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2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）
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2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )A. B. C. D. 在实数3.1415926，364，1.010010001…，2-5，π2，81，中无理数的个数是( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1下列各式中，一定是二次根式的是( )A. --2 B. 33 C. a-1 D. a2+1如图，点A，E，B，D在同一直线上．在△ABC和△DEF中，AC//DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( )A. BC=DE B. ∠ABC=∠D C. ∠A=∠DEF D. AE=DB小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程(如图所示).连接CD、C'D'得出了△OCD≌△O'C'D'，从而得到∠O=∠O'.其中小明作出△OCD≌△O'C'D'判定的依据是( )A. 角边角 B. 边角边 C. 边边边 D. 角角边如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( ) A. 8 B. 10 C. 11 D. 13如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为( )A. 5 B. 2.5 C. 2.4 D. 3在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC=6，DE=2，则△BCE的面积是( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 12如图，钝角△ABC中，AC=4，BC=5，AB=7，过三角形一个顶点的一条直线可将△ABC分成两个三角形．若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有条．( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）比较大小：7 ______3.(选填“>”、“<”或“=”)9的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为______．七大洲的总面积约为1.49亿km2，这个数据1.49亿精确到______位．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2=50°，则∠1的度数是______． 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC=______尺．(注：1丈=10尺．)如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm.点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以x cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为______时，△ABP与△PCQ全等．在△ABC中，BC=AC=2，∠ACB=90°，D是线段AB上的动点．连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．连接BE，则BE的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题8.0分) 计算： (1)(2-1)0+|-3|-327+(-1)2022； (2)16+3-8-2-2．(本小题8.0分) 求下列各式中x的值： (1)2x2-50=0； (2)3(x+1)3+24=0．(本小题7.0分) 如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M.求证：∠E=∠F．(本小题8.0分) 如图，AB//CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC的中点，连接PE． (1)猜想线段AB、BC、CD有何数量关系？请说明理由． (2)若BE=5，CE=12，求线段PE的长度．(本小题8.0分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)图中的△ACD是等腰三角形吗？______(填“是”或“不是”) (2)在图中找一格点E，使CA平分∠BCE． (3)点P、点Q分别为线段AC、BC上的动点，连接BP、PQ，作出当BP+PQ最小时，点P位置．(本小题8.0分) 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1.小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余．过点F作FG⊥AB于点G.已知BG=1.5米，BE=CD=20米，BD=60米，点B、E、D在一条直线上．AB⊥BD，FE⊥BD，CD⊥BD，试求单元楼AB的高．(注：BE=FG，BG=EF，∠1与∠3互余)．(本小题9.0分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.若动点P从点C出发，以2个单位每秒的速度沿折线C-A-B-C运动，设运动时间为t秒． (1)当t=1时，连接BP，则BP=______． (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值； (3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．(本小题10.0分) 在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F． (1)如图1，当∠BAC=90°，DE//AC时． ①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF=8，EF=4，求线段AB的长． (2)如图2，若∠C=3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数． 答案和解析1.【答案】B 【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2.【答案】B 【解析】解：364=4，81=9， 故在实数3.1415926，364，1.010010001…，2-5，π2，81中，无理数有1.010010001…，2-5，π2，共3个． 故选：B． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 此题主要考查了算术平方根，立方根以及无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式． 3.【答案】D 【解析】解：A.被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意； B.根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意； C.a-1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意； D.被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 根据二次根式的定义进行判断． 本题考查了二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式． 4.【答案】D 【解析】解：添加AE=DB，理由如下： ∵AC//DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DB， ∴AE+BE=DB+BE， ∴AB=DE， ∵AC=DF， 根据“SAS”判定△ABC≌△DEF． 故选：D． 先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 5.【答案】C 【解析】解：在△OCD与△O'C'D'中， OD=O'D'OC=O'C'CD=C'D'， ∴△COD≌△C'O'D'(SSS)． 故选：C． 由作法易得OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，由SSS的判定定理可以得到三角形全等，从而求解． 本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质． 利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC． 【解答】 解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴△BDC的周长为：DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8． 故选：A． 7.【答案】B 【解析】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4， ∴AB=AC2+BC2=42+32=5． ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD=12AB=2.5， 故选：B． 首先根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长． 此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8.【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可． 【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选C． 9.【答案】B 【解析】解：作EF⊥BC于F， ∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线， ∴CD⊥AB， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF=DE=2， ∴△BCE的面积=12×BC×EF=6， 故选：B． 作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10.【答案】C 【解析】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个， ∴满足条件的直线有4条； 分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个， ∴满足条件的直线有3条， 综上可知满足条件的直线共有7条， 故选：C． 分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，即可得出结论． 本题主要考查了等腰三角形的性质以及分类讨论，正确画出图形是解题的关键． 11.【答案】< 【解析】解：∵(7)2=7，32=9， 7<9， ∴7<3． 故答案为：<． 利用平方法比较大小即可． 本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键． 12.【答案】7或1 【解析】解：∵9的平方根是x，64的立方根是y， ∴x=±3，y=4， ∴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7； 当x=-3，y=4时，x+y=-3+4=1； 综上所述：x+y的值为7或1， 故答案为：7或1． 根据平方根与立方根的意义可得x=±3，y=4，然后分两种情况进行计算即可解答． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 13.【答案】百万 【解析】解：数据1.49亿精确到百万位． 故答案为：百万． 关键近似数的精确度求解． 本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 14.【答案】30 【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC， ∴△ADC≌△CEB(AAS)； 由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm， ∴DE=DC+CE=30(cm)， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故答案为：30． 根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 15.【答案】65° 【解析】解：如图，由折叠知，∠1=∠3， ∵∠2=50°， ∴∠1=∠3=(180°-50°)÷2=65°， 故答案为：65°． 根据折叠的性质得∠1=∠3，再利用平角的定义可得答案． 本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 16.【答案】9120 【解析】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10-x)尺， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32=(10-x)2， 解得：x=9120， 故答案为：9120． 设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10-x)尺，由勾股定理得出方程，解方程即可． 此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键． 17.【答案】2或32 【解析】解：设点Q从点C出发t s，同时点P从点B出发t s， ①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB=8cm， ∴PC=8cm， ∵BP=12-8=4(cm)， ∴2t=4， 解得：t=2， ∴CQ=BP=4cm， ∴x×2=4， 解得：x=2； ②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP， ∵BA=CQ， ∴2t=8， ∴t=4， ∴BP=PC=6cm， ∴4x=6， 解得：x=32， 综上所述，当x=2或32时，△ABP与△PQC全等， 故答案为：2或32． 可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP=CQ，AB=PC，②△ABP≌△QCP得到BA=CQ，PB=PC，然后分别计算出t的值，进而得到x的值． 主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 18.【答案】22 【解析】解：∵BC=AC=2，∠ACB=90°， ∴AB=22，∠CAB=∠CBA=45°， ∵将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置， ∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴BE=AD， ∵D在△ABC的边AB上， ∴AD的最大值为AB， ∴BE的最大值为22， 故答案为：22． 由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19.【答案】解：(1)原式=1+3-3+1 =2； (2)原式=4-2-14 =134． 【解析】(1)直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案； (2)直接利用二次根式的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解：(1)2x2-50=0， 2x2=50， x2=25， x=±5； (2)3(x+1)3+24=0， 3(x+1)3=-24， (x+1)3=-8， x+1=-2， x=-3． 【解析】(1)利用平方根的意义，进行计算即可解答； (2)利用立方根的意义，进行计算即可解答． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 21.【答案】证明：∵AB=CD， ∴AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AE=DF∠A=∠DAC=DB， ∴△ACE≌△DBF(SAS)， ∴∠E=∠F． 【解析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 22.【答案】解：(1)BC=AB+CD． 证明：过点E作EH⊥BC，垂足为点H， ∵AD⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∵AB//CD ∴∠BAD+∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠HBE， 在△ABE和△HBE中， ∠ABE=∠HBE∠BHE=∠BAEBE=BE， ∴△ABE≌△HBE(AAS)， ∴AB=BH， 同理可证：△CHE≌△CDE(AAS)， ∴CH=CD， ∵BC=BH+CH， ∴BC=AB+CD； (2)∵△ABE≌△HBE， ∴∠AEB=∠HEB， ∵△CHE≌△CDE， ∴∠HEC=∠DEC， ∴∠BEC=∠BEH+∠CEH=12∠AED=90°， ∵BE=5，CE=12， ∴BC=BE2+CE2=52+122=13， ∵P为BC的中点， ∴PE=12BC=6.5． 【解析】(1)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，证明△ABE≌△HBE(AAS)，得出AB=BH，同理可证△CHE≌△CDE(AAS)，得出CH=CD，则可得出结论； (2)证出∠BEC=90°，由勾股定理求出BC=13，则可得出答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23.【答案】是 【解析】解：(1)由勾股定理得：AD=32+42=5， ∵CD=5， ∴AD=CD， ∴△ACD是等腰三角形； 故答案为：是； (2)如图1，点E即为所求； (3)如图2，取格点M，作射线BM交AC于点P，则点P即为所求． (1)由勾股定理和等腰三角形的判定可解答； (2)取线段CE=AE=5，则△ADC≌△AEC，从而可知：CA平分∠BCE； (3)构建全等三角形构建格点M，从而得点P的位置． 本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】解：由图可得∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∵FG⊥AB，CD⊥BD， ∴∠AGF=∠EDC=90°， ∵BE=CD，FG=BE， ∴FG=CD=20， 在△AFG与△EDC中， ∠AGF=∠EDCFG=CD∠2=∠3， ∴△AFG≌△ECD(ASA)， ∴AG=DE=BD-BE=40米， ∴AB=AG+BG=40+1.5=41.5(米)， 答：单元楼AB的高为41.5米． 【解析】根据题意得四边形BEFG是矩形，求得FG=BE=20米，BG=EF=1.5米，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 25.【答案】210 【解析】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6， 由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-62=8， 连接BP，如图所示： t=1时，CP=2， ∴BP=CP2+BP2=22+62=210， 故答案为：210； (2)解：如图，过P作PE⊥AB于E， 又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴CP=EP， 在Rt△ACP和Rt△AEP中， AP=APCP=EP， ∴Rt△ACP≌Rt△AEP(HL)， ∴AC=AE=8， ∴BE=2， 设CP=EP=x，则BP=6-x， 在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2， 即22+x2=(6-x)2， 解得x=83， ∴CP=83， ∴CA+CP=24-83=643， ∴t=323； 当点P沿折线C-A-B-C运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上， 此时，t=4； 综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为323或4； (3)①如图2，点P在CA上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形， 则t=62=3； ②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形， ∴AP=AB-BP=10-6=4， ∴AC+AP=8+4=12， ∴t=6； ③如图4，若点P在AB上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形； 作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD=6×810=4.8， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=62-4．82=3.6， ∴PB=2BD=7.2， ∴CA+AP=8+10-7.2=10.8， 此时t=5.4； ④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形， 作PD⊥BC于D，则D为BC的中点， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP=BP=12AB=5， ∴AC+AP=8+5=13， ∴t=6.5； 综上所述，t为3或6或5.4或6.5时，△BCP为等腰三角形． (1)根据勾股定理即可得出答案； (2)过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可； (3)分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则可得t的值；当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值． 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 26.【答案】解：①AE垂直BC，理由如下： 由折叠可知，∠B=∠E， ∵DE//AC， ∴∠E=∠EAC， ∵∠DFE=∠AFC， ∴∠EDF=∠C， ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠E+∠EDF=90°， ∴∠DFE=90°， ∴AE⊥BC； ②设BD=x，则DF=8-x， 由折叠可知，DE=BD=x， 在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2， ∴x2=(8-x)2+42， 解得x=5， ∴BD=5，DF=3， ∵∠B=∠E， ∴tan∠E=34=AFBF， ∴AF=6， 在Rt△ABF中，AB=BF2+AF2=10； (2)∵∠C=3∠B， ∴设∠B=α，则∠C=3α， 由折叠可知，∠E=∠B=α， 当∠DFE=90°时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形， ∴∠C=45°， ∴∠B=15°； 当∠FDE=90°时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形， ∴∠DFE=90°-α， ∴∠AFC=90°-α， 当AC=FC时，2(90°-α)+3α=180°，此时α=0°，不符合题意，舍去； 当AF=AC时，3α=90°-α，此时α=22.5°， ∴∠B=22.5°； 当AF=FC时，3α+3α+90°-α=180°，此时α=18°， ∴∠B=18°； 当∠E=90°时，此时∠B=90°，∠C=270°，不成立； 当∠C=90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形， ∴∠B=30°； 当∠AFC=90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形， ∴∠E=45°， ∴∠B=45°， 此时∠C=135°，与题意不符合，不成立； 当∠FAC=90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形， ∴∠AFC=90°-3α， ∴∠DFE=90°-3α， 当DF=EF时，α+α+90°-3α=180°，此时α=-90°，不成立； 当DF=DE时，90°-3α=α，此时α=22.5°， ∴∠B=22.5°； 当DE=EF时，90°-3α=12(180°-α)，此时α=0°，不成立； 综上所述，∠B的值为15°、18°、22.5°、30°． 【解析】(1)①由折叠可知∠B=∠E，由平行可知∠E=∠FAC，根据三角形内角和得到∠FDE=∠C，再由∠B+∠C=90°，利用等量代换可求∠DFE=90°，即可求解； ②设BD=x，则DF=8-x，在Rt△DEF中，x2=(8-x)2+42，解出x=5，再由tan∠E=34=AFBF，求出AF=6，在Rt△ABF中，AB=BF2+AF2=10； (2)设∠B=α，则∠C=3α，当∠DFE=90°时，∠B=15°；当∠FDE=90°时，当AC=FC时，2(90°-α)+3α=180°，不成立；当AF=AC时，3α=90°-α，∠B=22.5°；当AF=FC时，3α+3α+90°-α=180°，∠B=18°；当∠E=90°时，不成立；当∠C=90°时，∠B=30°；当∠AFC=90°时，不成立；当∠FAC=90°时，当DF=EF时，α+α+90°-3α=180°，不成立；当DF=DE时，90°-3α=α，∠B=22.5°；当DE=EF时，不成立． 本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )A. B. C. D. 在实数3.1415926，364，1.010010001…，2-5，π2，81，中无理数的个数是( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1下列各式中，一定是二次根式的是( )A. --2 B. 33 C. a-1 D. a2+1如图，点A，E，B，D在同一直线上．在△ABC和△DEF中，AC//DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( )A. BC=DE B. ∠ABC=∠D C. ∠A=∠DEF D. AE=DB小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程(如图所示).连接CD、C'D'得出了△OCD≌△O'C'D'，从而得到∠O=∠O'.其中小明作出△OCD≌△O'C'D'判定的依据是( )A. 角边角 B. 边角边 C. 边边边 D. 角角边如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( ) A. 8 B. 10 C. 11 D. 13如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为( )A. 5 B. 2.5 C. 2.4 D. 3在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC=6，DE=2，则△BCE的面积是( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 12如图，钝角△ABC中，AC=4，BC=5，AB=7，过三角形一个顶点的一条直线可将△ABC分成两个三角形．若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有条．( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）比较大小：7 ______3.(选填“>”、“<”或“=”)9的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为______．七大洲的总面积约为1.49亿km2，这个数据1.49亿精确到______位．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2=50°，则∠1的度数是______． 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC=______尺．(注：1丈=10尺．)如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm.点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以x cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为______时，△ABP与△PCQ全等．在△ABC中，BC=AC=2，∠ACB=90°，D是线段AB上的动点．连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．连接BE，则BE的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题8.0分) 计算： (1)(2-1)0+|-3|-327+(-1)2022； (2)16+3-8-2-2．(本小题8.0分) 求下列各式中x的值： (1)2x2-50=0； (2)3(x+1)3+24=0．(本小题7.0分) 如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M.求证：∠E=∠F．(本小题8.0分) 如图，AB//CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC的中点，连接PE． (1)猜想线段AB、BC、CD有何数量关系？请说明理由． (2)若BE=5，CE=12，求线段PE的长度．(本小题8.0分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)图中的△ACD是等腰三角形吗？______(填“是”或“不是”) (2)在图中找一格点E，使CA平分∠BCE． (3)点P、点Q分别为线段AC、BC上的动点，连接BP、PQ，作出当BP+PQ最小时，点P位置．(本小题8.0分) 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1.小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余．过点F作FG⊥AB于点G.已知BG=1.5米，BE=CD=20米，BD=60米，点B、E、D在一条直线上．AB⊥BD，FE⊥BD，CD⊥BD，试求单元楼AB的高．(注：BE=FG，BG=EF，∠1与∠3互余)．(本小题9.0分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.若动点P从点C出发，以2个单位每秒的速度沿折线C-A-B-C运动，设运动时间为t秒． (1)当t=1时，连接BP，则BP=______． (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值； (3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．(本小题10.0分) 在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F． (1)如图1，当∠BAC=90°，DE//AC时． ①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF=8，EF=4，求线段AB的长． (2)如图2，若∠C=3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数． 答案和解析1.【答案】B 【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2.【答案】B 【解析】解：364=4，81=9， 故在实数3.1415926，364，1.010010001…，2-5，π2，81中，无理数有1.010010001…，2-5，π2，共3个． 故选：B． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 此题主要考查了算术平方根，立方根以及无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式． 3.【答案】D 【解析】解：A.被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意； B.根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意； C.a-1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意； D.被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 根据二次根式的定义进行判断． 本题考查了二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式． 4.【答案】D 【解析】解：添加AE=DB，理由如下： ∵AC//DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DB， ∴AE+BE=DB+BE， ∴AB=DE， ∵AC=DF， 根据“SAS”判定△ABC≌△DEF． 故选：D． 先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 5.【答案】C 【解析】解：在△OCD与△O'C'D'中， OD=O'D'OC=O'C'CD=C'D'， ∴△COD≌△C'O'D'(SSS)． 故选：C． 由作法易得OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，由SSS的判定定理可以得到三角形全等，从而求解． 本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质． 利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC． 【解答】 解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴△BDC的周长为：DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8． 故选：A． 7.【答案】B 【解析】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4， ∴AB=AC2+BC2=42+32=5． ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD=12AB=2.5， 故选：B． 首先根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长． 此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8.【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可． 【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选C． 9.【答案】B 【解析】解：作EF⊥BC于F， ∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线， ∴CD⊥AB， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF=DE=2， ∴△BCE的面积=12×BC×EF=6， 故选：B． 作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10.【答案】C 【解析】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个， ∴满足条件的直线有4条； 分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个， ∴满足条件的直线有3条， 综上可知满足条件的直线共有7条， 故选：C． 分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，即可得出结论． 本题主要考查了等腰三角形的性质以及分类讨论，正确画出图形是解题的关键． 11.【答案】< 【解析】解：∵(7)2=7，32=9， 7<9， ∴7<3． 故答案为：<． 利用平方法比较大小即可． 本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键． 12.【答案】7或1 【解析】解：∵9的平方根是x，64的立方根是y， ∴x=±3，y=4， ∴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7； 当x=-3，y=4时，x+y=-3+4=1； 综上所述：x+y的值为7或1， 故答案为：7或1． 根据平方根与立方根的意义可得x=±3，y=4，然后分两种情况进行计算即可解答． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 13.【答案】百万 【解析】解：数据1.49亿精确到百万位． 故答案为：百万． 关键近似数的精确度求解． 本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 14.【答案】30 【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC， ∴△ADC≌△CEB(AAS)； 由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm， ∴DE=DC+CE=30(cm)， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故答案为：30． 根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 15.【答案】65° 【解析】解：如图，由折叠知，∠1=∠3， ∵∠2=50°， ∴∠1=∠3=(180°-50°)÷2=65°， 故答案为：65°． 根据折叠的性质得∠1=∠3，再利用平角的定义可得答案． 本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 16.【答案】9120 【解析】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10-x)尺， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32=(10-x)2， 解得：x=9120， 故答案为：9120． 设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10-x)尺，由勾股定理得出方程，解方程即可． 此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键． 17.【答案】2或32 【解析】解：设点Q从点C出发t s，同时点P从点B出发t s， ①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB=8cm， ∴PC=8cm， ∵BP=12-8=4(cm)， ∴2t=4， 解得：t=2， ∴CQ=BP=4cm， ∴x×2=4， 解得：x=2； ②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP， ∵BA=CQ， ∴2t=8， ∴t=4， ∴BP=PC=6cm， ∴4x=6， 解得：x=32， 综上所述，当x=2或32时，△ABP与△PQC全等， 故答案为：2或32． 可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP=CQ，AB=PC，②△ABP≌△QCP得到BA=CQ，PB=PC，然后分别计算出t的值，进而得到x的值． 主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 18.【答案】22 【解析】解：∵BC=AC=2，∠ACB=90°， ∴AB=22，∠CAB=∠CBA=45°， ∵将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置， ∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴BE=AD， ∵D在△ABC的边AB上， ∴AD的最大值为AB， ∴BE的最大值为22， 故答案为：22． 由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19.【答案】解：(1)原式=1+3-3+1 =2； (2)原式=4-2-14 =134． 【解析】(1)直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案； (2)直接利用二次根式的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解：(1)2x2-50=0， 2x2=50， x2=25， x=±5； (2)3(x+1)3+24=0， 3(x+1)3=-24， (x+1)3=-8， x+1=-2， x=-3． 【解析】(1)利用平方根的意义，进行计算即可解答； (2)利用立方根的意义，进行计算即可解答． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 21.【答案】证明：∵AB=CD， ∴AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AE=DF∠A=∠DAC=DB， ∴△ACE≌△DBF(SAS)， ∴∠E=∠F． 【解析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 22.【答案】解：(1)BC=AB+CD． 证明：过点E作EH⊥BC，垂足为点H， ∵AD⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∵AB//CD ∴∠BAD+∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠HBE， 在△ABE和△HBE中， ∠ABE=∠HBE∠BHE=∠BAEBE=BE， ∴△ABE≌△HBE(AAS)， ∴AB=BH， 同理可证：△CHE≌△CDE(AAS)， ∴CH=CD， ∵BC=BH+CH， ∴BC=AB+CD； (2)∵△ABE≌△HBE， ∴∠AEB=∠HEB， ∵△CHE≌△CDE， ∴∠HEC=∠DEC， ∴∠BEC=∠BEH+∠CEH=12∠AED=90°， ∵BE=5，CE=12， ∴BC=BE2+CE2=52+122=13， ∵P为BC的中点， ∴PE=12BC=6.5． 【解析】(1)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，证明△ABE≌△HBE(AAS)，得出AB=BH，同理可证△CHE≌△CDE(AAS)，得出CH=CD，则可得出结论； (2)证出∠BEC=90°，由勾股定理求出BC=13，则可得出答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23.【答案】是 【解析】解：(1)由勾股定理得：AD=32+42=5， ∵CD=5， ∴AD=CD， ∴△ACD是等腰三角形； 故答案为：是； (2)如图1，点E即为所求； (3)如图2，取格点M，作射线BM交AC于点P，则点P即为所求． (1)由勾股定理和等腰三角形的判定可解答； (2)取线段CE=AE=5，则△ADC≌△AEC，从而可知：CA平分∠BCE； (3)构建全等三角形构建格点M，从而得点P的位置． 本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】解：由图可得∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∵FG⊥AB，CD⊥BD， ∴∠AGF=∠EDC=90°， ∵BE=CD，FG=BE， ∴FG=CD=20， 在△AFG与△EDC中， ∠AGF=∠EDCFG=CD∠2=∠3， ∴△AFG≌△ECD(ASA)， ∴AG=DE=BD-BE=40米， ∴AB=AG+BG=40+1.5=41.5(米)， 答：单元楼AB的高为41.5米． 【解析】根据题意得四边形BEFG是矩形，求得FG=BE=20米，BG=EF=1.5米，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 25.【答案】210 【解析】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6， 由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-62=8， 连接BP，如图所示： t=1时，CP=2， ∴BP=CP2+BP2=22+62=210， 故答案为：210； (2)解：如图，过P作PE⊥AB于E， 又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴CP=EP， 在Rt△ACP和Rt△AEP中， AP=APCP=EP， ∴Rt△ACP≌Rt△AEP(HL)， ∴AC=AE=8， ∴BE=2， 设CP=EP=x，则BP=6-x， 在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2， 即22+x2=(6-x)2， 解得x=83， ∴CP=83， ∴CA+CP=24-83=643， ∴t=323； 当点P沿折线C-A-B-C运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上， 此时，t=4； 综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为323或4； (3)①如图2，点P在CA上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形， 则t=62=3； ②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形， ∴AP=AB-BP=10-6=4， ∴AC+AP=8+4=12， ∴t=6； ③如图4，若点P在AB上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形； 作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD=6×810=4.8， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=62-4．82=3.6， ∴PB=2BD=7.2， ∴CA+AP=8+10-7.2=10.8， 此时t=5.4； ④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形， 作PD⊥BC于D，则D为BC的中点， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP=BP=12AB=5， ∴AC+AP=8+5=13， ∴t=6.5； 综上所述，t为3或6或5.4或6.5时，△BCP为等腰三角形． (1)根据勾股定理即可得出答案； (2)过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可； (3)分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则可得t的值；当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值． 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 26.【答案】解：①AE垂直BC，理由如下： 由折叠可知，∠B=∠E， ∵DE//AC， ∴∠E=∠EAC， ∵∠DFE=∠AFC， ∴∠EDF=∠C， ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠E+∠EDF=90°， ∴∠DFE=90°， ∴AE⊥BC； ②设BD=x，则DF=8-x， 由折叠可知，DE=BD=x， 在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2， ∴x2=(8-x)2+42， 解得x=5， ∴BD=5，DF=3， ∵∠B=∠E， ∴tan∠E=34=AFBF， ∴AF=6， 在Rt△ABF中，AB=BF2+AF2=10； (2)∵∠C=3∠B， ∴设∠B=α，则∠C=3α， 由折叠可知，∠E=∠B=α， 当∠DFE=90°时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形， ∴∠C=45°， ∴∠B=15°； 当∠FDE=90°时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形， ∴∠DFE=90°-α， ∴∠AFC=90°-α， 当AC=FC时，2(90°-α)+3α=180°，此时α=0°，不符合题意，舍去； 当AF=AC时，3α=90°-α，此时α=22.5°， ∴∠B=22.5°； 当AF=FC时，3α+3α+90°-α=180°，此时α=18°， ∴∠B=18°； 当∠E=90°时，此时∠B=90°，∠C=270°，不成立； 当∠C=90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形， ∴∠B=30°； 当∠AFC=90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形， ∴∠E=45°， ∴∠B=45°， 此时∠C=135°，与题意不符合，不成立； 当∠FAC=90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形， ∴∠AFC=90°-3α， ∴∠DFE=90°-3α， 当DF=EF时，α+α+90°-3α=180°，此时α=-90°，不成立； 当DF=DE时，90°-3α=α，此时α=22.5°， ∴∠B=22.5°； 当DE=EF时，90°-3α=12(180°-α)，此时α=0°，不成立； 综上所述，∠B的值为15°、18°、22.5°、30°． 【解析】(1)①由折叠可知∠B=∠E，由平行可知∠E=∠FAC，根据三角形内角和得到∠FDE=∠C，再由∠B+∠C=90°，利用等量代换可求∠DFE=90°，即可求解； ②设BD=x，则DF=8-x，在Rt△DEF中，x2=(8-x)2+42，解出x=5，再由tan∠E=34=AFBF，求出AF=6，在Rt△ABF中，AB=BF2+AF2=10； (2)设∠B=α，则∠C=3α，当∠DFE=90°时，∠B=15°；当∠FDE=90°时，当AC=FC时，2(90°-α)+3α=180°，不成立；当AF=AC时，3α=90°-α，∠B=22.5°；当AF=FC时，3α+3α+90°-α=180°，∠B=18°；当∠E=90°时，不成立；当∠C=90°时，∠B=30°；当∠AFC=90°时，不成立；当∠FAC=90°时，当DF=EF时，α+α+90°-3α=180°，不成立；当DF=DE时，90°-3α=α，∠B=22.5°；当DE=EF时，不成立． 本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
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