辽宁省辽阳市灯塔市2023届九年级下学期素质评价（一模）数学试卷(含解析)

2022~2023学年度下学期学生素质评价

九年级数学

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列各数是负数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

A  B.  C.  D.

5. 为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（    ）

A.

B.

C.

D.

6. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下表列出了随机抽取的名学生一周参与志愿者活动的时间情况：

根据表中数据，下列说法中不正确的是（    ）

A. 表中的值为 B. 这组数据的众数是

C. 这组数据的中位数是 D. 这组数据的平均数是

7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO中点，连接EF，若，，则菱形ABCD的边长为（    ）

A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5

8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) 

A 4 B. 8 C. 6 D. 10

9. 如图，二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（   ）

A.  B. 当时，y的值随x值的增大而增大

C. 点B的坐标为 D.

10. 如图，在中，，，，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11. 《全国防沙治沙规划（年》》正式印发实施，提出到年，规划完成沙化土地治理任务亿亩．数据“亿”用科学记数法表示为______．

12. 如图，直线，， ，则______．

13. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．

14. 若方程组的解满足，则a=________．

15. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______ （填“>”，“=”或“<”）．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，且.连接，并以点为旋转中心把逆时针转90°后得线段.若点恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于________.

17. 如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ___________．

18. 如图，正方形的边长为4， P是边上的一动点，交于G，且平分正方形的面积，则线段的最小值是______．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19. 先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．

20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；

（2）求房屋的高．

五、解答题（本题共12分）

23. 我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

六、解答题（本题共12分）

24. 如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O半径．

七、解箸题（本题共12分）

25. 在中，，，是的角平分线，于点．

（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；

（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；

（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．

八、解答题（本题共14分）

26. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．

答案

1. D

解：，是正数，故 A 选项不符合题意；

，是正数，故 B 选项不符合题意；

，是正数，故 C 选项不符合题意；

，是负数，故 D 选项符合题意．

2. C

解：从左往右看该立体图形，看到的是一个直角在左边的直角三角形，

故选C．

3. C

解：A. ，故A错误；

B. ，故B错误；

C. ，故C正确；

D. ，故D错误，

故选：C．

4. B

解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B

5. D

解：设原计划每天种树x棵，

 根据题意得： ，

 故答案为：D．

6. C

解：结合题意可知，

，

故A说法正确，不符合题意；

活动时间为的人数为人，

人数最多，故众数为，

故B说法正确，不符合题意；

将活动时间从小到大排列，第、为，

中位数为，

故C说法不正确，符合题意；

这组数据的平均数为：，

故D说法正确，不符合题意；

综上所述，

故选：C．

7. D

∵点E，F分别是AB，AO的中点，且

∴OB=2EF=4

∵四边形ABCD是菱形

∴BD⊥AC，即△ABC是直角三角形

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：

故选：D.

8. B

解：设AG与BF交点为O，

∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，

∴∠BAO=∠FAO，

∴△ABO≌△AFO（SAS），

∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，

∵AB=5，

∴，

∵AF∥BE，

∴∠FAO=∠BOE，

又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，

∴△AOF≌△EOB（AAS），

∴AO=EO，

∴AE=2AO=8，

故选B．

9. D

解：A、∵该抛物线开口向下，

∴，

故A不正确，不符合题意；

B、∵，

∴当时，，

故B不正确，不符合题意；

C、∵，该抛物线对称轴是直线，

∴，

故C不正确，不符合题意；

D、∵该抛物线对称轴是直线，

∴当时，y值随x值的增大而减小，

∵，该抛物线开口向下，

∴当时，，

∴，

故D正确，符合题意；

故选：D．

10. A

设BD与交于点E，如图，

当时，平移了个单位长度，即

∵，，，

∴，，

∴，，

∴，

∵中，是边上的中线，

∴，

∴与是等腰三角形，

∵沿射线方向平移后的三角形记为，

∴，

∵，

∴是的中位线，

∴，

∴，

即时，，故可得C、D错误，

当，AB与交于点H，如图：

∵，

∴，，

即，

根据运动的速度可知：，即，

∴，

即，

∴，

，

可见当时，，函数图像为开口向上的抛物线，则A符合题意，B为一次函数不符合题意．

故选：A．

11.

解：亿即的绝对值大于表示成的形式，

∵，，

∴1.86亿表示成，

故答案为：．

12. ##30度

解：∵，，

∴，

∵，，

∴．

故答案为：

13. a＞−4且a≠0##a≠0且 a＞−4

解：根据题意得a≠0且Δ＝（−4）2−4a×（−1）＞0，

解得a＞−4且a≠0，

故答案为：a＞−4且a≠0．

14. -1

将①+②，得：

故答案为：．

15. <

解：甲的平均成绩为，

，

乙的平均成绩为，

，

∴．

故答案为：<

16.

解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，

∵∠OAB=90°，

∴∠OAE+∠BAD=90°，

∵∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠BAD=∠AOE，

在△AOE和△BAD中，∠AOE=∠BAD，∠AOE=∠BAD，AO=BA，

∴△AOE≌△BAD（AAS），

∴AE=BD=b，OE=AD=a，

∴DE=AE-AD=b-a，OE+BD=a+b，则B（a+b，b-a），

∵A与B都在反比例图象上，得到ab=（a+b）（b-a），

整理得b2-a2=ab，

即，

∵∆=1+4=5，

∴，

∵点A（a，b）为第一象限内一点，

∴a>0，b>0，

则，

故答案为：．

17. 或或

解：连接，

，，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

当为等腰三角形时，

①当时，，

②当时，，

③当时，，

故答案为：或或．

18. ##

解：如图，连接交于，

∵平分正方形的面积，

∴，

∵，

∴，，

在和中，

∵，，

∴，

∴，即为的中点，

∵，

∴过三点作，圆心为，如图，过作于，连接，

∴的运动轨迹为上的一部分，

∴最小值为， 

∵，，

∴，，

∴，，

在中，由勾股定理得，

∴最小值为，

故答案为：．

19. 解：，

解不等式组可得，

∵，即，且为整数，

∴，代入

原式=．

20. （1）

解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），

则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，

故答案为：120，99；

（2）

解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），

则选修“园艺”的学生人数为：（名），

补全条形统计图如下：

（3）

解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，

画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．

21. （1）

解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，

根据题意得：，

解这个方程得，，，

经检验，符合本题要求．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

（2）

设该市在2022年可以改造个老旧小区，

由题意得：，

解得．

∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

22. （1）

解：∵，

∴，

∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，

∴，，

∴，

答：屋顶到横梁的距离为．

（2）

过点E作于点H，

设，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴解得：，

∴，

答：房屋的高为．

23. （1）

解：设y与x的函数关系式为，

根据题意得，，

解得：，

∴y与x的函数关系式为；

（2）

解：设每个月可获得的利润为w，

根据题意得，，

整理得，，

∵，

∴该抛物线开口向下，w有最大值，

当时，w有最大值，最大值为1800元．

∴每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．

24. （1）

证明：连接OD，如图

∵AB为⊙O的直径，

∴，

∴，

∵OA=OD，

∴，

∵∠BDC=∠BAD，

∴，

∴，

∴，

∴CD是⊙O的切线．

（2）

解：∵，

∴，

∵△ABD是直角三角形，

∴，

∵，，

∴△ACD∽△DCB，

∴，

∵，

∴，

∴，

在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则

，

∴，

解得：；

∴⊙O的半径为；

25.（1）

证明：如图1所示：

在中，，，

，，

平分，

，

，

于点，

，

，

是等边三角形；

（2）

结论：．

证明：如图2所示：延长使得，连接，

，，是的角平分线，于点，

，，

又，

是等边三角形，

，

在和中，

，

，

．

（3）

结论：．

证明：如图3所示，延长至，使得，

由（1）得，，

于点，

，

，

等边三角形，

，，

，

，

，

即，

在和中，

，

，

，

，

，

．

26. （1）

解：∵抛物线与x轴交于，两点，

∴，解得：，

∴该抛物线的解析式为；

（2）

解：当时，，

∴点，

如图1，过点P作轴交直线于E，连接，

设直线的解析式为，

∵，，

∴，解得：，

∴直线的解析式为，

设，则，

∴，

∵直线与y轴交于点D，

∴，

∴，

∵轴，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；

（3）

解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．

①当是矩形的边时，有两种情形，

a、如图2-1中，四边形是矩形时，

有（2）可知，代入中，得到，

∴直线的解析式为，可得，

由可得，

∴，

∴，

∴，

∴．

根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，

∴，即

b、如图22中，四边形是矩形时，

∵直线的解析式为，，

∴直线的解析式为，

∴，

根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，

∴，即．

②当是对角线时，设，

则，，，

∵Q直角顶点，

∴，

∴，

整理得，方程无解，此种情形不存在，

综上所述，满足条件的，；，．