2021银川长庆高级中学高二上学期期中考试数学（理）含答案

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期高二年级

数学（理科）期中试卷

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求）                                                                    

1.命题“若，则”的逆否命题是(　　)

A．若，则  B．若，则  C．若，则  D．若，则

2.“”是“”的(　　)

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件       C．充要条件            D．既不充分也不必要条件

3.命题“”的否定是(　　)

A．   B．   C．   D．

4.方程所表示的曲线形状是(　　)

A．     B．     C．     D．

5.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是(　　)

A．相交                 B．相切                 C．相离                 D．相切或相交

6.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则(　　)

A．                B．               C．                D．与斜交

7.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是(　　)

A．           B．          C．          D．

8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)

A．                 B．                C．                D．

9.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为(　　)

A．                  B．                  C．              D．

10.如图所示，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分

别是，在第二、四象限的公共点．若四边形是矩形，则的离心

率是(　　)

A．                 B．                C．                 D．

11.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．       B．       C．      D．

12.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为(　　)

A．                 B．                 C．              D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）                                                                         

13.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是_____________．

14.直线被抛物线截得的线段的中点坐标是________．

15.如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，

则点到平面的距离为________．

16.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：①；②；③是平面的法向量；④∥.其中正确的是____________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)                                                                         

17.如图，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点．

(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；

(2)求线段的长．

18.已知，．

(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

19.如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题：

(1)证明平面∥平面；

(2)证明⊥面.

20.设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.

(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

(2)求过点且斜率为的直线被截得的线段的长度．

21.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点，

(1)证明：；

(2)判断并说明上是否存在点，使得∥平面.

22.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、.

(1)若为等边三角形，求椭圆的方程；

(2)若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程．

答案

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案】　

【解析】　由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.

14.【答案】　(3,2)

【解析】　设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，

将y＝x－1代入y2＝4x，

整理得x2－6x＋1＝0.

由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，

∴＝＝＝2，

∴所求点的坐标为(3,2)．

15.【答案】

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，

则有解得n＝，

则所求距离为＝＝.

16.【答案】①②③

【解析】由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，

·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．

17.【答案】解　(1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，

所以抛物线的标准方程为y2＝4x，

其准线方程为x＝－1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

直线l的方程为y＝(x－1)，

与抛物线方程联立，得

消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，

由抛物线的定义可知，

|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，

所以线段AB的长为.

18.【答案】解　(1)由(x＋1)(x－5)≤0得－1≤x≤5，

∵p是q的充分条件，∴

解得m≥4.

(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6，根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，

无解；

当p假q真时，

解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.

综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6].

19. 【答案】给出用向量方法的证明，此题用空间几何的证明法则证明也可

(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，

则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，

设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，

∵＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，∴，

∴取m＝(－1,1,1)，

同理平面B1CD1的法向量为n＝(－1,1,1)，∴m∥n，

∴平面A1BD∥平面B1CD1；

(2)∵M、N分别为AB、B1C的中点，

∴＝(－1,1,1)，∴∥m，∴MN⊥面A1BD.

20.【答案】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xp，yp)，由已知，得

因为P在圆上，所以x2＋(y)2＝25，

即C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，

即x2－3x－8＝0.

则Δ＝(－3)2＋32＝41>0，x1＋x2＝3，x1x2＝－8，

所以线段AB的长为|AB|＝

＝＝＝＝.

21.【答案】∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，

如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．

(1)不妨令P(0,0，t)，∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，

∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，

∴⊥，即PF⊥FD；

(2)设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，

由得

令z＝－1，解得x＝y＝，∴n＝，

设点G的坐标为(0,0，m)，

又E，则＝，

要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，

即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，

解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．

22.【答案】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．

根据题意知，a＝2b，a2－b2＝1，解得a2＝，b2＝，故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)易求得椭圆C的方程为＋y2＝1.

当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．

由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)．

因为⊥，所以·＝0，

即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)

＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，

解得k2＝，即k＝±.

故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.