2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题22 锐角三角函数（学生卷+教师卷）

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专题22 锐角三角函数
一、单选题
1．（2020·江苏镇江·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，

∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，
∴cosB＝＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．
2．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
3．（2020·江苏无锡·中考真题）下列选项错误的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，本选项不合题意；
B．，本选项不合题意；
C．1，本选项不合题意；
D．2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．
【详解】延长CE交AB于F，如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF=,
AB=AF+BF=，
故选：A．
【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
二、填空题
5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．

【答案】##
【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．
【详解】解：过点D作交于点E，如图：

则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知：，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
6．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．

【答案】
【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
7．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则______．

【答案】
【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线交于，


，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，

，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
8．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．
【答案】
【详解】解：如图所示：


在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．
9．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．

【答案】##0.8
【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
由题意得，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
10．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．

【答案】5
【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a＋3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可．
【详解】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，
根据图象可知B'C'＝a，，
过点A'作A'H⊥B'C'，
则A'H为△A'B'C'的高，

∵△A'B'C'是等边三角形，
∴∠A'B'H＝60°，
∴sin60°＝，
∴A'H＝，
∴，即，
解得a＝﹣2（舍）或a＝2，
当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，
根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，
∴△ABC的边长是5，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B'到达B之前是一个阶段，然后点C'到达C是一个阶段，最后B'到达C又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可．
11．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．

【答案】9
【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．
【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠PBD＝30°，
过点P作PH⊥BD于点H，

∴BH＝DH，
∵cos30°＝＝，
∴BH＝BP，
∴BD＝BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝BC＝3，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴AB＝9，
∴BD最大值为：BP＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=BP是解题的关键．
12．（2021·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________．

【答案】
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解．
【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，

∵四边形是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
∴ FM=1，
∵BF=，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键．
13．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解．
【详解】解：设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x=，
故答案为：．

【点睛】u本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
14．（2020·江苏南通·中考真题）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】7.5
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．
15．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于_______．
  
【答案】
【分析】根据已知条件先求出的长，再根据外角，直角算出△是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，即可求出答案．
【详解】∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△是等边三角形
∴
∴是等边三角形
∴
同理可得 是等边三角形
∴
【点睛】本题考查了直角三角形计算，等腰三角形性质等知识点，发现线段之间的规律是解题关键．
16．（2020·江苏常州·中考真题）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．

【答案】
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD=       
∴．
故答案为．

【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
17．（2020·江苏常州·中考真题）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．

【答案】(2，)
【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，，
∴AD=AB=CD=2，，
∵，
∴，
在Rt△DOA中，，
∴OD=，
∴点C的坐标是(2，)．
故答案为：(2，)．
【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数值是解题关键．
18．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．

【答案】
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【详解】解：如图：作BD⊥AC于D

由正六边形，得
∠ABC=120°，AB=BC=a，
∠BCD=∠BAC=30°．
由AC=3，得CD=．
cos∠BCD==，即，
解得a=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．
19．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．

【答案】
【分析】如图，连接 过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 过作于，
正六边形,





故答案为：

【点睛】本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，点在反比例函数的图像上且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图像相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为______．

【答案】
【分析】由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上且横坐标为，
∴点P的坐标为：（1，3），

如图，AP∥x轴，BP∥y轴，
∵点A、B在反比例函数的图像上，
∴点A为（），点B为（1，），
∴直线与轴所夹锐角的正切值为：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题．
21．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．

【答案】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，
∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，
∴DE∥AB，
∵，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，
∴AH=6，
∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，
∴AG===，
∴=．
故答案是：．


【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题
22．（2022·江苏盐城·中考真题）．
【答案】3
【分析】先计算，化简绝对值、代入tan45°，最后加减．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的意义、绝对值的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
23．（2022·江苏泰州·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）

【答案】
【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．
【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：

∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8m，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，，代入数据：，
∴，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是．
【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．

(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长;
(2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案.
（1）
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴，，
∴，
∴，
在中，.

（2）
过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在中， ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ .

【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
25．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
（1）解：原式===1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b=2a+3b．
【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
26．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．

①若，，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．

【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2）
【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可；
②由，可得，由①同理可得，计算；
（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解．
【详解】（1）①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1．
（2）∵，


∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
设，则．
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图，过点D作于H．


∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27．（2022·江苏宿迁·中考真题）计算：4°．
【答案】2
【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】解：



【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
28．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．

【答案】（20＋20）m．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝，
∴m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴ m，
∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，
∴信号塔的高度为（20＋20）m．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．
29．（2022·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；
（2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；
（1）解：原式==．
（2）解：原式===．
【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．
30．（2021·江苏淮安·中考真题）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cos（180°﹣），理由见解析
【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．

理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．

理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣）．

理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣）＝m•cos（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
31．（2021·江苏淮安·中考真题）（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）1＜x≤2
【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、三角函数值，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式＝3﹣1﹣，
＝；
（2）
解不等式4x﹣8≤0，得：x≤2，
解不等式＞3﹣x，得：x＞1，
不等式组的解集为1＜x≤2．
【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟记三角函数值、和0指数幂，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
32．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【答案】68.5m
【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．

则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
33．（2021·江苏镇江·中考真题）（1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；
（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．
【答案】（1）1；（2）x2
【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：（1）（1﹣）0﹣2sin45°+
＝1﹣2×
＝1．
（2）（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x
＝（x+1）（x﹣1）÷﹣x
＝（x+1）（x﹣1）•﹣x
＝x（x+1）﹣x
＝x2．
【点睛】本题考查整式的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则．
34．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

【答案】114m
【分析】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的长，从而可得CF的长；在Rt△DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求得山顶D的高度．
【详解】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示

在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF=(m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m
∴(m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m．
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角等概念，要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决．
35．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
（1）求的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角
13°
28°
32°

0.22
0.47
0.53

0.97
0.88
0.85

0.23
0.53
0.62


【答案】（1）；（2）
【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．
【详解】解：（1）在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，

则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴的最小值为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
36．（2021·江苏盐城·中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．

（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米
【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可；
（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．
【详解】解：（1）过点作交于，
∵，
∴，
，
，
∴，
答：点距离地面113厘米；

（2）过点作垂直于地面于点，
过点作交于点，
过点作交于点，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵，将支杆绕点顺时针旋转，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
答：长为58厘米．

【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．
37．（2021·江苏无锡·中考真题）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）9；（2）
【分析】（1）先算绝对值，乘方和特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解；
（2）先通分化成同分母减法，进而即可求解．
【详解】解：（1）原式=
=9；
（2）原式=
=
=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及分式的减法运算，掌握特殊角三角函数以及分式的通分，是解题的关键．
38．（2021·江苏宿迁·中考真题）计算：4sin45°
【答案】1
【分析】结合实数的运算法则即可求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考察非0底数的0次幂等于1、二次根式的化简、特殊三角函数值等知识点，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握实数的运算法则．
39．（2021·江苏宿迁·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)．

【答案】无人机飞行的高度约为14米．
【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．
【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，

由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴sin∠APE＝，
∵∠APE＝30°，
∴sin30°＝，
解得：x＝≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
40．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;
（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即点到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
41．（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）

【答案】52m
【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，
根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．
【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．
∵∠FCD=90°，
∴四边形CEBF是矩形，
∵BE⊥CD，，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∴矩形CEBF是正方形．
设CE=BE=xm，
在Rt△BDE中，
m，
∵，
∴，
解得x=48，
∴CE=BE=48m，
∵四边形CEBF是正方形，
∴CF=BF=48m，
∵在Rt△ACD中，m，
∴AF=CF-AC=20m，
∴在Rt△ABF中，m，
∴A，B两点之间的距离是52m．

【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键．
42．（2021·江苏扬州·中考真题）计算或化简：
（1）；        （2）．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；
（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
43．（2020·江苏泰州·中考真题）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）应用零指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数值化简求值即可；
（2）分别求出两个不等式的解集即可得到结果；
【详解】（1）原式=．
（2）解不等式得；
解不等式得；
综上所述，不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算及不等式组的求解，计算准确是解本题的关键．
44．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【答案】19.8m．
【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【详解】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，
∴tan30°＝，
解得x≈8.22，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵ MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.22＝18.22，
∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
45．（2020·江苏镇江·中考真题）（1）计算：4sin60°﹣+(﹣1)0；
（2）化简(x+1)÷(1+)．
【答案】（1）1；（2）x．
【分析】（1）先求三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
【详解】解：（1）原式＝4×﹣2+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）原式＝（x+1）÷（）
＝（x+1）÷
＝（x+1）•
＝x．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂、分式的混合运算，熟练掌握这些知识的运算顺序和运算法则是解答的关键．
46．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．

【答案】
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD=，则AC=，
∴BD=AB-AD=，
∵∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴AC==()=(-)km．
答：船C离观测站A的距离为(-)km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
47．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，在中，的平分线交于点．求的长？

【答案】6
【分析】由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长．
【详解】解：在中，

是的平分线，

又
，
在中， ，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键．
48．（2020·江苏扬州·中考真题）计算或化简：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减计算即可；
（2）先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）



（2）


【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键是要熟练掌握运算法则．
49．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，）

【答案】20km
【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为

在中，


在中，





在中，

（km）
因此，轮船航行的距离约为
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
50．（2020·江苏泰州·中考真题）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，）

【答案】两次观测期间龙舟前进了18米．
【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，

根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了18米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．