2022-2023学年江苏省连云港市东海县马陵山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市东海县马陵山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1.    下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    将方程配方后，原方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系为(    )

A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定

4.    下列四个命题：直径所对的圆周角是直角；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；三点确定一个圆．其中正确命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，点，，都在上，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.    春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽，设小路的宽为，则可列方程(    )

A.
B.
C.
D.

7.    已知：关于的方程有实根，则的取值范围为(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

8.    如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

9.    写出一个以和为根且二次项系数为的一元二次方程______．
10. 是关于的一元二次方程，则的值是______．
11. 若方程的两根是，，则的值为______．
12. 某商店月份的利润是元，要使月份的利润达到元，则平均每月增长的百分率应该是______．
13. 如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为______．

14. 矩形中，边，，以为圆心作，使、、三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是______．
15. 在中，弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角的度数是______ ．
16. 如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为______ ．

三、解答题（本题共10小题，共102分

17. 解方程：
    ；
    配方法；
    因式分解法；
    公式法．
18. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及另一个根．
19. 如图，、为的两条弦，延长到，使，如果，求的度数．

20. 已知关于的方程．
    求证：无论为何值，方程总有实数根；
    若等腰三角形一腰长为，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
21. 如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为______
    如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点已知：，求破残的圆形轮片圆的半径．
     
22. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
    
    如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？
    能否围成面积为平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
23. 如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接．
    求证：；
    求外接圆的直径．

24. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每天可售出件；为了迎接“购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每天就可以多售出件．
    降价前商场每天销售该商品的总利润是多少元？
    要使商场每天销售这种商品的总利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
25. 如图，的半径为，，，，是上的四个点，．
    判断的形状：______；
    试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
    当点位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积．
     
26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．
    几秒钟后的面积等于；
    在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
    在点、的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：的半径为，点与圆心的距离为，，
点在圆外．
故选：．
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设的半径为，点到圆心的距离，当时，点在圆内是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是圆周角定理的推论，故正确；
B、根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；
C、根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；
D、应是不共线的三个点，故错误．故选C．
根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．
熟练掌握圆中的有关定理，特别注意条件的严格性．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
是等腰三角形，
，
，
故选：．
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设小路的宽为 米，则绿化区域的长为米，宽为米，

故选：．
根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的，即可得出关于的一元二次方程，
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，方程化为，解得；
当，，解得且，
综上所述，的取值范围是．
故选：．
讨论：当时方程为一元一次方程，有一个实数解；当，利用根的判别式的意义得到，然后确定满足条件的的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，

则、，
，
又，
，
，
故选：．
由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
以和为根且二次项系数为的一元二次方程为．
故答案为．
先计算与的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：．
故答案为：．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以

．
故答案为．
先根据根与系数的关系得到，，然后把展开得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

12.【答案】 

【解析】解：设平均每月增长的百分率是．
依题意，得，
解得，不合题意，舍去．
答：平均每月增长的百分率应该是．
如果设平均每月增长的百分率是，那么月份的利润是元，月份的利润是元，而此时利润是元，根据月份的利润不变，列出方程．
本题考查的是平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量平均增长率增长后的量．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出的度数是解此题的关键．根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可．
【解答】
解：连接，

，，
，
，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
．  

14.【答案】 

【解析】解：连接，

矩形，
，，
在中，
，
当点在上时，半径，
当点在上时，半径，
当点、、三点有两个点在内，有一点在外需满足，
故答案为．
利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再利用点与圆的位置关系进行求解．
本题主要考查了矩形的性质和点与圆的位置关系，解题关键是是借助勾股定理求出矩形对角线的长度进行求解．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，连接、，和为弦所对的圆周角，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
弦所对的圆周角的度数为或．
故答案为或．
如图，连接、，先证明为等边三角形得到，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故答案为．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
 

17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项，分解因式，再求出方程的解即可；
先计算根的判别式，然后利用求根公式解方程．
本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，解题的关键是根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：方程的一个根为，
，
解得，
设另一根为，
，
，
，另一根为． 

【解析】考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．
由于一根为，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．
 

19.【答案】解：中，，则：；
；
． 

【解析】在等腰中，根据三角形的外角性质可求出外角的度数；而、是同弧所对的圆周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求出的度数．
此题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质及圆周角定理的应用．
 

20.【答案】证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；

解：等腰三角形一腰长为，
另外一边长度为，
方程一个根为，
，
解得，
方程为，
，
解得，，
故的周长． 

【解析】先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
依题意方程一个根为，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

21.【答案】 

【解析】解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心
如图所示，圆心的坐标为；
故答案为：；
作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图．


连接，设，，，
则根据勾股定理列方程：
，
解得：．
答：圆的半径为
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；在中，由勾股定理可求得半径的长．
本题考查了垂径定理、坐标与图形性质；熟练掌握垂径定理，通过作图求出圆心坐标是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设的长为米，则为米，根据题意列方程得，
，
解得，；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的长为米．

不能围成面积为平方米的花圃．
理由：假设存在符合条件的长方形，设的长为米，
于是有，
整理得，
，
这个方程无实数根，
不能围成面积为平方米的花圃． 

【解析】设出的长，表示出的长，利用长方形面积公式列方程解答，再据墙的最大可用长度为米即可；
利用中的方法列出方程解答，利用根的判别式进行判定即可．
此题的关键是利用长方形的面积计算公式列方程解答问题，注意结合图形．
 

23.【答案】证明：，且为的圆周角，
为的直径，
，
．
是中的平分线，
，，
在与中，
，
≌；
是直角三角形，且，，
，
由得，，．
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，即，解得，
，
，是直角三角形，
，
，
即外接圆的直径是． 

【解析】先根据：得出为的直径故可得出再由是中的平分线可知，由定理得出≌，根据全等三角形的性质可知；
先根据勾股定理求出的长，设，则，，在中，根据勾股定理得出的值，再由是直角三角形即可得出的长．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
 

24.【答案】解： 元．
答：降价前商场每天销售该商品的总利润是元．
设每件商品应降价元，
由题意，得 ．
解得 ，．
要更有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价元． 

【解析】根据总利润单件利润销售数量解答；
根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：等边三角形；
，
证明：在上截取，如图，

又，
是等边三角形，
，，即．
又，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
；
当点为的中点时，四边形的面积最大．

理由如下，如图，过点作，垂足为．
过点作，垂足为．
，，
，
当点为的中点时，，为的直径，
此时四边形的面积最大．
又的半径为，
其内接正三角形的边长，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明≌是关键．
利用圆周角定理可得，，而，所以，从而可判断的形状；
在上截取，则是等边三角形，然后证明≌，证明，即可证得；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点为的中点时，从而得出最大面积．
【解答】
解：是等边三角形．
证明如下：在中
与是所对的圆周角，与是所对的圆周角，
，，
又，
，
为等边三角形，
故答案为等边三角形；
见答案；
见答案．  

26.【答案】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，，
，
，
，

，
即，
解得：，．
答：运动秒或秒后的面积为；
假设运动开始后第秒时，，
，，
，
整理，得：，
解得，
，
运动开始后第秒时，以为圆心，为半径的圆正好经过点．
存在，
若，则，
又，
，
，
∽，
，即，
解得：；
若，则，
，
，
，
∽，
，即，
解得：舍；
若，显然不成立；
当时，与重合，与重合，此时是直角三角形；
故当或时，是直角三角形． 

【解析】设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
根据以点为圆心，为半径的圆正好经过点，可知，分别表示出和的长度，列出方程解方程解决问题；
假设存在，可分别根据、、三种情况，利用相似三角形的判定与性质求解可得．
本题属于四边形综合题，综合考查了三角形的面积公式，勾股定理，圆的性质，一元二次方程的应用和相似三角形的判定与性质，根据是直角三角形分类讨论是解题的关键．