专题04 导数及其应用（亮点讲）

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专题04 导数及其应用
知识回顾
一、导数的概念及运算：
1.导数的概念
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .

(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.
2.导数的几何意义
(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【温馨提示】求切线方程：求曲线过点的切线方程的方法：
1、当点是切点时，切线方程为；
2、当点不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标；
第二步：写出过点的切线方程为；
第三步：经点代入切线方程，求出的值；
第四步：将的值代入可得过点的切线方程.
3.基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；
(3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(logax)′＝；
(5)(sin x)′＝cos x；(6)(cos x)′＝－sin x；
(7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝.
4.导数的运算法则
如果f(x)，g(x)都可导，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).
5.复合函数的导数
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为：
h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.
二、导数与函数的单调性：
1.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【温馨提示】1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题
(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
2. (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)
在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则
y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
三、导数与函数的极值、最值：
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【温馨提示】
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
四、导数的综合应用：
1.导数的几何意义：
对导数的几何意义的考查，要关注三类问题，即求切线问题、已知切线求参数问题、切线的应用问题等.这三类问题往往结合函数的性质、函数的图象、直线方程、点到直线的距离等.
2.利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数单调性的考查，要关注三类问题，即求函数单调性区间、含参数函数单调性讨论、根据单调性逆向求参数问题等.这三类问题有时会以小题的形式出现，较多的应是解答题的某一问.
利用导数研究函数单调性的关键：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
3.利用导数研究函数的极值、最值：利用导数研究函数的极值的考查，要关注三类问题，即已知函数求极值、根据函数极值(点)逆向求参数、函数的极值(点)性质的考查等.其中已知函数求极值可能以小题的形式考查，其余主要是解答题的某一问.
利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：
(1)不能忽略函数f(x)的定义域；
(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；
(3)函数的极小值不一定比极大值小；
(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
4.导数的简单应用
利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等.注意：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立.导数与函数零点或方程根的问题：论函数零点的个数、已知方程根求参数问题或研究函数零点的性质——数形结合思想，研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
已知函数零点x0∈(a，b)，求参数范围的一般步骤：
(1)对函数求导；
(2)分析函数在区间(a，b)上的单调情况；
(3)数形结合分析极值点；
(4)依据零点的个数确定极值的取值范围，从而得到参数的范围.
5.导数与不等式恒成立、存在性问题：研究不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值，对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度较大，属于困难题.
1）由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略：
(1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题；
(2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a 2）利用导数处理不等式在区间D上有解或恒成立的常用结论：
不等式a 不等式a>f(x)在区间D上有解⇔a>f(x)min；不等式a≥f(x)在区间D上有解⇔a≥f(x)min；
不等式a 不等式a>f(x)在区间D上恒成立⇔a>f(x)max；不等式a≥f(x)在区间D上恒成立⇔a≥f(x)max.
6.导数与不等式的证明问题：
利用导数证明不等式的解题策略：一般先将待证不等式如f(x)≥g(x)的形式转化为f(x)－g(x)≥0的形式，再设h(x)＝f(x)－g(x)，进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题.不过由于不等式呈现的形式多样化，具体求解时还得灵活多变.
【温馨提示】常用结论：
1）在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
4）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
5）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．













常考题型
1.导数据的概念及几何意义：
【例题1-1】已知，则在处的导数（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】
根据条件可得出，即可得出的值.
【详解】
，．
故选：C
【自我提升】已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．－4
【题点】　导数定义在函数中的应用
【答案】　A
【解析】　f′(x)＝ ＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
【例题1-2】已知曲线方程为,求:
（1）点处的切线方程
（2）过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】(1) .(2) 或.
【分析】
求导后算出在点处的斜率然后求出切线方程
切点坐标为，求导后算出直线方程，将点代入求出切点坐标，从而计算出直线方程
【详解】(1) .
又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率,
故所求切线的方程为,即.
(2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为,
由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为.
又∵点在切线上,∴解得或.
∴切点坐标为,.
故所求切线方程为或,
即或.
【点睛】解题的思路是求出曲线解析式的导函数，将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而写出切线方程，要求学生掌握求导法则以及会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．
【例题1-3】与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
【答案】2x－y－1－ln2＝0
【分析】求导，先求出曲线y＝ln x斜率为2的切点坐标，结合斜率写出直线方程即可
【详解】
∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.故答案为：2x－y－1－ln 2＝0
【自我提升1】曲线在处的切线斜率为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】
，.
故选：B.
【自我提升2】垂直于直线且与曲线相切的直线方程的一般式是______．
【答案】
【解析】
因为直线2x－6y+1=0的斜率是，所以切线的斜率是．函数y=x3+3x2－1的导数是，令，则，故切点坐标是，切线方程为，即．
【例题1-4】已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.
【详解】
由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.
故选：A.
【自我提升】已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)

A．0 C．0 【答案】　C
【解析】　kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0 【点睛】　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
【例题1-5】已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
【考点】　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
【解析】　对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝ .
对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝＝ =－3x.
由题意得2x0＝－3x，解得x0＝0或－.
【自我提升1】已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　)
A．－2 B．1 C. D．2
【考点】　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
【答案】　B
【解析】　由题意知，y1′＝ ＝，
y2′＝ ＝3x2－2x＋2，
所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为，3x－2x0＋2.
由题意可知，＝3，所以x0＝1.
【自我提升2】下列说法正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
【答案】D
【分析】
结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.
【详解】
对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，
故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：D．

2.导数的运算：
【例题2-1】求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】对函数分别求导即可，其中（2）属于除法求导；（3）属于乘法求导；（4）属于复合函数求导．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）

（4）．
【点睛】
（1）导数计算的原则和方法：原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导；（2）熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导的基础．对较复杂的函数求导时，先化简再求导．
【自我提升】已知函数的导函数为，且满足，则（       ）
A．1 B． C．-1 D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，
所以，解得．
故选：.
【例题2-2】已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，

所以的最大值为.
故选: D.
【自我提升】若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设与直线平行的直线与曲线切于，
由定义域为，得，则，
由，解得（舍去负值）．
，则点到直线的最小距离是．
故选：C．
【例题2-3】方程有两个不相等实根，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
方程有两个不相等实根有两个不同的交点，令，所以，则，所以，所以与的图象有两个交点.
①当时，如下图可知与的图象有一个交点，不满足.

②当时，如下图，当与相切于点，所以，
则，解得：，所以要使与的图象有两个交点，所以a的取值范围是：.
故选：C.

【自我提升1】设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则的值为___________．
【答案】
【详解】
试题分析：求导函数，可得，设过 处的切线斜率，则 ，所以切线方程为，令 ，可得， ，故答案为．
考点：1、利用导数研究曲线上某点切线方程；2、对数的运算及累乘法的应用．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及对数的运算及累乘法的应用，属于难题．求曲线切线的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即 在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与 轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程．
【自我提升2】设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=______.
【答案】
【分析】
求出函数导数，利用基本不等式可得导数的最小值为，根据倾斜角的范围可得，即可解出.
【详解】
，，
，当且仅当时等号成立，
l的倾斜角的取值范围是，
，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解.
3.导数与函数的单调性：
【例题3-1】下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和导函数，逐项分析各函数即可得出答案.
【详解】
选项A中，在 上不恒非负，选项A错误；
选项B中， ，所以 的图像不关于原点对称，选项B错误；
选项C中， ，即 为奇函数，图像关于原点对称
又，时，恒成立
所以在上单调递增，选项C正确；
选项D中，当 时，在上为单调增函数在 上为单调减函数，选项D错误.
故选：C.
【自我提升】函数在上的单调性是（ ）．
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
【答案】C
【分析】
利用导数判断函数在上的单调性.
【详解】
，令，得；
令，得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
故选：C
【例题3-2】
【自我提升】函数的单调递减区间为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接求出导数，建立不等式，即可求出单减区间.
【详解】
的定义域为，因为，，解得，所以函数的单调递减区间为.
故选：A．
【例题3-3】已知函数
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
【分析】
（1）求导，进而得到，，写出切线方程；
（2）分别由和，求得相应的增区间和减区间.
【详解】
（1），
则，，
所以函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，得或，
令，得或；令，得，
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
【温馨提示】利用导数求函数的单调区间：1. 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．
2. (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
【自我提升1】函数的单调递减区间为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接求出导数，建立不等式，即可求出单减区间.
【详解】
的定义域为，因为，，解得，所以函数的单调递减区间为.
故选：A．
【自我提升2】函数的单调增区间是(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
【例题3-4】已知函数，当时讨论在的单调性.
【答案】详见解析
【分析】
求导得到，讨论，和三种情况，分别判断导函数的正负得到函数单调性.
【详解】
当时，，，
当时，，，函数单调递增；
当时，
若，，，，函数单调递减；
若时，，故时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
【例题3-5】若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数在区间 内有意义，
则，
设则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使 在区间内内单调递增，
则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；
因为时，所以与矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当时，是减函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使在区间内内单调递减，
则需使 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，
所以，
又，所以.
综上，的取值范围是故选：B
【自我提升】若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
若函数是上的单调函数，只需在上恒成立，
即，
∴．故的取值范围为．
故选：B.
【例题3-6】已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知方程有两个不同的实数根，
令，作出的图象如图所示，

数形结合可知直线与函数的图象在上有两个不同的交点．
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
则，，则①，
当时，，则②，
由①②可得，，
∴，得，
故选：A．
【例题3-7】已知函数f(x)＝kx－ln x．
（1）在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围.
（2）在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围.
（3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围.
【题点】　已知函数的单调性求参数(或其范围)
【答案】（1）　[1，＋∞)；（2）(－∞，0]；（3）(0,1)．
【解析】（1）　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于
f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
（2）　∵f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≤，∵0<<1，∴k≤0.即k的取值范围为(－∞，0]．
（3）　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－.
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
只需∈(1，＋∞)，即>1，则0 ∴k的取值范围是(0,1)．
【温馨提示】利用导数求参数的取值范围：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)恒成立问题的重要思路：
①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
【自长提升1】若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求函数的导数，要使函数单调递增，则恒成立，然后求出实数的取值范围．
【详解】
解：因为，所以．
要使函数单调递增，则恒成立．
即恒成立．
所以，
因为
所以，
所以，即．
故选：D ．
【自我提升2】已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.
【答案】
【分析】
构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解．
【详解】设，则 ，
因为，，所以，可得在上单调递增，
不等式，即，即，所以，
因为在上单调递增，所以，解得：，
所以不等式的解集为：，故答案为：．
【自我提升3】证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．
【题点】　利用导数证明不等式
【证明】　令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，
∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，
∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，
综上，ex≥x＋1≥sin x＋1.
4.导数与函数的极值：
【例题4-1】求下列函数的极值．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）极大值10，极小值-22
（2）极大值108，极小值0
（3）极小值1，无极大值
【分析】
分别对三个函数进行求导，分析其单调性，然后根据极值的概念即可求解.
【解析】（1）
∵，令，即，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x



3


＋
0

0
＋


极大值

极小值

∴由上表可知，函数的极大值为；函数的极小值为．
（2）
，
令，即，解得，，，
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
x

0

3

5


＋
0
＋
0

0
＋


无极值

极大值

极小值

由上表可知的极大值为；的极小值为．
（3）
由题意，，，令，得或(舍去)，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而函数有极小值，无极大值．
【自我提升】设函数，则（ ）
A．f（x）的极大值为 B．f（x）的极小值为
C．f（x）的极大值为 D．f（x）的极小值为
【答案】D
【分析】
直接求出导数，利用列表法求极值即可.
【详解】
的定义域为，.
令，解得x=2.列表得：
x

2


-
0
+

单减
极小值
单增
所以f（x）在x=2处取得极小值，，无极大值.
故选：D
【例题4-2】已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
【考点】　函数在某点处取得极值的条件
【题点】　含参数求极值问题
【解析】　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值


所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值


所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值
f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
【例题4-3】已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
【题点】　已知极值点求参数
【答案】　D
【解析】若a<－1，因为f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1 若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.
【自我提升1】函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　)
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
【题点】　已知极值求参数
【答案】　A
【解析】　∵f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
【自我提升2】若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
【自我提升3】已知函数（）在上有极值点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】
转化为导函数在上有变号零点，令，参变分离可得，令，求导分析单调性以及的取值范围，即得解
【详解】由题意，得．
令，则（）．
令，则，所以函数在上单调递减，
所以当时，
故要使函数在上有极值点，只需，
即实数a的取值范围是．故答案为：
【例题4-4】若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意即在内有两个不等实根，作出（）的简图，数形结合可得结果.
【详解】
依题意即在内有两个不等实根.
作出（）的简图，由图可知，解得.
故选：C.


5.导数与函数的最值：
【温馨提示】求函数的最值
1. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
3. 由函数的最值求参数
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
【例题5-1】求下列函数的最值：
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】
（1）最小值为，最大值为；
（2）最大值为2，最小值为；
（3）最大值为，最小值为.
【分析】
利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间，从而求函数的最值.
（1）
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上，当x变化时，与的变化情况如下表：
x




1



0





极小值


又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
（2）
，，
令，得或．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
在上，当x变化时，与的变化情况如下表：
x




1

2



0

0





极小值

极大值


又，，，，
∴的最大值为2，最小值为．
（3）∵，，
，．
令，得．
在上，当x变化时，与的变化情况如下表：
x


1

2



0





极小值0


所以当时，取得极小值，也是最小值，且．
又，，
，∴，
∴在上的最大值为，最小值为．
【自我提升1】函数在区间内的最小值为___________.
【答案】
【分析】
求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值．
【详解】
解：函数，导数为：，
令，可得，或，
，，函数单调递减，,，，函数单调递增，
函数在区间,内的最小值为：．
故答案为：．
【自我提升2】函数在上的最大值为_____.
【答案】##
【分析】
求导分析单调性，可得在单调递减，单调递增，比较即得解
【详解】
由题意，
令
当，故在单调递增；
当，故在单调递减；
当，在单调递减，单调递增
且
故函数在上的最大值为
故答案为：
【例题5-2】若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
【答案】20
【分析】利用导函数求函数的最值即得.
【详解】
∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a，
∴f(0)＜f（3）．
∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
故答案为：20.
【自我提升1】已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是________.
【答案】15x－3y－2＝0
【分析】
先求导，由的最大值为5，结合二次函数性质可求得a＝1，继而得到
，即得解
【详解】
∵＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴＝－2x2＋4x＋3，
＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.
故答案为：15x－3y－2＝0
【自我提升2】若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可作答.
【详解】由得：，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且，
即，解得，
所以实数的取值范围为.故答案为：
6.恒成立与存在性问题：
【温馨提示】不等式恒成立　
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
双变量恒成立
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.
(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
【例题6-1】已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对任意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.
所以在上恒成立，则
而，则．
故选：A．
【自我提升】已知函数，且，恒成立，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】
由题设条件分析易知，再应用导数研究在上的单调性，结合恒成立求a的取值范围.
【详解】
由函数解析式知：当有时，，在不成立，
∴，而 .
∵，则，故上，
∴，在单调递减，则有，
∴.
综上，a的取值范围是.故答案为：.
【例题6-2】已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∃x1,x2∈R，使得成立，等价于，
，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当x＝－1时，取得最小值；
当x＝－1时取得最大值为，
所以，即实数a的取值范围是，故选：B．
【自我提升】已知函数，若存在，使得若存在成立 ，则的最小值为______
【答案】
【分析】
求导函数，分析的符号，得出函数的单调性，再由已知得，令，利用导函数得出所令函数的最值，可求得答案.
【详解】
解：的定义域为，由得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又 由得，
又，
令，则令，得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，，所以的最小值为，故答案为：.
【自我提升】已知函数的图象在点处的切线方程为．若对任意有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
由题可得，利用导数的几何意义及条件可得，再利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，即可得出实数的取值范围．
【详解】
由题得，，
∵函数的图象在点处的切线方程为，
∴，
，解得，
∴．
∴，
∵，∴．
当时，函数取得最大值，．
∵对任意有恒成立，所以，
∴．
∴实数的取值范围.
7. 利用导数探讨函数的零点问题：
【例题7-1】若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
原问题等价于在上有两解，即直线与函数，的图象有两个不同的交点即可求解.
【详解】
解：由题意，在上有两解，
即在上有两解，
令，故，
令，故在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，故选：C.
【点睛】已知函数有几个零点或方程有几个根求参数的取值范围的问题，常常分离参数，将原问题等价转化为直线与函数图象的交点来解决.
【例题7-2】设函数的导数满足，.
（1）求的单调区间；
（2）在区间上的最大值为，求的值.
（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.
【答案】
（1）递增区间为，递减区间为，
（2）
（3）
【分析】
（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；
（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.
（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.
【解析】（1）由可得，
因为，，所以，解得：，，
所以，，
由即可得：，
由即可得：或，
所以的单调递增区间为，单减区间为和.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
，
，
则在区间上的最大值为，
所以.
（3）由（1）知当时，取得极小值，
当时，取得极大值
，
若函数的图象与轴有三个交点，
则得，解得，即的范围是.
【自我提升1】已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
曲线与在区间上有两个公共点，即在区间上有两根，设，则，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，，，
故在区间上有两根则，故选：A
【自我提升2】已知函数）有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e）
【答案】A
【详解】令，所以或，
令，则，
令，则，
当时，，h(x)在（－∞，0）上单调递增；
当时，，h(x)在（0，＋∞）上单调递减，
所以，即，
所以g(x)在R上单调递减，又，g（0）＝，
所以存在使得，
所以方程有两个异于的实数根，则，
令，则，
当时，，k(x)在（－∞，1）上单调递增；
当时，，k(x)在（1，＋∞）上单调递减，且．
所以，所以与的部分图象大致如图所示，

由图知，故选：A．
8.导数的实际应用：
【例题8-1】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
【考点】　利用导数求几何模型的最值问题
【答案】
【解析】设弯成圆的一段铁丝长为x(0 设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长，圆的半径.
故．因此 ，
令S′＝0，则x＝.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝ cm时，面积之和最小．
【自我提升】某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：
Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
【考点】　利用导数求解生活中的最值问题
【答案】　D
【解析】　毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．

1. 曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵，∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.
2. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由函数的图象，判断出它的单调性，再根据函数图象切线斜率的变化情况，判断的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而得出结论．
【详解】由函数的图象知，当时，单调递增，
，
函数图象切线斜率逐渐增大，单调递增，
，，
，
，故选：A．
3. 函数的函象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
确定函数为奇函数排除C，判断当时，，排除BD，得到答案.
【详解】
，则，函数为奇函数，排除C；
设，则，函数单调递增，，
故当时，，即，排除BD.
故选：A.
4.函数的单调增区间是(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
5.若函数，满足且，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
6. 设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知求导可得导数的运算结果以4为周期变化，即可求出.
【详解】
，，，，
，
所以导数的运算结果以4为周期变化，.
故选：C.
7. 已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【答案】D
【详解】
设直线l：与曲线相切，切点为，因为的导数为，由，解得，所以切点为，代入得，所以切线方程为.将化为标准方程为，因为l与圆相切，所以，解得.
故选：D
8. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值.
【详解】的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即.
由于切线与曲线相切，
可联立，得，
又，两线相切有一切点，所以有，解得.故选：B.
9. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
10. 下列函数中，是极值点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用极值点的定义，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极值点，所以A正确；
对于B中，函数，可得，所以函数在上单调递减，
可得函数为极值点，所以B不正确；
对于C中，函数，可得，所以函数在上单调递减，可得函数为极值点，所以C不正确；
对于D中，函数在处无定义，所以不是极值点，所以D不正确.
故选：A.
11. 已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．2 B．7 C．2或7 D．3或9
【答案】B
【分析】
求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可.
【详解】
，，
根据题意：，，
解得或，
当时，，函数单调递增，无极值点，舍去.
当时，，
在和时，，函数单调递增；
在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.
综上所述：.
故选：B.
12. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以f(x)>-3，
所以.故选：C
13.已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【答案】##
【详解】
设函数，则
又   
所以在上单调递增，又
故不等式 可化为
由的单调性可得该不等式的解集为．故答案为：
14.点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________.
【答案】
【分析】
由题可得平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为与y＝x距离最近的点，根据导数求出切点即可得出.
【详解】
根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|＝1.

∵y′＝(ex)′＝ex，∴，得，代入y＝ex，得，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
故答案为：.
15.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．
【考点】　利用导数求解生活中的最值问题
【答案】　80
【解析】　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
x∈(0,120]
则．
令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80,120]时，y′>0，该函数递增，所以当x＝80时，y取得最小值．
16.已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值为，即得解.
【详解】
在上恒成立，则在上恒成立，
设，，所以在单调递增，
故的最大值为．故．
故答案为：
17.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
求导函数，先考虑其反面函数单调时的范围，再求结论的补集即可得到结论.
【详解】
，
若函数在区间上单调，
则或在上恒成立，
即或，
∴或，
于是满足条件的实数的范围为，
故答案为：.
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.
18.若函数在区间内不存在极值点，则实数的取值范围是__________.
【答案】或.
【分析】
求出导函数，由在内无变号零点求解，引入新函数，结合两角差的正弦公式、正弦函数的性质可得结论．
【详解】
因为在区间内不存在极值点，所以
在区间内无变号零点，令
，当时，，
，，故只需满足或即可，
解得或.
故答案为：或.
19.已知函数在处取得极值，则在上的极小值为______．
【答案】-4
【分析】
利用，求得，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函数的最值.
【详解】由题意，函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，解得，
所以，可得，
令，得或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值，极小值为．
故答案为：.
20.已知函数，则的最小值是______．
【答案】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.
【详解】
由题意，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时取得最小值，此时．
当时，，
当时，，所以的最小值是．
21.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．故答案为：．
22.求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）（2）中先写成幂函数的形式，利用幂函数的求导法则，即可求解；（3）（4）先化简，利用导数的减法运算和基本初等函数求导法则，即可求解
【详解】
（1）．
（2）．
（3）∵，
∴．
（4）∵，
∴．
23.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，求小圆柱体积的最大值．

【答案】
【分析】
利用圆柱体积公式表示小圆柱的体积，再利用导数求其最值.
【详解】
小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等且为5，下部分深入底部半球内．
设小圆柱下部分的高为h(0 所以小圆柱体积V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0 V′＝－π(3h－5)(h＋5)．
当00，体积V单调递增；
当 所以当h＝时，小圆柱的体积取得最大值，即Vmax＝π×＝，
故答案为：.
24.已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝log2x．
（1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程；
（2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1 )设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式列方程求得，从而可得结果；(2)设,求得导数可得切线的斜率,由两点的斜率公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，可得的横坐标.
【详解】
（1）设切点为，函数导数为
由题意可得，解得，则切线方程为；
（2）的斜率为，
设，假设存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，
可得.可得
则曲线上存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，
且P的横坐标为.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
25.设曲线在处的切线与直线所围成的三角形面积为，求a的值.
【答案】
【分析】
先求导，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令，求得交点，再由三角形的面积公式，解方程即可求解
【详解】由，得，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为： ，
令，可得，
令，可得，
则三角形的三个顶点为，，，
所以三角形的面积为，
解得
26.已知是函数的导函数，对任意的，，且.
（1）若，求使成立的的取值范围；
（2）若，求函数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）分析可得，可设，可得出，求得的值，然后解不等式，即可得解；
（2）分析可得，令，求得，可得出，设，利用判别式法可求得的范围，即可得解.
（1）
解：由，得，即.
令，则，（为常数），
因为，则，所以，.
若，则，即，解得.
故实数的取值范围是；
（2）由，得，即.
令，则，所以，（C为常数），
则，所以，，
又，，所以，，则，
所以，，令，可得.
当时，；
当时，，解得，此时或.
综上所述，的取值范围是.
27.已知函数，（且）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为(2)
【解析】(1)
当时，，

当时，，当时；
故的单调递增区间为，递减区间为.
(2)由题意知在有两个不等实根，
，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，，，，，
作出的图象如图所示：

由图可知，解得且，
即a的取值范围为.
28.已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值；
(3)画出的草图(要求尽量精确).
【答案】(1)增区间为，减区间为；
(2)最小值为，最大值为；
【解析】(1)
由题设，
所以、上，上，
所以的单调增区间为、，单调减区间为.
(2)
由（1）可得如下列表：







4









7
递增

递减

递增


当时，在的最小值为，
当或时，在的最大值为.
(3)



0

4

7

4



结合（1）的结论，函数图象如下：


29.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，证明：；
【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；
（2）由（1）求得，由，得出，求出，引入新函数，求得最大值即可．
（1）
的定义域为，且
当时，在上恒成立，在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）故要使恒成立，只需即可；
由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，即，，
所以，，
令，
由得，由得．所以在上递减，在上递增
所以，
所以．
30.已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【答案】(1)，
(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.
【解析】(1)
，由条件可知和，
即，解得：，，
所以，
检验：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；
(2)
，解得：，
所以














单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
，函数的极大值是，函数的极小值是.
31.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0 【考点】　利用导数求解生活中的最值问题
【解析】　由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，
每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5) ＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，.
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．