2022-2023学年北师大版九年级数学上册阶段性（1.1-2.6）综合训练题(含答案)

这是一份2022-2023学年北师大版九年级数学上册阶段性（1.1-2.6）综合训练题(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣1＝3xB．2x2﹣y＝1C．ax2+bx+c＝0D．2x2+＝1
4．方程3x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．B．3C．和3D．和﹣3
5．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．6 cmB．4 cmC．2 cmD．1 cm
7．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A．78°B．75°C．60°D．45°
8．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．+1
9．如图，公园要在一块长为100米，宽为80米的矩形场地上修建三条宽度相等的道路，其中两条纵向，一条横向，横向道路与纵向道路垂直．剩余部分摆放不同的花卉，要使摆放花卉面积为7488m2，则道路的宽为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80×2x＝7488 B．（100﹣2x）（80﹣x）＝7488
C．（100﹣2x）（80﹣x）+2x2＝7488 D．100x+80×2x＝512
10．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿边BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（ ）
A．（0，4）B．（0，5）C．（0，3）D．（0，2）
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 ．
12．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人．
13．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
14．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝ ．
16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为 cm．
18．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共22分）
19．解方程：
（1）2x2﹣7x+1＝0
（2）x（x﹣3）+x﹣3＝0．
20．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
21．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
23．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
25．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3cm，
OB＝BD＝×8＝4cm，
根据勾股定理得，AB＝＝＝5cm，
所以，这个菱形的周长＝4×5＝20cm．
故选：D．
2．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
3．解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、不是整式方程，故错误．
故选：A．
4．解：3x（x﹣3）＝5（x﹣3）
移项得，3x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0
因式分解得，（x﹣3）（3x﹣5）＝0
解得，x1＝3，x2＝．
故选：C．
5．解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
6．解：∵∠B1＝∠B＝90°，∠BAB1＝90°，
∴四边形ABEB1为矩形，又AB＝AB1，
∴四边形ABEB1为菱形，
∴BE＝AB＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝2，
故选：C．
7．解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当P′Q⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴P′Q＝CP′＝．故选：B．
9．解：设道路的宽为x米，由题意有
（100﹣2x）（80﹣x）＝7488，
故选：B．
10．解：∵折痕BD是四边形DEBC的对称轴，
∴在Rt△ABE中，BE＝BC＝10，AB＝8，AE＝6，
∴0E＝4，
在Rt△DOE中，DO2+OE2＝DE2，
∵DE＝CD，
∴（8﹣CD）2+42＝CD2，
∴CD＝5，
则OD＝OC﹣CD＝8﹣5＝3，
∴D（0，3）．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2022＝3（2m2﹣3m）+2022＝3×1+2022＝2025．
故答案为：2025．
12．解：设参加会议有x人，
依题意得：x（x﹣1）＝66，
整理得：x2﹣x﹣132＝0
解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去）．
答：参加这次会议的有12人．
13．解：依题意，得：1000（1﹣x）2＝810，
故答案为：1000（1﹣x）2＝810．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD＝DH×AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝，
∴BH＝＝．
故答案为：．
15．解：设AC、BD交于点O，过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中
，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO＝FC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝，
∴CO＝AC＝，
∴CF＝CO＝，
∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，
∴DE＝＝﹣1，
另法：因为四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝67.5°，
∴BE＝BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC＝1，
∴BE＝1，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝，
∴DE＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
17．解：∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC＝（cm），BO＝OD，
∴AO＝BO＝4cm，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝AO＝4cm，
故答案为：4
18．解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故答案为：①③．
三、解答题（共66分）
19．解：（1）2x2﹣7x+1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，
，
x1＝，x2＝；
（2）x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0，x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣1．
20．（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
21．解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得
（）2+（）2＝58，
解得：x1＝12，x2＝28，
当x＝12时，较长的为40﹣12＝28cm，
当x＝28时，较长的为40﹣28＝12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（）2+（）2＝48，
变形为：m2﹣40m+416＝0，
∵Δ＝（﹣40）2﹣4×416＝﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴FE＝BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，
∴FE＝7，
∴FB＝FE﹣BE＝5，
∴CE＝BF＝5，
∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝AC＝．
23．解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简，整理，的x2﹣3x+2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4，2+3＝5，
答：每盆应植4株或者5株．
24．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
25．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．
（2）∵S△ABC＝，
∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
26．解：（1）如图2中，结论：EG＝CG，EG⊥CG．
（2）如图3中，EG＝CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE＝CM，∠EMC＝90°，
由图（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE＝EF，∠F＝45°．
∴EF＝CM．
∵∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴MG＝FD＝FG．
∵BC＝EM，BC＝CD，
∴EM＝CD．
∵EF＝CM，
∴FM＝DM，
又∵FG＝DG，
∠CMG＝∠EMC＝45°，
∴∠F＝∠GMC．
在△GFE与△GMC中，
，
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC．
∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM＝90°，
∴∠MGC+∠EGM＝90°，
即∠EGC＝90°，
∴EG⊥CG．