2023-2024学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x﹣y＝0B．ax2+2x﹣3＝0
C．x2+2x+5＝x3D．x2﹣1＝0
2．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年（误差不超过1秒）．数据1700000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105B．1.7×106C．0.17×107D．1.7×107
3．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
4．用代数式表示“a的3倍与b的平方的和”，正确的是（ ）
A．（3a+b）2B．3（a+b）2C．3a+b2D．（a+3b）2
5．将一元二次方程x2+6x﹣2＝0配方后可化为（ ）
A．（x+3）2＝11B．（x﹣3）2＝11C．（x+3）2＝2D．（x﹣3）2＝2
6．如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．50°B．30°C．25°D．20°
7．在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4B．m＞﹣4C．m＜4D．m＜﹣4
8．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．分解因式：2x3﹣8x＝ ．
10．一只小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是 ．
11．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
12．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为 ．
13．若一元二次方程x2﹣5x+k＝0有一根为2，则k＝ ．
14．如图，△ABC的顶点均在格点上，A（3，4）、B（1，0）、C（7，0），利用网格线在图中找一点P，使得PA＝PB＝PC，则点P的坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，点D，E分别是AB，AC的中点，点M在DE上，且ME＝DM．当AM⊥BM时，BC的长为 ．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是AC边上一动点，连结BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则CE长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
18．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
19．文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
20．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝5，求⊙O的半径．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
①写出点B′的坐标为 ；
②线段AB绕过的面积为 ．（结果保留π）
22．已知关于x的元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足，求k的值．
23．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）．
（1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式；
（2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？
24．如图，点B（3，3）在双曲线y＝（x＞0）上，点D在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．
25．如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．
（1）请你在图1中，画出2秒时的线段PQ；
（2）在动点P，Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由．
26．【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x﹣y＝0B．ax2+2x﹣3＝0
C．x2+2x+5＝x3D．x2﹣1＝0
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2次，这样的整式方程叫一元二次方程，判断即可．
解：A、x2+x﹣y＝0是二元二次方程，不符合题意；
B、当a≠0时，ax2+2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得：x2+2x+5＝x3，是三元一次方程，不符合题意；
D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年（误差不超过1秒）．数据1700000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105B．1.7×106C．0.17×107D．1.7×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：1700000＝1.7×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4．用代数式表示“a的3倍与b的平方的和”，正确的是（ ）
A．（3a+b）2B．3（a+b）2C．3a+b2D．（a+3b）2
【分析】先写出a的3倍，b的平方，然后作和，则代数式列出．
解：根据题意可得：3a+b2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，注意代数式的正确书写：数字应写在字母的前面，数字和字母之间的乘号要省略不写．
5．将一元二次方程x2+6x﹣2＝0配方后可化为（ ）
A．（x+3）2＝11B．（x﹣3）2＝11C．（x+3）2＝2D．（x﹣3）2＝2
【分析】先把常数项移到等式的另一边，方程两边都加一次项系数一半的平方，按公式整理即可．
解：x2+6x﹣2＝0
把一元二次方程变形x2+6x＝2，
两边都加9，x2+6x+9＝2+9，
（x+3）2＝11．
故选：A．
【点评】本题考查配方法解一元二次方程问题，掌握配方法的步骤与要求，会用配方法把方程变形是关键．
6．如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．50°B．30°C．25°D．20°
【分析】先利用平行线的性质可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圆周角定理，进行计算即可解答．
解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，
∴∠COB＝∠OBA＝40°，
∴∠BAC＝∠COB＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4B．m＞﹣4C．m＜4D．m＜﹣4
【分析】将两个方程相加整理后结合已知条件得到关于m的不等式，解不等式即可．
解：将方程组中的两个方程相加可得：3x+3y＝4﹣m，
则x+y＝，
∵x+y＞0，
∴＞0，
解得：m＜4，
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组及解一元一次不等式，结合已知条件求得x+y＝是解题的关键．
8．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．
解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式．
10．一只小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是 （2，1） ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
解：∵小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，
∴点B的坐标是（﹣2+4，1），即（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
11．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．
【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
解：x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理，
∴此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．
12．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为 30πcm2 ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解：圆锥的侧面积＝2π×3×10÷2＝30π（cm2）．
故答案为：30πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
13．若一元二次方程x2﹣5x+k＝0有一根为2，则k＝ 16 ．
【分析】把x＝2代入一元二次方程x2﹣5x+k＝0即可得到k的值．
解：把x＝2代入一元二次方程x2﹣5x+k＝0得4﹣20+k＝0，
所以k＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．如图，△ABC的顶点均在格点上，A（3，4）、B（1，0）、C（7，0），利用网格线在图中找一点P，使得PA＝PB＝PC，则点P的坐标为 （4，1） ．
【分析】为了使得PA＝PB＝PC，作AC和BC的垂直平分线，交点即为点P．
解：如图所示，作AC和BC的垂直平分线，交点即为点P．
∴点P的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形各边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，熟悉线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，点D，E分别是AB，AC的中点，点M在DE上，且ME＝DM．当AM⊥BM时，BC的长为 9 ．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求出DM，根据题意求出DE，再根据三角形中位线定理即可求出BC．
解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，AB＝6，
∴DM＝AB＝3，
∵ME＝DM，
∴ME＝1.5，
∴DE＝DM+ME＝4.5，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是AC边上一动点，连结BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则CE长度的最小值是 2﹣2 ．
【分析】连接AE，如图1，根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝2，从而得到CE的最小值为2﹣2．
解：如图，连接AE，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】（1）利用直接开方法求出x的值即可；
（2）利用公式法求出x的值即可．
解：（1）（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±＝±3，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
x＝＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开方法和公式法是解题的关键．
18．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【解答】证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明△BEF≌△CDA是本题的关键．
19．文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 300 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．
解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%＝300（人），
“文明宣传”的人数为：300﹣60﹣120﹣30＝90（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）在扇形统计图中，“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×＝144°；
（3）1500×80%×＝360（名），
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理∠BAD＝∠BCD，∠ADB＝90°，求出∠BAD＝45°，再根据直角三角形的性质求出答案即可；
（2）连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CDB，再解直角三角形求出AB即可．
解：（1）∵∠BCD＝45°，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝5，
∴AB＝2BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
①写出点B′的坐标为 （﹣1，3） ；
②线段AB绕过的面积为 2π ．（结果保留π）
【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）①根据（1）中所作图形可得；
②根据线段AB绕过的面积＝AC扫过的面积﹣BC扫过的面积解答解．
解：（1）如图所示，△A'B'C即为所求；
（2）①由图知点B'的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）；
②∵，∠ACA'＝90°，BC＝＝，
∴线段AB绕过的面积＝AC扫过的面积﹣BC扫过的面积＝﹣＝﹣＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及扇形面积公式．
22．已知关于x的元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式Δ＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，即可得到结论；
（2）由题意得到x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，代入，解方程即可得到结论；
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，
∵，
∴＝，
即＝，
解得：k＝2；
经检验：k＝2是分式方程的解．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
23．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）．
（1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式；
（2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？
【分析】（1）由每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件，即可求解；
（2）由利润＝每件商品利润×数量，列出方程可求解．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝200﹣20（x﹣10）＝﹣20x+400，
∴y与x之间的函数表达式为 y＝﹣20x+400；
（2）由题意可得：（400﹣20x）（x﹣8）＝640，
整理，得 x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
又每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格，
所以 x＝12，
答：将每件小商品的售价定为12元时，才能使每天的利润为640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24．如图，点B（3，3）在双曲线y＝（x＞0）上，点D在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．
【分析】（1）把B的坐标代入求出即可；
（2）设MD＝a，OM＝b，求出ab＝4，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，证△ADM≌△BAN，推出BN＝AM＝3，MD＝AN＝a，求出a＝b，求出a的值即可．
解：（1）∵点B（3，3）在双曲线y＝上，
∴k＝3×3＝9；
（2）∵B（3，3），
∴BN＝ON＝3，
设MD＝a，OM＝b，
∵D在双曲线y＝﹣（x＜0）上，
∴ab＝4，
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠DMA＝∠ANB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠MDA+∠DAM＝90°，∠DAM+∠BAN＝90°，
∴∠ADM＝∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴BN＝AM＝3，DM＝AN＝a，
∴0A＝3﹣a，
即AM＝b+3﹣a＝3，
a＝b，
∵ab＝4，
∴a＝b＝2，
∴OA＝3﹣2＝1，
即点A的坐标是（1，0）．
【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
25．如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．
（1）请你在图1中，画出2秒时的线段PQ；
（2）在动点P，Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出运动的路程，再根据6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，即可画出2秒时线段PQ：
（2）过点Q作OH⊥EF于H，依题意得FP＝2t个单位，AQ＝t个单位，PE＝（8﹣2t）个单位，BQ＝（8﹣t）个单位，先证四边形AFHQ为矩形，则AQ＝FH＝t个单位，QH＝AF＝6个单位，HP＝t个单位，在Rt△PQH中由勾股定理得PQ2＝HP2+QH2＝t2+36，在Rt△BPE中由勾股定理得：PB2＝PE2+BE2＝（8﹣2t）2+36，又BQ2＝（8﹣t）2，分三种情况讨论如下：①PQ＝PB时，t2+36＝（8﹣2t）2+36，②PQ＝BQ时，t2+36＝（8﹣t）2，③PB＝BQ时，（8﹣2t）2+36＝（8﹣t）2，根据每一种情况解出t即可．
解：（1）∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，
点P运动的路程为：2×2＝4（2个单位），点Q运动的路程为：2×1＝2（个单位），
∵6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，
∴2秒时线段PQ如图1所示：

（2）在动点P，Q运动的过程中，△PQB能成为等腰三角形．
t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为2t个单位，
过点Q作OH⊥EF于H，如图2所示：
则FP＝2t个单位，AQ＝t个单位，PE＝（8﹣2t）个单位，BQ＝（8﹣t）个单位，
依题意得：四边形ABEF为矩形，
∴∠F＝∠A＝∠E＝90°，AF＝BE＝6个单位，FE＝AB＝8个单位，
又OH⊥EF，
∴四边形AFHQ为矩形，
∴AQ＝FH＝t个单位，QH＝AF＝6个单位，
∴HP＝FP﹣FH＝t个单位，
在Rt△PQH中，由勾股定理得：PQ2＝HP2+QH2＝t2+36，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：PB2＝PE2+BE2＝（8﹣2t）2+36，
又BQ2＝（8﹣t）2，
分三种情况讨论如下：
①PQ＝PB时，t2+36＝（8﹣2t）2+36，
整理得：3t＝8，
解得：t＝，
②PQ＝BQ时，t2+36＝（8﹣t）2，
整理得：16t＝28，
解得：t＝，
③PB＝BQ时，（8﹣2t）2+36＝（8﹣t）2，
整理得：3t2﹣16t+36＝0，
∵判别式Δ＝（﹣16）2+4×3×36＝﹣176＜0，
∴方程3t2﹣16t+36＝0没有实数根，
∴不存在PB＝BQ．
综上所述：当t＝秒或秒时，△PQB是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，理解题意，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点．
26．【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ 45 °．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ．
【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则∠BAC＝∠BDC＝24°；
（3）先作等边三角形OAB，再以O为圆心，AB的长为半径画弧与直线l的交点即为所求；
（4）如图所示，在BC上截取一点F使得BF＝BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当BF≤m＜BQ时满足题意，据此求解即可．
解：（1）∵AB＝AC＝AD，
∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，
∵∠BAC＝90°，
∴，
故答案为：45°；
（2）如图2所示，取BD中点E，连接AE，CE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E为BD的中点，
∴，
∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，
∴∠BAC＝∠BDC＝24°；
（3）如图3所示，P1、P2即为所求；
（4）如图所示，在BC上截取一点F使得BF＝BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
∴B在圆O上，，
∴，
∵OH⊥EF，
∴，
∴，
∴，
∴BF≤m＜BQ，
∴，
即．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．