2022-2023学年湖北省武汉一初慧泉中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉一初慧泉中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图美丽的图案，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    一元二次方程的二次项系数和常数项分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.    用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，，，，四点都在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    二次函数图象如图所示，则方程的解是(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

7.    将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.    已知二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，有一块边长为的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是______．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是          ．
13. 已知方程的两根分别为和，则的值为______．
14. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则等于______．

15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加_____．
     
16. 下列关于二次函数为常数的结论：
    该函数的图象与轴总有两个公共点；
    无论为何值，该函数的图象必经过一个定点；
    若，为此抛物线图象上两点，当时，；
    该函数图象的顶点一定不在直线的下方．
    其中正确的结论是______填写正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知抛物线经过点，．
    求，的值；
    该抛物线的开口向______，顶点坐标是______，当 ______时，随的增大而减小．
19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
20. 本小题分
    如图，在中，直径垂直于弦于点，，，求的长．

21. 本小题分
    如图，正方形网格中，的顶点均在网格上．
    以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出．
    作出关于坐标原点成中心对称的．
    可由绕某点旋转得到；
    请直接写出旋转中心的坐标为______．
    如图，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆与相交于点，若、分别为边，上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，．
     
22. 本小题分
    某商店销售一种商品，该商品的进价为元件，经市场调查发现：该商品的周销售量件是售价元件的一次函数，部分数据如表：

直接写出与之间的函数表达式为______；
当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
由于某种原因，该商店进价提高了元件，通过销售记录发现，当销售价格大于元件时，每周的利润随售价的增大而减小，请直接写出的取值范围为______．

23. 本小题分
    问题背景：如图，在与中，，，，求证：．
    尝试运用：如图，在等边中，是外的一点，，，，求的长度．
    拓展创新：如图，在中，，，是的中点，点是内的一动点，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出当的长度最小时，的长度为______．
     
24. 本小题分
    如图，抛物线交轴于、两点在左边，轴负半轴上有一点，过点作的垂线与抛物线相交于点．
    直接写出、两点的坐标；
    求点的坐标；
    如图，若直线与抛物线交于、两点在左边，分别过点、且与抛物线只有唯一公共点的两条直线分别交直线于点、两点，若、两点的横坐标分别为、，且满足，请直接写出满足条件的的值为______．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．
根据一元二次方程二次项系数不为解答即可．
【解答】
解：方程是一元二次方程，
，即，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是，，
故选：．
一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：．
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得，，
四边形是圆内接四边形，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的交点坐标为、，
当时，，，
一元二次方程的解是，，
故选：．
由图象可知抛物线与轴的交点坐标为、，则当时，，，所以一元二次方程的解是，，于是得到问题的答案．
此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的图象与轴的交点坐标等知识，运用数形结合的数学思想得到当时的的值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是：，即，
故选：．
根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染，
依题意得：．
故选：．
由每轮传染中平均一个人传染了个人，可得出第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：开口向下，且对称轴位于轴左侧、抛物线与轴的交点位于轴的正半轴，
、，，
由抛物线与轴有两个交点可知，
故此选项A、、D正确，B错误；
故选：．
根据二次函数的图象与性质逐一判断即可求出答案．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，抛物线与轴的交点，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，．
筝形≌筝形≌筝形，
．
折叠后是一个三棱柱，
，四边形、四边形、四边形都为矩形．
．
连结，
在和中，
，
≌．
．
设，则，由勾股定理就可以求出，
，
纸盒侧面积，
，
当时，纸盒侧面积最大为．
故选：．
如图，由等边三角形的性质可以得出，由三个筝形全等就可以得出，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出，四边形、四边形、四边形为矩形，且全等．连结证明≌就可以得出，设，则，由勾股定理就可以求出，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．
本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意将代入方程可得，
解得：，
故答案为：．
将代入方程得关于的方程，解之可得．
本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为．
根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标特点，熟记关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程的两根分别为和，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据旋转的性质得，，根据平行线的性质由得到，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得，所以．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】

解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，

抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，，抛物线顶点坐标为，
通过以上条件可设顶点式，代入点坐标到抛物线解析式得出：，所以抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，所以水面宽度增加到米，比原先的宽度增加了米，
故答案为：．
 

16.【答案】 

【解析】解：

，
该函数的图象与轴总有两个公共点；所以正确；
，
，
有无数个值，
且，
解得，，
无论为何值，该函数的图象必经过一个定点；所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
而抛物线的开口向下，
当时，；所以正确；
，
抛物线的顶点坐标为，
，
该函数图象的顶点一定不在直线的下方，所以正确．
故答案为：．
计算根的判别式的值得到，则根据根的判别式的意义可对进行判断；把二次函数解析式变形得到关于的方程为，利用有无数个值得到且，解得，，从而可判断抛物线必经过一个定点，从而可对进行判断；先求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，开口向下时抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，所以当时，；从而可对进行判断；先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，由于，于是可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

18.【答案】上     

【解析】解：抛物线经过点，，
，
解得，；
，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而减小．
故答案为：上，，．
利用待定系数法即可求得；由可得抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点为原点，进而求解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
关于的一元二次方程是，
，
解得． 

【解析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
也考查了一元二次方程的解法．
 

20.【答案】解：连接，
，
，
设的半径为，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得或不合题意，舍去，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，解出，进而求出．
本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是设出未知数利用勾股定理列出方程解答．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，点即为所求，．
故答案为：；

如图中，点，即为所求．

利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用旋转变换的性分别作出，，的对应点，，即可；
对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，点，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，圆周角定理，轴对称最短问题等知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：设与之间的函数表达式为，
根据题意，得，
解得：，
与的函数表达式为；
故答案为：；
设每周可获得利润为元，
由题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
当每件售价为元时，周销售利润最大，最大利润为元；
根据题意得，，
，对称轴为，
时，随的增大而减小，
当销售价格大于元件时，每周的利润随售价的增大而减小，
，
解得，
的取值范围为，
故答案为：．
根据表中数据可以求出每件进价；设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
根据总利润单件利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
列出函数关系式，由二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，列出函数关系式．
 

23.【答案】 

【解析】问题背景：证明：如图，，
，
在和中，
，
≌，
；

尝试运用：解：如图，以为边作等边，作于．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，，
，
，，
；

拓展创新：解：如图中，连接，过点作交的延长线于点，连接，．

，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
当点落在上时，的值最小，如图中，设交于点．

，，
垂直平分线段，
，，
，
，
，
故答案为：．
问题背景：如图，根据证明≌，可得结论；
尝试运用：如图，以为边作等边，作于证明≌，即可解决问题；
拓展创新：如图中，连接，过点作交的延长线于点，连接，证明≌，推出，由，推出当点落在上时，的值最小，如图中，设交于点利用勾股定理求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】或 

【解析】解：当时，，
，
解得或，
点的坐标为，点的坐标为；
解：连接，设

由得，
点的坐标为，，
，
，即，
在中，

解得，舍去，
点的坐标为；
设点的坐标为，点的坐标为，
联立得：，
，，
设直线解析式为，直线解析式为，
联立，
得，
直线与抛物线只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
同理可得；
直线与直线交于点，
联立得，
，
同理；
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
整理，得，
解得或，
故答案为：或．
令，求出此时的值即可求出、的坐标；
连接，设，先求出的长，再由中，由此即可求出点的坐标；
设点的坐标为，点的坐标为，联立，推出，，设直线解析式为，直线解析式为，再由直线与抛物线只有一个交点，推出，同理由直线与抛物线只有一个交点推出，再结合代入求出的值即可得到答案．
本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数与轴的交点问题，解直角三角形等等，熟练掌握二次函数与轴交点问题的相关知识是解题的关键．