初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试课时作业

这是一份初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试课时作业，共16页。试卷主要包含了选择题，四象限的概率是，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在Rt△ABC中，若把各边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角A的正切函数值( )
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的eq \f(1,5) D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sin A的值为( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5) C．2 D．eq \f(\r(5),2)
3．已知锐角α满足tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数为( )
A．20° B．35° C．45° D．50°
4．如图，每个小正方形的边长均相等，则cs∠BAC的值为( )
A．1 B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(2,3)
5．在△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2，sin A＝eq \f(2,3)，则AC的长是( )
A．eq \r(5) B．3 C．eq \f(4,5) D．eq \r(13)
6．如图，若用数轴上的点表示cs 30°的值，则这个点的位置落在( )
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
7．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是( )
A．eq \f(5 \r(7),14) B．eq \f(\r(3),5)
C．eq \f(\r(21),7) D．eq \f(\r(21),14)
8．某时刻在广东珠海海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行eq \f(2,3)小时到达B处，那么tan∠ABP＝( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(2\r(5),5)
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cs∠ACB的值为( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,9)
C．eq \f(5,12) D．eq \f(4,5)
10．从－2，－cs 60°，(－2)2中随机抽取一个记为m，再从|－2|，sin 30°，－(－2)2中随机抽取一个记为n，则反比例函数y＝eq \f(mn,x)的图象在第二、四象限的概率是( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(5,9) C．eq \f(2,3) D．eq \f(7,9)
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．已知∠A是锐角，且sin A＝eq \f(1,2)，则∠A的度数为________．
12．如图，点A(t，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝eq \f(4,3)，则t的值为________．
13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡比为1∶2，顶部A处的高AC为4 m，点B，C在同一水平面上，则斜坡AB的水平宽度BC为________m.
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tan α＝eq \f(3,5)，聪明的小强想求tan 2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan 2α的值为________．
15．如图，点D在钝角三角形ABC的BC边上，连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，AC∶BC＝5∶7，则∠CAD的余弦值为________．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．计算：2cs 45°－eq \f(2,3)tan 30°cs 30°＋sin260°.
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．
18．如图，一架长为3 m的梯子AB斜靠在竖直的墙BC上，且梯子与地面所成的角α为75°，求梯子顶部离地面的竖直高度BC.(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 75°≈0.97，cs 75°≈0.26，tan 75°≈3.73)
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．

20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝8，cs∠ABC＝eq \f(4,5)，BF为△ABC的角平分线，BF交AD于点E.
(1)求AD的长；
(2)求tan∠FBC的值．
21．阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
如图1，sin α＝eq \f(BC,AB)，cs α＝eq \f(AC,AB)，tan α＝eq \f(BC,AC).
一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β.
例如：sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cs 30°－cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
任务：
(1)计算：sin 75°＝________；
(2)如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝2eq \r(3)－2，求AB和BC的长．

五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．如图，在斜坡CB上有一建成的塔AB，斜坡CB的坡比为1∶2.4.小芳在C处测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13 m到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内．参考数据：sin 53°≈eq \f(4,5)，cs 53°≈eq \f(3,5)，tan 53°≈eq \f(4,3))
(1)求D处的竖直高度；
(2)求塔AB的高度．
23．【定义】在Rt△ABC中，点M，N分别在直角边AC，BC上，若AM2＋BN2＝MN2，则称线段MN为Rt△ABC的“勾股线”．
【运用】
(1)如图1，MN为Rt△ABC的“勾股线”，AC＝6，BC＝4，AM＝2，求CN的长；
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上，试用没有刻度的直尺和圆规作出Rt△ABC的一条“勾股线”PQ(要求：保留作图痕迹，不写作法)；
(3)如图3，EF是Rt△ABC的“勾股线”，BF＝eq \r(3)AE，CF＝AE，D是斜边AB上一点，且AD＝eq \r(5)BD，连接DF.求tan∠DFE的值．
答案
一、1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A
9．D 点拨：延长AD到点M，使得DM＝DF，连接BM.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
又∵∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF，
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∴CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠EAF＝∠M，
∴AB＝BM＝9.
∵AE＝4，
∴BE＝5.
∵∠EBC＝90°，
∴BC＝eq \r(EC2－BE2)＝eq \r((4＋9)2－52)＝12，
∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(92＋122)＝15，
∴cs∠ACB＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,15)＝eq \f(4,5).
10．B 点拨：画树状图如下：
所有的等可能的情况有9种，
其中mn为负数的情况有5种，
所以反比例函数y＝eq \f(mn,x)的图象在第二、四象限的概率是eq \f(5,9).
二、11．30° 12．3 13．8
14．eq \f(15,8) 点拨：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD＝α.
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝2α.
设BD＝x，则AD＝CD＝5－x，
在Rt△CDB中，BC2＋BD2＝CD2，
∴32＋x2＝(5－x)2，解得x＝1.6，
∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝eq \f(BC,BD)＝eq \f(3,1.6)＝eq \f(15,8)，
即tan 2α＝eq \f(15,8).
15．eq \f(\r(10),10) 点拨：如图，过点A作AH⊥BC于点H，设AC＝5k，则BC＝7k.
∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC＝5k.
∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，
∴AH＝BH.设AH＝BH＝x，则CH＝7k－x.
在Rt△ACH中，AH2＋HC2＝AC2，
∴x2＋(7k－x)2＝(5k)2，
解得x＝3k或x＝4k(不合题意，舍去)．
∴BH＝AH＝3k，CH＝4k，∴DH＝k，∴AD＝eq \r(10)k，
∴cs∠CAD＝cs∠ADH＝eq \f(DH,AD)＝eq \f(k,\r(10)k)＝eq \f(\r(10),10).
三、16．解：原式＝2×eq \f(\r(2),2)－eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)
＝eq \r(2)－eq \f(1,3)＋eq \f(3,4)
＝eq \r(2)＋eq \f(5,12).
17．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
∴BC＝AC·tan A＝15×eq \f(\r(3),3)＝5eq \r(3)，
∴AB＝2BC＝2×5eq \r(3)＝10eq \r(3).
18．解：在Rt△ABC中，AB＝3 m，∠BAC＝75°，
∴sin ∠BAC＝sin 75°＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(BC,3)≈0.97，
∴BC≈2.9 m.
答：梯子顶部离地面的竖直高度BC约为2.9 m.
四、19．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，
∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(169－144)＝eq \r(25)＝5.
∴sin ∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13).
过点B作BD⊥MC于点D.
∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BCM＝sin ∠BAC.
∴sin ∠BCM＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(5,13)，即eq \f(BD,5)＝eq \f(5,13).
∴BD＝eq \f(25,13)，即点B到直线MC的距离为eq \f(25,13).
20．解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴cs∠ABC＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(4,5).
∵BD＝8，∴AB＝10，
∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(102－82)＝6.
(2)如图，过点E作EH⊥AB于点H.

∵BF为△ABC的角平分线，ED⊥BC，
∴ED＝EH.
在Rt△BHE和Rt△BDE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE＝BE，,EH＝ED，))
∴Rt△BHE≌Rt△BDE(HL)，
∴BH＝BD＝8，
∴AH＝AB－BH＝2.
∵∠ABC＋∠BAD＝90°，∠AEH＋∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝∠AEH，
∴cs∠AEH＝eq \f(EH,AE)＝cs∠ABC＝eq \f(4,5).
设ED＝EH＝4k，则AE＝5k，
∴在Rt△AEH中，(5k)2＝(4k)2＋22，
解得k＝eq \f(2,3)或k＝－eq \f(2,3)(不合题意，舍去)，∴ED＝eq \f(8,3)，
∴tan∠FBC＝tan∠EBD＝eq \f(ED,BD)＝eq \f(\f(8,3),8)＝eq \f(1,3).
21．解：(1)eq \f(\r(2)＋\r(6),4)
(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，在BC上取一点E，连接AE，使BE＝AE.

∵∠C＝45°，
∴AD＝CD，sin C＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(\r(2),2)，即eq \f(\r(2),2)＝eq \f(AD,2\r(3)－2)，
∴AD＝eq \r(6)－eq \r(2).
∵∠B＝15°，∴sin B＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝eq \f(AD,AB)，
即eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝eq \f(\r(6)－\r(2),AB)，
∴AB＝4.
∵BE＝AE，∴∠B＝∠EAB＝15°，
∴∠AED＝30°，
∴AE＝2AD＝2eq \r(6)－2eq \r(2)，
tan∠AED＝eq \f(AD,DE)＝eq \f(\r(3),3)，即eq \f(\r(3),3)＝eq \f(eq \r(6)－eq \r(2),DE)，
∴DE＝3eq \r(2)－eq \r(6)，
∴BC＝DE＋BE＋CD＝3eq \r(2)－eq \r(6)＋2eq \r(6)－2eq \r(2)＋eq \r(6)－eq \r(2)＝2eq \r(6).
五、22．解：(1)如图，过点D作DM⊥地面于点M.
∵斜坡CB的坡比为1∶2.4，
∴eq \f(DM,CM)＝eq \f(1,2.4)，即eq \f(DM,CM)＝eq \f(5,12).
设DM＝5k m，则CM＝12k m，
在Rt△CDM中，CD＝13 m，
CM2＋DM2＝CD2，∴(5k)2＋(12k)2＝132，
解得k＝1或k＝－1(不合题意，舍去)，
∴DM＝5 m，CM＝12 m.
∴D处的竖直高度为5 m.
(2)如图，过点B作BE⊥地面于点E，则A，B，E三点在一条直线上，过点D作DF⊥BE于点F，则四边形DMEF为矩形．易知eq \f(BF,DF)＝eq \f(5,12).设DF＝ME＝12a m，则BF＝5a m.
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝(12＋12a)m，
∴AF＝AE－EF＝AE－DM＝(7＋12a)m.
在Rt△ADF中，
DF＝12a m，AF＝(7＋12a)m，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝eq \f(AF,DF)＝eq \f(7＋12a,12a)≈eq \f(4,3)，
∴a≈eq \f(7,4).
∴AF≈7＋12×eq \f(7,4)＝28(m)，BF≈5×eq \f(7,4)＝eq \f(35,4)(m)，
∴AB＝AF－BF≈28－eq \f(35,4)＝eq \f(77,4)(m)．
答：塔AB的高度约为eq \f(77,4) m.
23．解：(1)∵AC＝6，AM＝2，
∴CM＝4.
∵△MCN为直角三角形，∴MN2＝CM2＋CN2.
∵MN是Rt△ABC的“勾股线”，
∴AM2＋BN2＝MN2，
∴CM2＋CN2＝AM2＋BN2，
∴16＋CN2＝4＋(4－CN)2，
∴CN＝eq \f(1,2).
(2)如图1，PQ即为所求．

(3)如图2，过点A作AH∥BC，交FD的延长线于点H，连接EH.设AE＝a，
则BF＝eq \r(3)a，CF＝eq \f(1,2)a.

∵EF是Rt△ABC的“勾股线”，
∴EF2＝AE2＋BF2＝4a2，
∴EF＝2a，
∴在Rt△CEF中，CE＝
∵AH∥BC，
∴eq \f(AH,BF)＝eq \f(AD,BD)，∠C＋∠HAC＝180°，
∴∠HAC＝∠C＝90°.
∵AD＝eq \r(5)BD，
∴AH＝eq \r(5)BF＝eq \r(5)a.
∵eq \f(AE,CF)＝eq \f(a,\f(1,2)a)＝2，eq \f(AH,CE)＝ ＝2，
∴eq \f(AE,CF)＝eq \f(AH,CE).
又∵∠HAC＝∠C＝90°，
∴△AEH∽△CFE，
∴eq \f(EH,EF)＝eq \f(AE,CF)＝2，∠AEH＝∠CFE.
∵∠CFE＋∠CEF＝90°，
∴∠AEH＋∠CEF＝90°，
∴∠FEH＝90°，
∴tan∠DFE＝eq \f(EH,EF)＝2.