解：（1）证明：【问题背景】在中，，在中，，

，

；

（2）【尝试应用】、分别平分．

，，

由（1）的结论得：，

①②，得，

．

（3）由（1）可得，

，，

，，

，

，

由（1）可知，，

，

．