北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期期中数学模拟试卷（含答案）

这是一份北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期期中数学模拟试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期期中数学模拟试卷 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   已知集合，，则集合中元素的个数为(    )A.  B.  C.  D.    已知下列命题：
命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；
命题 ：，，则：，；
若为真命题，则，均为真命题；
“”是“”的充分不必要条件．
其中，真命题的个数有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个   不等式的解集是(    )A.  B.
C.  D.    若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是(    )A.  B.  C.  D.    若，则有(    )A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为   若集合，集合，则下列各式正确的是(    )A.  B.  C.  D.    下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且 ， ，则
D. ，使成立   函数的图象可能是(    )A.  B.
C.  D.    下列关系中，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则(    )
 A．          B．         C．        D．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）已知函数，且的图象过定点，且点在幂函数的图象上，则          ． __          ____ ．已知函数是定义在上的奇函数，，成立，当且时，有给出下列命题：
；
在上有个零点；
直线 是函数图象的一条对称轴．
点 ，是函数图象的一个对称中心；
则正确命题的序号是______．已知为奇函数，且若，则 ______ ．函数的定义域为，若对于任意，，当时，都有，则称函数在上为非减函数．设函数为定义在上的非减函数，且满足以下三个条件：
；，；当时，恒成立．则____________． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知全集，若，，，试写出满足条件的、集合．本小题分
已知函数．
写出函数的定义域和值域；
证明函数在为单调递减函数；并求在上的值域．本小题分
本题满分分已知且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为．
求的值；解不等式；本小题分
已知函数．
若，写出的定义域，并证明既不是奇函数也不是偶函数；
设函数，当时，有最小值，求的取值范围．本小题分
某企业拟在年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是万件．已知年产品的设备折旧、维修等固定费用为万元，每生产万件产品需再投入万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
Ⅰ将年的利润万元表示为促销费万元的函数；
Ⅱ该企业年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？
注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用本小题分
对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质．
判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；
若函数具有性质，且当时，，解不等式；
已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合．
参考答案1.【答案】 【解析】解：集合，，
，
集合中元素的个数为．
故选：．
利用交集定义先求出，由此能求出集合中元素的个数．
本题考查交集中元素个数的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】【分析】
根据逆否命题的意义即可得出；
利用非命题的意义即可得出；
若为真命题，则与至少有一个为真命题；
由于，而反之不成立，再利用充分必要条件即可判断出．
本题考查了简易逻辑的有关知识，属于基础题．
【解答】
解：根据逆否命题的意义可得：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
命题 ：，，利用非命题的意义可得：：，，正确；
若为真命题，则与至少有一个为真命题，因此是假命题；
，而反之不成立，“”是“”的充分不必要条件．
综上可知：只有正确．
故选：．  3.【答案】 【解析】解：由不等式可得，或，解得，或，
故选：．
由题意可得，，或，由此解得的范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，根据已知中函数具有性质的定义，可得时，满足定义．【解答】解：当时，函数在上单调递增，函数具有性质；
当时，定义域为，函数，则，显然函数在上不是单调递增，不具有性质；
当时，定义域为，函数在上单调递减，函数不具有性质；
当时，定义域为，函数，则，显然函数在上不是单调递增，不具有性质；
故选A．  5.【答案】 【解析】变形可得，再由基本不等式，得解．
本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．【解答】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值．
故选：．  6.【答案】 【解析】本题主要考查指数函数的值域、对数函数的定义域和集合间的运算，属于基础题．
由指数函数的值域、对数函数的定义域分别求出集合、，然后逐个判断即可．
【解答】
解：由条件可知，，
则，错；
，错；
，错；
故选A．  7.【答案】 【解析】 故答案为．
 8.【答案】 【解析】解：，排除，
，
，
即，不是最大值，排除，
故选：．
根据函数值分别计算，，，利用对应性进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用，，三个数值的对应性进行判断是解决本题的关键，难度不大．
 9.【答案】 【解析】根据指数函数和的单调性判断每个选项的大小关系是否正确即可．
本题考查了指数函数的单调性，根据函数单调性比较实数值大小的方法，考查了推理能力，属于基础题．【解答】解：．，，该选项错误；
B.，，该选项错误；
C.，，该选项正确；
D.，，该选项错误．
故选：．  10.B
试题分析：由函数的解析式可得周期T=2，再结合图象可得A、P、B的坐标．设点P在x轴上的射影为M，得tan∠BPM= 和tan∠APM=的值，再由tan∠APB=tan（∠BPM+∠APM）=，故选B. 11.【答案】 【解析】本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，是基础题．
根据指数函数的性质求出定点，代入幂函数的解析式求出的值．【解答】解：函数中，
令，解得，
此时；
所以函数的图象过定点
幂函数，
则，
解得．
故答案为：．  12.【答案】 【解析】根据指数幂的运算性质计算即可．
本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．【解答】解：；
故答案为：．  13.【答案】 【解析】解：当且时，有．
即此时函数为减函数，
，成立，
即函数是的周期函数，
又由函数是定义在上的奇函数，
函数的草图如下所示：

由图可知：
，故正确；
在上有：，，，，，共个零点，即正确；
函数图象无对称轴，故错误；
所有点均为函数的对称中心，故是函数的一个对称中心，故正确；
故答案为：
根据已知，分析出函数的周期和单调性，进而画出满足条件的函数的草图，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
 14.【答案】 【解析】解：为奇函数，且，
所以，
解得，
，
．
故答案为：．
由题意，可先由函数是奇函数求出，再将其代入求值即可得到答案．
本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．
 15.【答案】 【解析】解：函数满足：，，则，
且当时，恒成立，
则，
又函数为定义在上的非减函数，
当时，，恒成立，
故，，则，
则．
故答案为．
 16.【答案】解：且，
所以，，，且，；
故B；但，故，
于是．
即或或或或或或；； 【解析】由题意确定集合与集合中的元素，然后列出集合的所有可能的情况．
本题考查集合的交集与并集、补集的基本运算，考查基本知识的应用．
 17.【答案】解：函数，
函数的定义域为，
函数的值域为．
证明：
证法一：设，
则，，
，
函数在为单调递减函数．
证法二：，
，
当时，恒成立，
函数在为单调递减函数．
故当时，函数取最大值，
当时，函数取最小值．
故在上的值域为． 【解析】根据已知中函数的解析式，可求出函数的定义域和值域；
证法一：设，作差可得，根据函数单调性的定义，可得：函数在为单调递减函数；
证法二：求导，根据当时，恒成立，可得函数在为单调递减函数．进而可得在上的值域．
本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的值域，难度中档．
 18.【答案】解：且，．函数在区间上是增函数，函数在区间上的最大值与最小值之差为，即，．由可得，
又由得，
所以解得． 【解析】可得，再根据求得的值．由已知不等式转化为不等式组，解得范围．
 19.【答案】解：时，，
，
的定义域为，
，，
且，
既不是奇函数也不是偶函数；
设，
则，
，，
，
当时，，在内为增函数，
在区间上也为增函数，任取，
当时，，则不是最小值，
无最小值，不符合题意；
当时，，在内为减函数，
在区间上也为减函数，有最小值，符合题意；
当时，在内恒成立，
在区间上也恒成立，，符合题意．
综上所述，的取值范围为． 【解析】时，，由此能求出的定义域，推导出且，从而既不是奇函数也不是偶函数；
，设，利用分类讨论思想和函数的性质能求出的取值范围．
本题考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 20.【答案】解：Ⅰ由题意：，将，代入得，
，
Ⅱ当年生产万件时，年生产成本，
当销售万件时，年销售收入
由题意，生产万件产品正好销完，年利润年销售收入年生产成本促销费  ，即；
 
          ，时等号成立
 ，此时，． 【解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
Ⅰ根据与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是万件，可求出的值；进而通过表示出年利润，并化简整理，代入整理即可求出万元表示为促销费万元的函数；
Ⅱ利用基本不等式求出最值，即可得结论．
 21.【答案】解：不具有性质，理由如下：
对于任意实数，即，
不具有性质；
具有性质，
若，则，
的一个取值为只要满足即可．
由得：，，
是以为周期的周期函数；
当时，，不等式无解；
当时，，则，
，解得：，
综上所述：当时，的解集为，
的解集为．
，，则只需研究的情况；
当时，
令且对于任意恒成立，
此时满足，并具有性质，但不恒等于；
当时，；当时，；当时，；
令且对于任意恒成立，
此时满足，并具有性质，但不恒等于；
当时，，，，满足题意；
当时，，，
，又，，，
则，，满足题意；
当时，，，
，又，
，，
则，，满足题意；
综上所述：当时，满足题意的的取值集合为，
满足题意的正整数的取值的集合为；． 【解析】根据可知不具有性质；当时，结合诱导公式可知，可得具有性质；
由可推导得到是以为周期的周期函数；分别在和的情况下，解不等式，根据周期性可得到结论；
由可知只需研究的情况；当，、和时，通过反例可知不合题意；当、和时，结合可推导得到，由此可得取值集合．
本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数的周期性，考查学生的综合能力，属于难题．