山东省济南市天桥区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份山东省济南市天桥区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市天桥区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列实数中，无理数是（　　）
A．﹣1 B．3.14 C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
4．若一次函数y＝mx﹣1的图象经过点（1，0），则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．用式子表示16的平方根，正确的是（　　）
A．±＝±4 B． C．＝±4 D．±＝4
6．已知P点坐标为（3，2a+2），且点P在x轴上，则a的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（0，1） D．（0，）
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．2×＝ C．3﹣＝3 D．÷＝2
9．点P在第二象跟内，P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（　　）
A．（﹣5，3） B．（﹣3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
10．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（1，3），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（3，5）
C．（5，3）或（﹣3，3） D．（3，5）或（3，﹣3）
11．某市白天出租车的乘车费用y（单位：元）与路程x（单位：km）的函数关系如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（　　）

A．该市白天出租车的起步价是5元
B．该市白天在2.5km内只收起步价
C．超过2.5km（x＞2.5）的部分每千米加收2元
D．超过2.5km（x＞2.5）的部分的乘车费用y与路程x之间的函数关系式是y＝2x+5
12．在一单位为1的方格纸上，有一列点A1，A2，A3，…，An，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），A4（2，2），…，则A2017的坐标为（　　）

A．（1008，0） B．（1010，0） C．（﹣1008，0） D．（﹣1006，0）
二、填空题：（本大共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如果用有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，那么第二单元6号的住户用有序数对表示为 　 　．
14．36的算术平方根是　 　．
15．在平面直角坐标系内，点（﹣3，1）关于y轴对称的点的坐标为 　 　．
16．点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　 　y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
17．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算亲如下：a×b＝，如3×2＝，那么6×3＝　 　
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 　 　．

三、解答题：（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（18分）（1）计算：；
（2）计算（﹣）2；
（3）﹣+．
20．已知y是x的正比例函数，且x＝2时，y＝﹣4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
21．已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求3a+2b的算术平方根．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC和△A1B1C1关于轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P点是x轴上一动点，直接写出PB+PC长度的最小值为 　 　．

23．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．
用水量（立方米）
收费（元）
不超过10立方米
每立方米2.5元
超过10立方米
超过的部分每立方米3.5元
（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，y＝　 　；
②每月用水量超过10立方米时，y＝　 　；
（2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？
（3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？
24．阅读下列材料，解答后面的问题：
+＝﹣1；
++＝2﹣1＝1；
+++＝﹣1；⋯
（1）写出下一个等式；
（2）计算+⋯+的值；
（3）请求出（+⋯+）×（）的运算结果．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），与l1交于点C（2，m）．

（1）求出直线l2的函数关系式；
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1、l2交于点M、N，
①当点M在点N的上方，且满足MN＝OB时，请求出点M与点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列实数中，无理数是（　　）
A．﹣1 B．3.14 C． D．
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：A．1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出正确选项．
解：因为点P（﹣2，3）的横坐标小于0，纵坐标大于0，
所以点P（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
【分析】根据立方根的定义求解即可．
解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
4．若一次函数y＝mx﹣1的图象经过点（1，0），则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出0＝m×1﹣1，解之即可得出m的值．
解：∵一次函数y＝mx﹣1的图象经过点（1，0），
∴0＝m×1﹣1，
∴m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
5．用式子表示16的平方根，正确的是（　　）
A．±＝±4 B． C．＝±4 D．±＝4
【分析】一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”，所以16的平方根为．
解：用式子表示16的平方根为．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，注意平方根的表示方法为±．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
6．已知P点坐标为（3，2a+2），且点P在x轴上，则a的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a，再求解即可．
解：∵P点坐标为（3，2a+2），且点P在x轴上，
∴2a+2＝0，
解得a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
7．下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（0，1） D．（0，）
【分析】将各点的坐标代入一次函数中，若左右两边相等即可该点在图象上．
解：（A）将（1，0）代入y＝﹣2x+1，
∴0≠﹣2+1，故A不在图象上；
（B）将（2，0）代入y＝﹣2x+1，
∴0≠﹣4+1，故B不在图象上；
（D）将（0，）代入y＝﹣2x+1，
∴≠0+1，故D不在图象上；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上的点特征，解题的关键是将点的坐标代入一次函数解析式中，本题属于基础题型．
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．2×＝ C．3﹣＝3 D．÷＝2
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．点P在第二象跟内，P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（　　）
A．（﹣5，3） B．（﹣3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
【分析】根据点的x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点的y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征即可解答．
解：点P在第二象限内，P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，那么点P的坐标是（﹣3，5），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征是解题的关键．
10．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（1，3），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（3，5）
C．（5，3）或（﹣3，3） D．（3，5）或（3，﹣3）
【分析】先利用与x轴平行的直线上点的坐标特征确定N点的纵坐标为3，再在直线MN上找出到1的距离为4的数即可得到N点坐标．
解：∵MN∥x轴，M点的坐标为（1，3），
∴N点的纵坐标为3，
而MN＝4，
∴N点的横坐标为：1+4＝5，或1﹣4＝﹣3，
∴N点坐标为（﹣3，3）或（5，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平行于x轴的直线上点的纵坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个是解题的关键．
11．某市白天出租车的乘车费用y（单位：元）与路程x（单位：km）的函数关系如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（　　）

A．该市白天出租车的起步价是5元
B．该市白天在2.5km内只收起步价
C．超过2.5km（x＞2.5）的部分每千米加收2元
D．超过2.5km（x＞2.5）的部分的乘车费用y与路程x之间的函数关系式是y＝2x+5
【分析】观察图象，逐项判断即可．
解：由图象可得：该市白天出租车的起步价是5元，故A正确，不符合题意；
该市白天在2.5km内只收起步价，故B正确，不符合题意；
超过2.5km（x＞2.5）的部分每千米加收（8﹣5）÷（4﹣2.5）＝2（元），故C正确，不符合题意；
超过2.5km（x＞2.5）的部分的乘车费用y与路程x之间的函数关系式是y＝2（x﹣2.5）+5＝2x，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
12．在一单位为1的方格纸上，有一列点A1，A2，A3，…，An，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），A4（2，2），…，则A2017的坐标为（　　）

A．（1008，0） B．（1010，0） C．（﹣1008，0） D．（﹣1006，0）
【分析】观察图形结合点A1、A5、A9的坐标，即可得出变化规律“A4n+1（2n+2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出点A2017的坐标．
解：观察，发现：A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0），…，
∴A4n+1（2n+2，0）（n为自然数）．
∵2017＝504×4+1，
∴A2017的坐标为（1010，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“A4n+1（2n+2，0）（n为自然数）”是解题的关键．
二、填空题：（本大共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如果用有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，那么第二单元6号的住户用有序数对表示为 　（2，6）　．
【分析】根据有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，得出数字对应情况，进而得出答案．
解：∵用有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，
∴第二单元6号的住户用有序数对表示为（2，6）．
故答案为：（2，6）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出有序实数对的意义是解题关键．
14．36的算术平方根是　6　．
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
解：36的算术平方根是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
15．在平面直角坐标系内，点（﹣3，1）关于y轴对称的点的坐标为 　（3，1）　．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
解：（﹣3，1）关于y轴对称的点为（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
16．点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　＞　y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】利用一次函数的增减性判断即可．
解：在一次函数y＝﹣2x+b中，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜3，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y＝kx+b中，当k＞0时y随x的而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
17．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算亲如下：a×b＝，如3×2＝，那么6×3＝　1．　
【分析】认真读懂题意，按照新定义计算即可．
解：6×3
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数运算的新定义，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 　　．

【分析】以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由“SAS”可证△AEP≌△ADB，可得∠AEP＝∠ADB＝120°，进而可得点P在直线EF上运动，根据垂线段最短可得出答案．
解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，

∴∠AED＝60°，
∴AO＝OE＝3，
∴OE＝，
∵△ADE和△ABP是等边三角形，
∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠PAE，
在△ADB和△AEP中，
，
∴△AEP≌△ADB（SAS），
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝，
则OP的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（18分）（1）计算：；
（2）计算（﹣）2；
（3）﹣+．
【分析】（1）根据二次根式的除法和乘法法则运算；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
解：（1）原式＝
＝
＝3；
（2）原式＝5﹣2+2
＝7﹣2；
（3）原式＝3﹣2+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20．已知y是x的正比例函数，且x＝2时，y＝﹣4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出正比例函数解析式即可；
（2）直接将x＝代入求出答案．
解：（1）y是x的正例函数，
所以，设y＝kx（k≠0），
当x＝2时，y＝4．
所以，4＝2k，
所以，k＝2，
所以y＝2x；
（2）当x＝时，y＝1．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
21．已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求3a+2b的算术平方根．
【分析】（1）首先根据2a+1的一个平方根是3，可得：2a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据1﹣b的立方根为﹣1，可得：b﹣1＝1，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a与b的值代入3a+2b，求出算术的值是多少，进而求出它算术平方根是多少即可．
解：（1）∵2a+1的一个平方根是3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4；
∵1﹣b的立方根为﹣1，
∴b﹣1＝1，
解得b＝2．

（2）∵a＝4，b＝2，
∴3a+2b
＝3×4+2×2
＝16，
∴3a+2b的算术平方根4．
【点评】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC和△A1B1C1关于轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P点是x轴上一动点，直接写出PB+PC长度的最小值为 　　．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接BC交x轴于点P，连接PC，此时PB+PC的值最小，最小值＝PC1．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2；

（3）连接BC交x轴于点P，连接PC，此时PB+PC的值最小，最小值＝PC1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
23．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．
用水量（立方米）
收费（元）
不超过10立方米
每立方米2.5元
超过10立方米
超过的部分每立方米3.5元
（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，y＝　y＝2.5x　；
②每月用水量超过10立方米时，y＝　3.5x﹣10　；
（2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？
（3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？
【分析】（1）①根据不超过10立方米时应缴水费＝2.5×用水量；
②超过10立方米时应缴水费＝2.5×10+3.5×超出10立方米的用水量，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）将x＝6代入y＝2.5x中，求出y值即可；
（3）根据2.5×10＝25（元），32＞25，即可得出该户居民月用水量超出10立方米，将y＝27代入y＝3.5x﹣10中，求出x值即可．
解：（1）①当0≤x≤10时，y＝2.5x；
故答案为：y＝2.5x；
②当x＞10时，y＝2.5×10+3.5（x﹣10）＝3.5x﹣10；
故答案为：3.5x﹣10；
（2）当x＝6时，y＝2.5×6＝15（元），
答：应交水费15元；
（3）2.5×10＝25（元），32＞25，
即可得出该户居民月用水量超出10立方米，
当y＝32时，3.5x﹣10＝32，
x＝12，
答：该户居民用水12立方米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出y关于x的函数关系式，再根据函数关系式求值．
24．阅读下列材料，解答后面的问题：
+＝﹣1；
++＝2﹣1＝1；
+++＝﹣1；⋯
（1）写出下一个等式；
（2）计算+⋯+的值；
（3）请求出（+⋯+）×（）的运算结果．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）利用所给的规律进行求解即可；
（3）利用所给的规律进行求解即可．
解：（1）第4个等式为：++++＝；
（2）+⋯+
＝
＝10﹣1
＝9；
（3）（+⋯+）×（）
＝[+…+﹣（+⋯+）]×（）
＝（﹣1﹣9）×（）
＝（﹣10）×（）
＝（﹣10）×（+10）
＝2122﹣100
＝2022．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），与l1交于点C（2，m）．

（1）求出直线l2的函数关系式；
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1、l2交于点M、N，
①当点M在点N的上方，且满足MN＝OB时，请求出点M与点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点C的坐标，在用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设M（t，t），N（t，﹣t+3），由MN＝OB建立方程求出t的值即可求解；
②根据题意分三种情况讨论：当∠NMQ＝90°时，MN＝MQ，此时Q（0，t），再由﹣t+3＝|t|，求出Q点坐标；当∠MNQ＝90°时，NQ＝MN，此时Q（0，﹣t+3），
再由﹣t+3＝|t|，求出Q点坐标；当∠MQN＝90°时，MN的中点坐标为（t，t+），则Q（0，t+），再由|t|＝（﹣t+3），求出Q点坐标．
解：（1）将点C（2，m）代入y＝x，
∴m＝2，
∴C（2，2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（2）①设M（t，t），N（t，﹣t+3），
∵点M在点N的上方，
∴t＞2，
∵MN＝OB，
∴t﹣3＝3，
解得t＝4，
∴M（4，4），N（4，1）；
②存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，理由如下：
点M在点N的下方时，t＜2，
当∠NMQ＝90°时，MN＝MQ，此时Q（0，t），
∴﹣t+3＝|t|，
解得t＝或t＝6（舍），
∴Q（0，）；
当∠MNQ＝90°时，NQ＝MN，此时Q（0，﹣t+3），
∴﹣t+3＝|t|，
∴t＝或t＝6（舍），
解得t＝，
∴Q（0，）；
当∠MQN＝90°时，MN的中点坐标为（t，t+），
∴Q（0，t+），
∵|t|＝（﹣t+3），
解得t＝﹣6或t＝，
∴Q（0，0）或（0，）；
综上所述：Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，0）或（0，）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．