专题09 空间向量（亮点讲）

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专题09 空间向量
知识回顾
1. 空间中点、直线和平面的向量表示
空间图形
向量表示
图形表示
点
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量.

直线
点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.

平面
取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.

平面
的法
向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 .

【温馨提示】先建系，利用待定系数法求平面法向量，根据法向量与平面内的两条不共线的向量垂直，计算出平面的一个法向量．
2. 空间中直线与平面、平面与平面的平行
位置关系
向量表示
图形表示
线线平行
设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.

线面平行
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，
l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.

面面平行
设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.


【温馨提示】
1．应用向量法证明线面平行问题的方法:
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法:设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
3. 空间中直线与平面、平面与平面的垂直
位置关系
向量表示
图形表示
线线垂直
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，
则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

线面垂直
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.

面面垂直
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，
则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

【温馨提示】
利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行．
利用空间向量证明面面垂直的方法：
1．利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题．
2．直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
4. 用空间向量研究距离与夹角问题
分类
向量求法
两点距
设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|
点线距
设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离
.
点面距
已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为 .
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ
设l1与l2的方向向量分别为u，v，
则cosθ＝|cos|＝

直线l与平面α所成的角为θ
设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则sin θ＝|cos|＝

平面α与平面β的夹角为θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，
则cos θ＝|cos|＝


【温馨提示】向量法求点N到直线l的距离的步骤:
第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s.
第二步：在直线l上任取一点M(注：可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线l外的点N的方向向量.
第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝ .
求点到平面的距离的四个步骤:

　用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距．
求异面直线所成角的方法:
(1)几何法
①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角；
②证明：证明所作角符合定义；
③计算：解三角形求解．
(2)坐标法
①建系：建立空间直角坐标系；
②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标；
③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角；
④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线
所成的角．
【温馨提示】两条异面直线所成的角的取值范围是.
求直线与平面的夹角的方法与步骤：
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：

利用向量方法求平面间夹角的大小时，多采用法向量法，具体求解步骤如下：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两个平面的法向量n1和n2；
(3)设平面间的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|；
(4)利用余弦值，确定平面间的夹角的大小．

常考题型
1.空间向量的线性运算：
1）解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2) 首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
2）空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
3）利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
【例题1-1】已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：

(1)＋＋′；
(2) ′－＋；
(3)＋＋(′－)．
【自我提升】（多选）如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)

A.－－
B.＋－
C.－－
D.－＋
2.空间向量共线问题：
解题方略：
1）要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
2）证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ (λ∈R)．
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)．
(3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)．　　　　
【例题2-1】设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【例题2-2】如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
3.空间向量共面问题：
解题方略：
1）解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
2）证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) ＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4)∥ (或∥或∥)．　　　　
【例题3-1】如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）

【自我提升】对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，
若有＝x＋y＋z，则“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例题3-2】已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．
4.空间向量的数量积：
解题方略：
1）求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　　　
【温馨提示】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角.
【例题4-1】已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．
求：(1)·；(2)(＋)·(＋)．



【自我提升1】已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【自我提升2】
已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
2）利用空间向量的数量积求夹角：
解题方略：
1、求两个向量的夹角有两种方法：
①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；
②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．
2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

【温馨提示】求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
【例题4-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求与夹角的大小．




3）利用空间向量的数量积证明垂直：
解题方略：
利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.　　
【例题4-3】已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
【例题4-4】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
4）利用空间向量的数量积求投影：
解题方略：
向量a在向量b上的投影数量|a|cos〈a，b〉
向量a在向量b上的投影向量|a|cos〈a，b〉
【例题4-5】如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．

【自我提升】如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.

（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
5.空间向量的基本定理：
【例题5-1】如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）

A．
B．
C．
D．
【自我提升】下列关于空间向量的命题中，正确的有______.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.
【例题5-2】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.

【例题5-3】已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.

（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
【例题5-4】在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证：

（1）；
（2）平面.
【自我提升1】在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【自我提升2】如图，正四棱锥中，已知，，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【自我提升3】在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【自我提升4】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．

6.空间向量的坐标运算：
【例题6-1】已知O为坐标原点，向量，点.若点E在直线上，且，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【自我提升】在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标
【例题6-2】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
【例题6-3】棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【自我提升】已知向量，则下列向量中与成的夹角的是 （ ）
A． B． C． D．
7. 求平面的法向量：求平面的法向量：利用待定系数法求平面法向量的步骤


【例题7-1】如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（ ）

A．，1， B．，1， C．，， D．，1，
【例题7-2】已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
【自我提升1】已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【自我提升2】已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
8.利用空间向量证明平行：
1）证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，
m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
2）向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3）证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.
【例题8-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.
证明：PQ∥RS.
【例题8-2】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【自我提升1】已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【自我提升2】如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．

【自我提升3】如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．

9.利用空间向量证明垂直：坐标法证明线面垂直的两种方法
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
【例题9-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点.

求证：（1）BD1⊥AC;（2）BD1⊥EB1.
【例题9-2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．

求证：EF⊥平面B1AC.
【例题9-3】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

【自我提升1】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角
【自我提升2】若平面的法向量分别为，并且，则的值为（ ）
A．10 B． C． D．
【自我提升3】如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点，都有；④存在点，使得平面．其中正确的是（ ）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【自我提升4】如图所示在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：平面．



1. 如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．
2. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）
A． B． C． D．
3. 在边长及对角线都为1的空间四边形中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
4. 在正方体中，有下列命题：
①；②；③与的夹角为．
其中正确的命题有（       ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
5. 已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（ ）
A．，，1 B．，1， C．1，， D．，，1
6. 已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）
A．(1，－1,1) B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－)
7. 在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为，经过的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B． C．2 D．
9. 已知正四棱锥，侧棱长是底面边长的2倍，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为___________.

11. 如图在四棱锥中，平面，，，，，，E是直线上的一个动点，则与平面所成角的最大值为________．

12.已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
13.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：

（1）的长；
（2）与夹角的余弦值.
14.已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.

15.如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
16.四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量．

17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
18.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，且．

（1）证明：为等腰三角形；（2）若二面角的余弦值为，求到平面的距离．
19.在四棱锥中，平面，，，，是的中点，在线段上，且满足.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点， 使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.