2023-2024学年江苏省无锡市惠山区十校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市惠山区十校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是一元二次方程的是
( )
A. x³−x−1=0B. 2x−1=5C. x²−3x+1=0D. x−2x=5
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值
( )
A. 放大5倍B. 缩小5倍C. 不能确定D. 不变
3.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是
( )
A. a=4,b=3,c=5,d= 3B. a=1,b=2,c=3,d=4
C. a= 2,b=3,c=2,d= 3D. a=2,b= 5,c=2 3,d= 15
4.如图，已知∠1=∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是
( )
A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD=BCDED. ABAD=ACAE
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是
( )
A. 65°B. 115°C. 130°D. 140°
6.一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是
( )
A. πcmB. 2πcmC. 4πcmD. 8πcm
7.如图，点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC，若AB=2，则AC的长为
( )
A. 5−1B. 5+1C. 3− 5D. 3+ 5
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−3,2)，F(−1,−1)以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的3倍，则点E的对应点E’的坐标为
( )
A. (9,6)B. (9,6)或(−9,−6)
C. (−9,6)或(9,−6)D. (9,−6)
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°且AB=2，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为
( )
A. 5−1B. 2 5−2 2C. 5− 2D. 3
10.如图，AB=4，以点B为圆心，作半径为2的圆。点C在⊙B上，连接AC作等腰直角三角形，使∠ACD=90°，CA=CD，则△ABD的面积的最大值为
( )
A. 4 2+4B. 4 2+8C. 4D. 8
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.已知4x=7y，则x−yy= ．
12.已知a是方程x²+3x−1=0的一个实数根，则a²+3a+2023的值为 ．
13.已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
14.己知△ABC∽△DEF，ABDE=23，若EF=5，则BC= ．
15.三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ．
16.用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面圆半径为 ．
17.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则cs∠BED= ．
18.如图，半圆O的直径AB=4 2，弦CD=4，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19.解下列方程
(1) x²−4x−2=0
(2) 2(x−5)² +x−5=0
四、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.
(1)计算：4sin45∘−12−1+ 2−2
(2)求锐角α的值：4csα+10∘−2 2=0
21.(本小题8.0分)
如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足BD²=CD×AD．
(1)证明：∠A=∠CBD；
(2)若BC：AB=2：3，BD=3，求AC的长．
22.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0
(1)求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个实数根；
(2)若−2是方程的一个根，求这个方程的另一个根及m的值．
23.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆交BC于点F，且AC切⊙O于点E．
(1)求证：DE⌢=EF⌢；
(2)若∠A=30°，AB=6，求CF的长．
24.(本小题8.0分)
如图，某小区的地下停车场的截面图，旗杆AG正对着地下停车场的斜坡，车辆可以从地面AB经斜坡BC后进入地下停车场。某一时刻，旗杆AG的影子随着太行光的照射落在折线A−B−C−E处，还有一部分影子落在铅垂的墙面MN处。经测量地面AB与FK在同一水平线上，M、F、N、C在同一铅垂的直线上。斜坡BC的坡度为1：2，AB=5米，BC=5 5米，CE=5米，MF=FN=1米。
(1)在图上画出一条太阳光的照射光线。
(2)求出CN的长度。并写出高度为3.99米的车辆能否入地下停车场。
(3)求出旗杆AG的高度。
25.
(1)如图1，在△AHN中，AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH，过B、C、D、E、F、G分别做HN的平行线。若AN的长度为10，则AM的长度为
(2)如图所示，△ABC所在网格的每一格正方形的边长都是1，在边AC上找一点D，使得△ADB∽△ABC，则AD的长为___________。请仅利用一把无刻度的直尺，在图中画出点D的位置。(提示：先计算出AB、AC的长)
26.(本小题8.0分)
如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF(旋转角为锐角)，连AE，BF，DF，则AE=BF．
(1)如图2，若(1)中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=8，AE=5，求DF的长；
(2)如图3，若(1)中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=8，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．
27.(本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C→D→A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．设运动的时间为t秒．
(1)当点Q在线段CD上时，求证：CEAE=32．
(2)当点Q在线段CD上时△CEQ是直角三角形，求出此时t的值？
(3)当点Q在线段DA上时△AEQ是等腰三角形，写出此时t的值？
28.(本小题8.0分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿BA边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒4cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
(1)若Q在BC上运动，当t= 秒时，BQ=2BP？
(2)如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个过程中，是否存在这样的t的值，使⊙P正好与△ABD的一边(或所在的直线)相切？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】
解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A.∠C=∠AED，由“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”可得，△ABC∽△ADE，故不选A；
B.∠B=∠D，由“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”可得，△ABC∽△ADE，故不选B；
C．ABAD=BCDE，不是夹这两个角的边，所以不相似，故选C；
D.ABAD=ACAE，由“如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似”可得，△ABC∽△ADE，故不选D；
故选：C．
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】−37
【解析】略
12.【答案】2024
【解析】略
13.【答案】相离
【解析】略
14.【答案】103
【解析】略
15.【答案】 直角三角形
【解析】略
16.【答案】5cm
【解析】略
17.【答案】25 5
【解析】略
18.【答案】π
【解析】略
19.【答案】【小题1】
解：x2−4x−2=0，
∴x2−4x+4=6，
即x−22=6，
∴x−2=± 6，
解得：x1=2+ 6,x2=2− 6；
【小题2】
解：2x−52+x−5=0，
∴x−52x−10+1=0，
∴x−52x−9=0，
∴x−5=0或2x−9=0，
解得：x1=5,x2=92.

【解析】1. 见答案
2. 见答案
20.【答案】【小题1】
4sin45∘−12−1+ 2−2
=2 2−2+2− 2
= 2.
【小题2】
4csα+10∘−2 2=0
4csα+10∘=2 2
csα+10∘= 22，
即：csα+10∘=cs45∘，
∴α+10∘=45∘，
则有：α=35∘；

【解析】1. 见答案．
2. 见答案．
21.【答案】【小题1】
证明：∵BD2=CD⋅AD，
∴BDCD=ADBD，
∵∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴∠A=∠CBD；
【小题2】
解：∵▵BCD∽▵ABD，BC:AB=2:3,BD=3，
∴CDBD=BCAB=BDAD，
∴CDBD=CD3=23，
∴CD=2，
∴BDAD=3AC+CD=3AC+2=23，
∴AC=52.

【解析】1. 见答案．
2. 见答案．
22.【答案】【小题1】
证明：∵Δ=m2−4×1×m−1=m2−4m+4=m−22≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
【小题2】
解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得−2+t=−m①，−2×t=m−1②，
②+①得−2+t−2t=−1，
解得t=−1，
把t=−1代入②得2=m−1，
解得：m=3，
所以m的值为3，方程的另一个根为−1.

【解析】1. 见答案．
2. 见答案．
23.【答案】【小题1】
证明：连接OE、OF，
∵AC切⊙O于点E，
∴OE⊥AC，即∠OEA=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴OE//BC，
∴∠EOA=∠CBA，∠EOF=∠OFB，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠CBA，
∴∠EOD=∠EOF，
∴DE⌢=EF⌢；
【小题2】
解：连接DE，
∵∠A=30∘，AB=6，
∴∠OBF=∠EOD=60∘，
∵OE=OD=OF=OB，
∴▵DOE、▵BOF都为等边三角形，∠EDO=60∘，
∴∠DEA=30∘，
∴AD=DE=DO=OB=BF=2，
∵∠A=30∘，∠ACB=90∘，AB=6，
∴BC=12AB=3，
∴CF=BC−BF=1.

【解析】1. 见答案
2. 见答案．
24.【答案】【小题1】
图略，GM或者NE就是所要求做的太阳光的照射光线。
【小题2】
解题过程略。CN的长度是4米。
不能进入地下停车场。
【小题3】
解题过程略。AG的高度是13米

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
25.【答案】【小题1】
407
【小题2】
AD的长为2。图略。

【解析】1. 略
2. 略
26.【答案】【小题1】
①AE=BF，理由如下：
证明：∵ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF，
∵∠BOD=∠AOC=180°，
∴∠BOD−∠DOF=∠AOC−∠COE，
即∠BOF=∠AOE，
∴△BOF≌△AOE(SAS)，
∴BF=AE ；
②∵OB=OD=OF，
∴∠BFD=90°
∴△BFD为直角三角形，
∴BF2+DF2=BD2，
∵BF=AE，
∴DF= BD2−BF2= BD2−AE2，
∵BD=8，AE=5，
∴DF= 39 .
【小题2】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=12AC=3，OB=OD=12BD=4，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△EOF，
∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD，
∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB，
∴OAOB=OEOF，且∠EOA=∠FOB
∴△AOE∽△BOF，
∴AEBF=OAOB=34，
∵AE=5,
∴BF=203，
∵OB=OF=OD
∴△BDF是直角三角形，
∴BF2+DF2=BD2,
∴DF= 82−(203)2=43 11

【解析】1. 见答案
2.
见答案
27.【答案】【小题1】
当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB/​/CD，CQ=3t，AP=2t，
∴▵CQE∽▵APE，
∴CEAE=CQAP=32.
【小题2】
t=0.8秒或1秒
【小题3】
t=32或43或6 5−12

【解析】1. 见答案．
2. 见答案．
3. 见答案．
28.【答案】【小题1】
43
【小题2】
①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图所示：
则∠PKB=90°，PK=PQ=PB−BQ=t−(4t−8)=8−3t，
∴△PBK∽△DBA，
∴PKAD=PBBD，即8−3t8=t4 5，解得：t=120−16 541，
②若与AD相切，Q在BC上，PQ=PA，Q在BC上，如图所示：
则PQ=PA=4−t，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：t2+(8−4t)2=(4−t)2，
解得：t=1.5，或t=2，
∴t=1.5或2，
③若与AD相切，当P、Q两点中Q先到A点时，如图所示：
此时t=12÷4=3，
④若与AD相切，当点Q未到达点A时，如图所示：
则PA=PQ，
∴4−t=t−(4t−8)，
解得：t=2，
⑤若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图所示：
则∠PKB=90°，PK=PQ=BQ−PB=(4t−8)−t=3t−8，
∴△PBK∽△DBA，
∴PKAD=PBBD，即3t−88=t4 5，解得：t=120+16 541>3秒，舍去．
综上所述，t的值为1.5秒或2秒或3秒或120−16 541秒．

【解析】1. 略
2. 见答案．