2022-2023学年安徽省合肥十中高三（上）学情检测数学试卷(含答案)

这是一份2022-2023学年安徽省合肥十中高三（上）学情检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥十中高三（上）学情检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1．（5分）已知复数z满足zi＝2+i，则复数z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣2i C．2i D．﹣2
2．（5分）记全集U＝R，设集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x2﹣5x﹣3≥0}，则（∁UB）∩A＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知均为单位向量，且，则＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
4．（5分）命题p：“∃x∈R，ax2+2ax﹣4≥0”为假命题，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣3≤a≤0 D．﹣4≤a≤0
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且f（x）在[1，+∞）上单调递增，则（　　）
A．f（0.20.3）＜f（41.1）＜f（log30.5）
B．
C．f（41.1）＜f（0.20.3）＜f（log30.5）
D．
6．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，8） B．（﹣∞，8] C． D．
7．（5分）设点P为双曲线E：的渐近线和抛物线C：y2＝4x的一个公共点，若P到C的焦点距离为4，则双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）设f（x）的定义域为R，且满足f（3﹣2x）＝f（2x﹣1），f（x）+f（﹣x）＝2，若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2022）＝（　　）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题有多个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
（多选）9．（5分）下列函数中，与函数y＝x+2不是同一个函数的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（5分）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
（多选）11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（　　）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是奇函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（n）
D．f（x﹣1）＞0的解集为{x|x＜1}
（多选）12．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．若，则的最大值是﹣1
B．若x，y，z都是正数，且x+y+z＝2，则的最小值是3
C．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是2
D．若实数x，y满足xy＞0，则的最大值是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案写在答题卡上）
13．（5分）若函数f（）＝x﹣1，则f（x）＝　 　．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为　 　．
15．（5分）函数的单调增区间是 　 　．
16．（5分）在1和10之间插入n个实数，使得这（n+2）个数构成递增的等比数列，将这（n+2）个数的乘积记作Tn，则lgT1+lgT2+⋯+lgT11＝　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其他题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．
（1）当a＝2时，求（∁UA）∩（∁UB）；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）是二次函数，其图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，6）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）﹣2a+2＝0有两个不同的实数根，求a的取值范围．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1，数列{bn}为等差数列，且2a4＝3b3+1，S6＝7b5．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）记，求{cn}的前n项和为Tn．
20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝2，BC＝2＝2，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求A1B1与平面CDB1所成角的正弦值．

21．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f（C）＝0，若向量与共线，求a，b的值．
22．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）＝（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．

2022-2023学年安徽省合肥十中高三（上）学情检测数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1．（5分）已知复数z满足zi＝2+i，则复数z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣2i C．2i D．﹣2
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：∵复数z满足zi＝2+i，
∴，
∴复数z的虚部为﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2．（5分）记全集U＝R，设集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x2﹣5x﹣3≥0}，则（∁UB）∩A＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出集合的等价条件，利用集合补集交集的定义进行计算即可．
【解答】解：∵A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，，
∴，
则（∁UB）∩A＝（，1]．
故选A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的定义利用集合补集交集的定义进行运算是解决本题的关键，是基础题．
3．（5分）已知均为单位向量，且，则＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】利用均为单位向量，且，可得（2）＝2﹣＝0，则2＝＝1，从而可解．
【解答】解：∵均为单位向量，且，
则（2）＝2﹣＝0，
则2＝＝1
又＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积相关知识，属于基础题．
4．（5分）命题p：“∃x∈R，ax2+2ax﹣4≥0”为假命题，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣3≤a≤0 D．﹣4≤a≤0
【分析】将条件转化为ax2+2ax﹣4＜0恒成立，检验a＝0是否满足条件，当a≠0 时，必须 ，从而解出实数a的取值．
【解答】解：命题p：∃x∈R，ax2+2ax﹣4≥0是假命题，
即∀x∈R，ax2+2ax﹣4＜0是真命题，
①当a＝0 时，﹣4＜0恒成立，
②当a≠0时，则，解得﹣4＜a＜0，
综上，实数a的取值范围为（﹣4，0]．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属中档题．
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且f（x）在[1，+∞）上单调递增，则（　　）
A．f（0.20.3）＜f（41.1）＜f（log30.5）
B．
C．f（41.1）＜f（0.20.3）＜f（log30.5）
D．
【分析】由题意可知函数f（x）关于x＝1对称，且f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，利用指数函数和对数函数的性质可得﹣2＜﹣1＜log30.5＜0＜0.20.3＜1，结合函数单调性即可求解．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
∴函数f（x）关于x＝1对称，
又∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，
∵，∴﹣1＜log30.5＜0，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴﹣2＜﹣1＜log30.5＜0＜0.20.3＜1，
∴f（﹣2）＞f（log30.5）＞f（0.20.3），
又∵41.1＞4，∴f（41.1）＞f（4）＝f（﹣2），
∴f（0.20.3）＜f（log30.5）＜f（41.1），
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的对称性，考查了利用函数的单调性比较大小，属于中档题．
6．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，8） B．（﹣∞，8] C． D．
【分析】由题意可知不等式a＜x+在（2，7）上有实数解，再利用对勾函数的性质求出函数f（x）＝x+在（2，7）上的最大值即可．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax+7＞0在（2，7）上有实数解，
即不等式a＜x+在（2，7）上有实数解，
由对勾函数的性质可知，函数f（x）＝x+在（2，）上单调递减，在（，7）上单调递增，
又f（2）＝，f（7）＝8，
∴a＜8，
即a的取值范围是为（﹣∞，8），
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式能成立问题，考查了对勾函数的性质，属于基础题．
7．（5分）设点P为双曲线E：的渐近线和抛物线C：y2＝4x的一个公共点，若P到C的焦点距离为4，则双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出P的坐标，代入双曲线的渐近线方程，转化求解离心率即可．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
设P（x1，y1）在第一象限，P到C的焦点距离为4，所以x1+1＝4，
所以P，
双曲线渐近线：，所以，所以，即，
所以，所以，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（5分）设f（x）的定义域为R，且满足f（3﹣2x）＝f（2x﹣1），f（x）+f（﹣x）＝2，若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2022）＝（　　）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
【分析】根据函数的性质由f（3﹣2x）＝f（2x﹣1），f（x）+f（﹣x）＝2可得f（x）+f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝4，即可得解．
【解答】解：因为f（x）+f（﹣x）＝2，f（1）＝2，所以f（﹣1）＝0，f（0）＝1，
由f（3﹣2x）＝f（2x﹣1）得f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x）+f（x+2）＝2，f（x+1）+f（x+3）＝2，
即f（x）+f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝4，
所以[f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）]+[f（3）+f（4）+⋯+f（2021）+f（2022）]＝4×506＝2024，
所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2022）＝2024﹣f（﹣1）﹣f（0）＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了抽象函数的求值问题，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题有多个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
（多选）9．（5分）下列函数中，与函数y＝x+2不是同一个函数的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：函数y＝x+2，定义域为R，
对于A，函数y＝的定义域为{x|x≥﹣2}，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数，故A正确，
对于B，函数y＝+2＝x+2的定义域为R，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故B错误，
对于C，函数y＝+2的定义域为{x|x≠0}，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数，故C正确，
对于D，函数y＝+2＝|x|+2，两个函数的对应关系不同，不是同一个函数，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
（多选）10．（5分）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
【分析】由反比例函数的性质可判断A，由奇函数的性质可判断B，由分段函数的单调性可判断C，由抽象函数的定义域可判断D．
【解答】解：对于A，由反比例函数的性质可知，函数f（x）＝在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，但是在定义域内不是减函数，故A错误，
对于B，若g（x）是奇函数，不一定有g（0）＝0，例如g（x）＝为奇函数，但在x＝0处无意义，故B错误，
对于C，若函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则，
解得﹣3≤a≤﹣2，故C错误，
对于D，若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则﹣2≤2x﹣1≤2，
解得﹣，
所以f（2x﹣1）的定义域为[﹣，]，故D正确，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了函数单调性的性质与判断．考查了抽象函数的定义域，属于基础题．
（多选）11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（　　）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是奇函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（n）
D．f（x﹣1）＞0的解集为{x|x＜1}
【分析】根据抽象函数关系，分别利用赋值法，转化法进行判断即可．
【解答】解：A，令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故A正确，
B，令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故B正确，
C．设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，由题意可得，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在R上的减函数，f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），故C错误，
f（x﹣1）＞0等价于f（x﹣1）＞f（0），
∵f（x）为R上的减函数，
∴x﹣1＜0，解得x＜1．即不等式的解集为{x|x＜1}，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法，结合函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是中档题．
（多选）12．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．若，则的最大值是﹣1
B．若x，y，z都是正数，且x+y+z＝2，则的最小值是3
C．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是2
D．若实数x，y满足xy＞0，则的最大值是
【分析】由已知结合基本不等式及函数性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：若x＜，则2x+＝2x﹣1++1≤﹣2+1＝﹣1，当且仅当2x﹣1＝，即x＝0时取等号，A正确；
x，y，z都是正数，且x+y+z＝2，则＝（）（x+1+y+z）＝[5++]＝3，
当且仅当且x+y+z＝2，即x＝1，y+z＝1时取等号，B正确；
因为x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，
所以x+2y＝8﹣x×2y，当且仅当x＝2y且x+2y+2xy＝8，即x＝2，y＝1时取等号，
解得x+2y≥4，C错误；
因为xy＞0，
令t＝，则t，当且仅当时取等号，
所以2t+3，
所以0＜，
则＝＝＝＝1+∈（1，4﹣2]，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案写在答题卡上）
13．（5分）若函数f（）＝x﹣1，则f（x）＝　x2﹣2（x≥0）　．
【分析】通过换元，令，则x＝t2﹣1，代入原式即可得解．
【解答】解：令，则x＝t2﹣1，
∴f（t）＝t2﹣1﹣1＝t2﹣2，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2（x≥0）．
故答案为：x2﹣2（x≥0）．
【点评】本题考查利用换元法求函数解析式，需要注意的是换元前后变量的等价性，属于基础题．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为　1　．
【分析】根据幂函数的定义和性质，列方程和不等式求出n的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）中，
令n2+2n﹣2＝1，
解得n＝﹣3或n＝1；
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以n2﹣3n＜0，
解得0＜n＜3；
所以n的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
15．（5分）函数的单调增区间是 　　．
【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：函数，
由4﹣3x﹣x2≥0可得，﹣4≤x≤1，
设t＝4﹣3x﹣x2，则函数在[﹣4，﹣]上单调递增，在[，1]上单调递减．
因为函数y＝在定义域上为增函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递增区间是[﹣4，﹣]．
故答案为：[﹣4，﹣]．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，属于基础题．
16．（5分）在1和10之间插入n个实数，使得这（n+2）个数构成递增的等比数列，将这（n+2）个数的乘积记作Tn，则lgT1+lgT2+⋯+lgT11＝　44　．
【分析】设插入n个实数之后构成的等比数列{an}的公比为q，则qn+1＝10，再结合对数公式，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：设插入n个实数之后构成的等比数列{an}的公比为q，
则qn+1＝10，
Tn＝a1•a2•••••an+2＝＝＝，
所以＝＝，将n＝11代入可得原式＝．
故答案为：44．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其他题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．
（1）当a＝2时，求（∁UA）∩（∁UB）；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可．
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，根据条件转化为真子集关系进行求解即可．
【解答】解：（1）A＝{x|≤0}＝{x|2＜x≤5}，
B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．
当a＝2时，B＝（1，3），
则∁UA＝{x|x＞5或x≤2}，∁UB＝{x|x≥3或x≤1}，
则（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＞5或x≤1．
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
则B⫋A，则，得，得3≤a≤4，
即实数a的取值范围是[3，4]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集合关系转化为真子集关系是解决本题的关键，是基础题．
18．（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）是二次函数，其图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，6）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）﹣2a+2＝0有两个不同的实数根，求a的取值范围．
【分析】（1）依题意可设，当x≥0时，f（x）＝k（x﹣1）（x﹣3），由f（0）＝6求得k值，得到x≥0时的解析式，再由函数为偶函数，即可求得x＜0时的解析式；
（2）依题意知，f（x）＝2a﹣2有两个不同的实数根，即y＝f（x）与y＝2a﹣2的图象有两个不同的交点，作出函数f（x）的图象，数形结合即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）依题意可设，当x≥0时，f（x）＝k（x﹣1）（x﹣3），
由f（0）＝6，得3k＝6，即k＝2．
∴f（x）＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6（x≥0）．
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝2x2+8x+6（x＜0），
∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）＝2x2+8x+6（x＜0）．
∴；
（2）依题意知，f（x）＝2a﹣2有两个不同的实数根，即y＝f（x）与y＝2a﹣2
的图象有两个不同的交点．
作出函数f（x）的图象如图：

由图可知，需满足2a﹣2＝﹣2或2a﹣2＞6，
即a＝0或a＞4．
∴a的取值范围是{0}∪（4，+∞）．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1，数列{bn}为等差数列，且2a4＝3b3+1，S6＝7b5．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）记，求{cn}的前n项和为Tn．
【分析】（1）由已知数列递推式可得数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则其通项公式可求；再由2a4＝3b3+1，S6＝7b5，求解等差数列的公差，可得其通项公式；
（2）直接利用错位相减法求{cn}的前n项和为Tn．
【解答】解：（1）由Sn＝an+1﹣1，得Sn﹣1＝an﹣1（n≥2），
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣1﹣an+1，即an+1＝2an（n≥2），
再由a1＝1，Sn＝an+1﹣1，取n＝1，可得a2＝2＝2a1，
∴数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则；
由数列{bn}为等差数列，且2a4＝3b3+1，S6＝7b5，
得，，则公差d＝，
∴bn＝b3+（n﹣3）×2＝5+2n﹣6＝2n﹣1；
（2）＝，
则，
可得，
可得
＝＝，可得．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了错位相减法求和，是中档题．
20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝2，BC＝2＝2，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求A1B1与平面CDB1所成角的正弦值．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BCC1B1，进而可得AC⊥B1C；
（2）以CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角公式代入计算可得答案．
【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，
又因为AC＝2，，AB＝4，则AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，
又CC1∩BC＝C，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1，
平面BCC1B1，所以AC⊥B1C．
（2）解：以CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
故，，
设平面CDB1的法向量，
则，令y＝1，则，
设A1B1与平面CDB1所成角为θ，
则，
即A1B1与平面CDB1所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查异面直线垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f（C）＝0，若向量与共线，求a，b的值．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，从而可求出其最小正周期，由，可求出其单调减区间；
（2）由f（C）＝0可求出角C，由与共线，结合正弦定理可得b＝2a，再利用余弦定理可求出a，b的值．
【解答】解：（1），
∴f（x）的最小正周期为π，
∵，
∴，
∴f（x）的单调递减区间为；
（2）∵，即，
∵，
∴，∴，
∵与共线，∴sinB﹣2sinA＝0，
由正弦定理，得b＝2a，①
∵c＝3，由余弦定理，得，②
由①②，得．
【点评】本题考查了三角函数的性质以及正余弦定理、平面向量数量积的性质，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）＝（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．
【分析】（1）由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，有f（x+1）＝f（1﹣x），即有f（﹣x）＝f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）＝﹣f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．
（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[﹣1，0]时的解析式．当x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，写出解析式，得到x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．
【解答】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
有f（x+1）＝f（1﹣x），即有f（﹣x）＝f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）＝﹣f（x）．故f（x+2）＝﹣f（x）．
从而f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）＝0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
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