2023届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考数学试题含解析

这是一份2023届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考数学试题 一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化简集合，再根据交集的定义计算即可.【详解】，故选：A2．已知复数为纯虚数，则实数（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】，因为复数为纯虚数，所以，即.故选：C3．（       ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据互补正弦值相等，结合两角和的正弦公式即可求解.【详解】，故故选：B4．已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（       ）A．36 B．C． D．48【答案】B【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公式即可得出答案.【详解】设正四棱台上、下底面的中心为，为侧面上的斜高，过作交边于点，所以，所以，所以正四棱台的上、下底面的面积为：，正四棱台的侧面积为：，则其表面积为：.故选：B.5．在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】因为，分别用表示出，代入即可得出答案.【详解】因为是的中点，是的中点，所以，而，，所以.故选：D.6．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（       ）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，故选：C7．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.【详解】记得,记得，设直线与曲线相切于点，由于是公切线，故可得，即化简得，故选：C8．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(       )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理可判断△PAB是等腰直角三角形，从而求出∠PAC，在△PAC中利用余弦定理求出PC，根据勾股定理可判断PB⊥PC，从而可知PB⊥平面PAC，从而可将三棱锥补为以△PAC为底面的直三棱柱，外接球球心即为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，根据几何关系即可求解．【详解】，且，∴，在△PAC中，根据余弦定理得，，∴，∴，又，平面PAC，∴PB⊥平面PAC，故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱，则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，设△PAC外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为中点O，OA即为外接球的半径.在△PAC中，根据正弦定理可得，∴，∴，∴外接球表面积为：．故选：A． 二、多选题9．集成电路产业是信息产业发展的核心，是支撑经济社会和保障国家信息安全的战略性，基础性和先导性产业.下表统计了2015-2021年我国集成电路市场规模及同比增长情况，关于2015-2021年我国集成电路市场规模的下列说法正确的是（       ）、A．集成电路市场规模逐年增长B．同比增长率的平均数不超过20%C．集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年D．集成电路市场规模的中位数小于极差【答案】ACD【分析】由图中信息可判断A，C；计算同比增长率的平均数、中位数和极差可判断B，D.【详解】对于A，由图可知，集成电路市场规模逐年增长，故A正确；对于B，同比增长率的平均数为：，故B不正确；对于C，集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年，为，故C正确；对于D，集成电路市场规模的中位数为：，集成电路市场规模的极差为：.故D正确.故选：ACD.10．已知函数的部分图象如图所示，则（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由函数的最值可求,根据周期可求，由最低点的坐标可求，进而可得的表达式，代入即可求解.【详解】由图中最低点可知：,又周期,再根据，故，由于，取，因此，，故ABD正确，C错误，故选：ABD11．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（       ）A．双曲线的渐近线方程为B．内切圆的半径为C．D．点到轴的距离为【答案】ABD【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为，对两边同时平方结合勾股定理可求得，再由代入可判断C；由求得内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.【详解】解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A正确；因为，，，所以，，解得，故，C错误；内切圆的半径为， B正确；设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.故选：ABD．12．已知函数的三个零点，，满足，则（       ）A． B．C． D．的最小值是【答案】BC【分析】结合导数以及二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】由题意，函数，，，令，得或，令，得，所以的极小值在处取得，极大值在处取得，即的极小值为，的极大值为，又因为，而函数的三个零点分别为，，，且，所以，，，故A错误，B、C正确；由题中条件可知，，因此，因为函数在上单调递减，所以当时，，所以D错误．故选：BC 三、填空题13．若函数是偶函数，则________.【答案】【分析】根据偶函数满足，进而可得，化简即可求解的值.【详解】由题意知：，同乘以得，故，故答案为：14．的展开式中项的系数是________.【答案】【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中项的系数.【详解】依题意:，其中展开式的通项为，，所以展开式中含的项为，所以展开式中项的系数是.故答案为：15．记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.【答案】16【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.【详解】由得,当时，单调递减，且，当时，，故当时，，当时，，且，所以当时，最小.故答案为：16 四、双空题16．已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则________；若的中点到准线的距离为，则_________.【答案】     16     4【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，，进而可得，再结合条件即得.【详解】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得，，则，因为，所以，又，∴，，∴，又的中点到准线的距离为，∴，即，∴，即.故答案为：16；4. 五、解答题17．已知正项数列的前n项和为，，且．(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）由可得，所以数列是以公差为3的等差数列，可求出数列的通项公式（2）求出，由裂项相消法求出.【详解】(1)由得，∴．又，∴，∴．∴数列是以公差为3的等差数列．又，∴，，∴．(2)由（1）知．∴．18．如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.(1)求；(2)若，求长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得的长，再由正弦定理可得到；（2）由（1）得到，中由余弦定理可求得的长.【详解】(1)解：在中，由余弦定理可得，代入数据可得，，由正弦定理可得，所以；(2)在中，由（1）及余弦定理得， ，又，在中，由余弦定理可得，故.19．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.(1)证明：.(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面即可得到；（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，可得，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可【详解】(1)因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故(2)由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则20．为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表： 愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车购买时补贴大于1.5万6535购买时补贴不大于1.5万4555 (1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】(1)有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关(2)分布列见解析，的数学期望为人 【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，计算卡方并比较即可；（2）先计算出在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，结合超几何分布相关知识求解概率与期望即可.【详解】(1)2×2列联表如下： 愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车合计大于1.5万6535100不大于1.5万4555100合计11090200 可得，所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.(2)依题意，分层随机抽样的抽样比为，则有，，所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123 故（人），所以的数学期望为人.21．在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.【答案】(1)(2)证明见解析， 【分析】（1）利用椭圆的定义求点的轨迹方程；（2）设出直线为：，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出中点，进而表达出的垂直平分线，求出点坐标，得到的长，得到为定值.【详解】(1)由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点的椭圆，且则可得，，所以，所以的方程为(2)设直线为：，则联立得：，设，则，，，则，中点坐标为，所以的垂直平分线为，令得：，所以，，22．已知函数.(1)若函数的最大值为1，求实数的值；(2)证明：当时，.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，并求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而求出的值；（2）将要证明的不等式转化为，利用（1）中函数的单调性可得到，再构造函数，判断的单调性可得到，两个不等式相加即可得到结论式.【详解】(1)解：，令，可得，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，解得；(2)欲证，只需证，即证，由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，令，，则在上单调递减，所以当时，，故，即，，命题得证.