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2020-2022年湖南中考数学3年真题汇编 专题11 几何图形初步与相交线、平行线（学生卷+教师卷）
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这是一份2020-2022年湖南中考数学3年真题汇编 专题11 几何图形初步与相交线、平行线（学生卷+教师卷），文件包含专题11几何图形初步与相交线平行线-三年2020-2022中考数学真题分项汇编全国通用解析版docx、专题11几何图形初步与相交线平行线-三年2020-2022中考数学真题分项汇编全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
专题11 几何图形初步与相交线、平行线
一、单选题
1．（2022·广东广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
【详解】
该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,
故选：A．
【点睛】
此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．
2．（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】
解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
3．（2022·广西柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】
解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
4．（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
5．（2021·山东枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（ ）
A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④
【答案】D
【解析】
【分析】
将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．
【详解】
解：搭配①、②、③两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配④不能，
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．
6．（2020·山东东营）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又∵OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
7．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】
解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】
本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
8．（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
由，∠1＝70°，可得 从而可得答案．
【详解】
解：∵，∠1＝70°，
∴
故选C
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．
9．（2022·广西河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是( )
A．142° B．132° C．58° D．38°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
10．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对顶角相等求解．
【详解】
解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，．
故选A．
【点睛】
本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
11．（2022·甘肃兰州）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】
解：∵ab，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2022·辽宁营口）如图，直线的顶点B，C分别在上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得到∠EBC=∠BCF=25°，再利用互余得到∠ABE=65°．
【详解】
解：∵，，
∴∠EBC=∠BCF=25°
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-25°=65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．
13．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，
∴∠OBC=35°，
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
14．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5
【详解】
解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，
∵
∴
∴
∵//
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
15．（2022·山西）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．（2021·贵州黔西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
【详解】
如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
17．（2021·四川德阳）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠CEF＝120°，则∠MPB＝（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠EFP=∠CEF=120°，
∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°，
∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
18．（2021·山东潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】
解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，
∴CD//EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGCAGB60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
19．（2020·四川广元）如图，，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
【详解】
解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°，
∴∠1+∠MPN+∠3=360°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
20．（2020·黑龙江齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
21．（2020·湖北孝感）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
22．（2020·四川攀枝花）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
【详解】
解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故选C.
【点睛】
本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.
23．（2022·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可得出答案．
【详解】
解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
24．（2022·湖北荆州）如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由得即可求解；
【详解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）＝（180°-40°）=70°，
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
25．（2021·湖南娄底）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．
【详解】
解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图：
根据题意：，
，
，
，
，
，
相交于点，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
26．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
27．（2020·内蒙古呼伦贝尔）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠F=180°，
∵，
∴∠F=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠F+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键．
28．（2020·四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】
解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
29．（2020·湖北省直辖县级单位）将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
30．（2020·辽宁鞍山）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）
A．36°． B．54°． C．72°． D．73°．
【答案】C
【解析】
【详解】
∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
二、填空题
31．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】
解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
32．（2022·广西玉林）已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．
【答案】30
【解析】
【详解】
∵互余两角的和等于90°，
∴α的余角为：90°-60°=30°.
故答案为：30
33．（2020·黑龙江大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】
解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
34．（2020·四川雅安）如图，与都相交，，则_________．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2.
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=180°-50°=130°，
故答案为130°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.
35．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
【答案】135°##135度
【解析】
【分析】
根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．
【详解】
，
，
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
36．（2021·黑龙江大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【解析】
【分析】
根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】
解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
故答案为：190．
【点睛】
本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
37．（2021·湖南益阳）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【答案】60
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】
解：设，
是的平分线，
，
平分，
，
又，
，
解得，即，
由对顶角相等得：，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
38．（2022·山东济宁）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126o32'，则∠2的度数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解．
【详解】
解：如图
l1l2，l2l3，
，，
，
∠1＝，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
39．（2022·湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
【答案】##85度
【解析】
【分析】
过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】
解：岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
40．（2022·四川乐山）如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
41．（2022·江苏扬州）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
【答案】105
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】
，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
42．（2021·四川绵阳）如图，直线，若，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可得，再利用邻补角即可求的度数．
【详解】
解：如图，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
43．（2021·辽宁阜新）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°．
【答案】60
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
44．（2021·江苏泰州）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】
解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
45．（2021·湖北恩施）如图，已知，，，则__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】
由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键．
46．（2020·广西贵港）如图，点，在直线上，平分，若，，则_______________．
【答案】62°
【解析】
【分析】
根据和平分，计算出的度数，便可求解．
【详解】
解：如图：
∵
∴，
∵平分
故答案为62°
【点睛】
本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．
47．（2020·辽宁盘锦）如图，直线，的顶点和分别落在直线和上，若，，则的度数是__________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
根据两直线平行内错角相等可得到，从而计算出的度数．
【详解】
解：∵直线，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
48．（2021·青海）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】
由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】
解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
49．（2020·湖北恩施）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
50．（2020·湖南张家界）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】
解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
三、解答题
51．（2021·湖北武汉）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
52．（2020·湖北宜昌）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【答案】25°
【解析】
【分析】
使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
53．（2020·四川内江）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【解析】
【分析】
（1）根据角角边求证即可；
（2）根据已知可得，根据等边对等角可得结果．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．
54．（2020·江苏镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】
证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键
55．（2020·湖北武汉）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分
，即
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
56．（2021·西藏）如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
由平行线的性质得出∠B＝∠D，再由垂直的定义得到∠DCE＝90°＝∠A，即可根据ASA证明△ABC≌△CDE，最后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∵EC⊥BD，∠A＝90°，
∴∠DCE＝90°＝∠A，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC＝CE．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
57．（2021·浙江温州）如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
58．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据，可得，根据证明，进而可得，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
59．（2022·湖北武汉）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，．求证：．
【答案】(1)
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
(1)
解：∵，
∴，
∵，
∴．
(2)
证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
60．（2021·四川绵阳）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．
【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；
（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；
【详解】
解：（1）结论：点在直线上；
∵，，
∴，
∴，即．
∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．
（2）作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即以、为邻边的正方形面积．
【点睛】
本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．
61．（2020·湖北黄石）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】
（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
专题11 几何图形初步与相交线、平行线
一、单选题
1．（2022·广东广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
【详解】
该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,
故选：A．
【点睛】
此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．
2．（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】
解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
3．（2022·广西柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】
解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
4．（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
5．（2021·山东枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（ ）
A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④
【答案】D
【解析】
【分析】
将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．
【详解】
解：搭配①、②、③两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配④不能，
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．
6．（2020·山东东营）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又∵OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
7．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】
解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】
本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
8．（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
由，∠1＝70°，可得 从而可得答案．
【详解】
解：∵，∠1＝70°，
∴
故选C
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．
9．（2022·广西河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是( )
A．142° B．132° C．58° D．38°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
10．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对顶角相等求解．
【详解】
解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，．
故选A．
【点睛】
本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
11．（2022·甘肃兰州）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】
解：∵ab，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2022·辽宁营口）如图，直线的顶点B，C分别在上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得到∠EBC=∠BCF=25°，再利用互余得到∠ABE=65°．
【详解】
解：∵，，
∴∠EBC=∠BCF=25°
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-25°=65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．
13．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，
∴∠OBC=35°，
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
14．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5
【详解】
解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，
∵
∴
∴
∵//
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
15．（2022·山西）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．（2021·贵州黔西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
【详解】
如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
17．（2021·四川德阳）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠CEF＝120°，则∠MPB＝（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠EFP=∠CEF=120°，
∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°，
∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
18．（2021·山东潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】
解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，
∴CD//EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGCAGB60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
19．（2020·四川广元）如图，，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
【详解】
解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°，
∴∠1+∠MPN+∠3=360°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
20．（2020·黑龙江齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
21．（2020·湖北孝感）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
22．（2020·四川攀枝花）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
【详解】
解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故选C.
【点睛】
本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.
23．（2022·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可得出答案．
【详解】
解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
24．（2022·湖北荆州）如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由得即可求解；
【详解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）＝（180°-40°）=70°，
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
25．（2021·湖南娄底）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．
【详解】
解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图：
根据题意：，
，
，
，
，
，
相交于点，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
26．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
27．（2020·内蒙古呼伦贝尔）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠F=180°，
∵，
∴∠F=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠F+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键．
28．（2020·四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】
解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
29．（2020·湖北省直辖县级单位）将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
30．（2020·辽宁鞍山）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）
A．36°． B．54°． C．72°． D．73°．
【答案】C
【解析】
【详解】
∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
二、填空题
31．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】
解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
32．（2022·广西玉林）已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．
【答案】30
【解析】
【详解】
∵互余两角的和等于90°，
∴α的余角为：90°-60°=30°.
故答案为：30
33．（2020·黑龙江大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】
解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
34．（2020·四川雅安）如图，与都相交，，则_________．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2.
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=180°-50°=130°，
故答案为130°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.
35．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
【答案】135°##135度
【解析】
【分析】
根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．
【详解】
，
，
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
36．（2021·黑龙江大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【解析】
【分析】
根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】
解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
故答案为：190．
【点睛】
本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
37．（2021·湖南益阳）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【答案】60
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】
解：设，
是的平分线，
，
平分，
，
又，
，
解得，即，
由对顶角相等得：，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
38．（2022·山东济宁）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126o32'，则∠2的度数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解．
【详解】
解：如图
l1l2，l2l3，
，，
，
∠1＝，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
39．（2022·湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
【答案】##85度
【解析】
【分析】
过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】
解：岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
40．（2022·四川乐山）如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
41．（2022·江苏扬州）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
【答案】105
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】
，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
42．（2021·四川绵阳）如图，直线，若，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可得，再利用邻补角即可求的度数．
【详解】
解：如图，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
43．（2021·辽宁阜新）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°．
【答案】60
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
44．（2021·江苏泰州）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】
解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
45．（2021·湖北恩施）如图，已知，，，则__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】
由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键．
46．（2020·广西贵港）如图，点，在直线上，平分，若，，则_______________．
【答案】62°
【解析】
【分析】
根据和平分，计算出的度数，便可求解．
【详解】
解：如图：
∵
∴，
∵平分
故答案为62°
【点睛】
本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．
47．（2020·辽宁盘锦）如图，直线，的顶点和分别落在直线和上，若，，则的度数是__________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
根据两直线平行内错角相等可得到，从而计算出的度数．
【详解】
解：∵直线，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
48．（2021·青海）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】
由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】
解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
49．（2020·湖北恩施）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
50．（2020·湖南张家界）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】
解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
三、解答题
51．（2021·湖北武汉）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
52．（2020·湖北宜昌）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【答案】25°
【解析】
【分析】
使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
53．（2020·四川内江）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【解析】
【分析】
（1）根据角角边求证即可；
（2）根据已知可得，根据等边对等角可得结果．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．
54．（2020·江苏镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】
证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键
55．（2020·湖北武汉）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分
，即
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
56．（2021·西藏）如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
由平行线的性质得出∠B＝∠D，再由垂直的定义得到∠DCE＝90°＝∠A，即可根据ASA证明△ABC≌△CDE，最后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∵EC⊥BD，∠A＝90°，
∴∠DCE＝90°＝∠A，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC＝CE．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
57．（2021·浙江温州）如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
58．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据，可得，根据证明，进而可得，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
59．（2022·湖北武汉）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，．求证：．
【答案】(1)
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
(1)
解：∵，
∴，
∵，
∴．
(2)
证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
60．（2021·四川绵阳）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．
【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；
（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；
【详解】
解：（1）结论：点在直线上；
∵，，
∴，
∴，即．
∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．
（2）作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即以、为邻边的正方形面积．
【点睛】
本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．
61．（2020·湖北黄石）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】
（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
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