2022年九年级中考数学专题+二次函数面积最值专题训练+

这是一份2022年九年级中考数学专题+二次函数面积最值专题训练+，共31页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

二次函数面积最值 专题训练
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

2．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且OA＝OC，连接AC．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，点两点，与y轴交于点C

求抛物线的解析式：
若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．
求的面积S关于t的函数关系式．
求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
6．如图，抛物线经过点和点.

（1）求此抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；
（2）动点在第一象限内的抛物线上.
①如图1，连接，，当的面积和的面积相等时，求出点的横坐标；
②如图2，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标.
7．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0），点C(0，－2)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、C、B为顶点的四边形为梯形.若存在，请写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．

（2）求四边形的面积．

（3）过E点的直线l将四边形的面积分成两部分，求直线l的解析式．

（4）直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在求面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（5）直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得四边形的面积最大？若存在，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（6）抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（7）抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（8）抛物线上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（9）抛物线上是否存在点P，使得BP平分的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（10）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴于点M，使得AC平分的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（11）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴于点M，交直线AC于点N，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（12）抛物线上有一点P，其横坐标为t，抛物线上另有一点Q，其横坐标为，线段PQ上有一点M，作轴交抛物线于点N，求面积的最大值．


参考答案：
1．（1）；（2）最大值8，点P的坐标为（-2，-5）
【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，利用待定系数法将A、B两点坐标代入解析式求解即可；
（2）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，
解得：，
∴；
（2）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵点P在第三象限的抛物线上，
∴点P的坐标为（，）满足条件．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质，注意灵活利用数形结合的思想．
2．(1) y＝﹣x2﹣2x+3；(2) 点Q（﹣1，）；(3) S△PAB有最大值, 点P（﹣，）
【分析】（1）抛物线经过两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，即可求解；
（2）设点是点关于对称轴的对称点，则，连接交对称轴于点，则点为所求，即可求解；
（3）过点作轴的平行线交于点，由，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线经过两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，
则抛物线的表达式为：，即，解得：，
个抛物线的表达式为：；
（2）设点是点关于对称轴的对称点，则，
连接交对称轴于点，则点为所求，

则点的表达式为：，
当时，，故点；
（3）过点作轴的平行线交于点，
直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，有最大值，此时，
点，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（2）用点的对称性求解线段的最值，其中（3）在坐标系中利用三角形面积等于水平宽×铅直高的一半表示是常用方法．
3．（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
4．(1)
(2)当时，△ACP面积的最大值为，此时点；
(3)点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）

【分析】（1）利用抛物线的解析式令时，求得点的坐标，再利用OA＝OC，求得点的坐标，代入抛物线的解析式即可求解；
（2）过点P作轴交AC于点H，利用即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式，即可求解．
（1）
解：∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴（0，-3）
故OC＝3＝OA，
∴A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为；
（2）
设直线AC的表达式为，
∵直线AC过点（0，-3），A（﹣3，0），
∴，解得
∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作轴交AC于点H，

设点P（x，），则点H（x，﹣x﹣3），
∴，
则


，
∵＜0，故△ACP面积有最大值，当时，△ACP面积的最大值为，
∴当时，
此时点P（，）；
（3）
对于，令y＝0，
即，
解得x＝﹣3或1，
故点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，
设点F（m，n），即n＝m2+2m﹣3①，点E（﹣1，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位得到点B，同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F），
即m±4＝﹣1②，
联立①②并解得或，
故点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）；
②当AB是对角线时，A（﹣3，0），B（1，0），
由中点公式得：③，
联立①③并解得，
故点F的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上，点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、中点坐标公式的运用、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
5．（1）；（2）①；②
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）①过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，先求出直线AC解析式为y=x+3，设P（t，-t2-2t+3），Q（t，t+3），据此得PQ=-t2-3t，根据S=S△PQC+S△PQA=PQ•OA可得答案；
②根据二次函数的性质和①中所求代数式求解可得.
【详解】解：抛物线与x轴交于，点两点，
，解得：，
抛物线的解析式为．
设直线AC的解析式为，
，解得：，
直线AC的解析式为，
过点P作轴交直线AC于点Q，

设，，
，

．
，
时，的面积最大，最大值是，
此时P点坐标为
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、二次函数的性质．
6．（1）二次函数表达式为，一次函数表达式为；（2）①点的横坐标为2；②坐标为（， ）.
【分析】（1）设AB直线为，再将A、B点的坐标代入，采用待定系数法求一次函数表达式，同理将A、B点的坐标代入二次函数即可求出抛物线表达式;
（2）①和底为AC，当面积相等时，高也相等，可得P点纵坐标与B点纵坐标相等，再将P点纵坐标代入抛物线即可.
②过点作于点，交直线于点，设点横坐标为，则可以分别表示出P、M的纵坐标，从而可以表示出PM的长，根据可得出的表达式，利用二次函数的性质即可求得最大值，及此时P的坐标.
【详解】解：（1）∵抛物线经过点和点，代入解析式得，

∴，
∴抛物线的函数表达式是
设直线: ，将代入直线得，
∴
∴直线的函数表达式是；
（2）①当的面积和的面积相等时，点的纵坐标是3，有，解得，，∴点的横坐标为2；
②如图，过点作于点，交直线于点，设点横坐标为，则点的坐标为，点的坐标是

又∵点，在第一象限，
∴
∴
∴当时，有最大值，最大值为
此时点坐标为.
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数关系式，以及抛物线中的三角形面积问题，设横坐标表示出线段长度是解决问题的关键.
7．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标（，）．
【分析】（1）因为对称轴是直线x=-1，所以得到点A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴，
当时，，，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
8．（1）y=﹣+2x﹣；（2）；（3）存在最大值，此时P点坐标（，）．
【分析】（1）将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，可求得待定系数a和b，即可确定抛物线解析式；（2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，根据抛物线解析式求出C点坐标，根据勾股定理求出BC的长，再求出AB的长，利用相似三角形的性质即两个三角形相似，对应线段成比例，可求得AD的长，即为⊙A的半径；（3）先由B,C点坐标求出直线BC解析式，然后过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，因为P在抛物线上，P,Q点横坐标相同，所以可设出P、Q点的坐标，并把PQ的长度表示出来，进而表示出△PQC和△PQB的面积，两者相加就是△PBC的面积，再利用二次函数的性质讨论其最大值，容易求得P点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣+2x﹣；
（2）过A作AD⊥BC于点D，
如图1：因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴，即，
解得AD=，
即⊙A的半径为；

（3）∵C（0，﹣），
∴设直线BC解析式为y=kx﹣，
把B点坐标（5,0）代入可求得k=，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，
如图2，因为P在抛物线上，Q在直线BC上，P,Q两点横坐标相同，
所以设P（x，﹣+2x﹣），
则Q（x，x﹣），
∴PQ=（﹣+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣+x=﹣+，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）
=PQ•OB=PQ
=×[﹣+]
=，
∵<0，∴当x=时，S△PBC有最大值，
把x=代入﹣+2x﹣，
求出P点纵坐标为，
∴△PBC的面积存在最大值，此时P点坐标（，）．

【点睛】本题考查1．二次函数的综合应用；2．切线的性质；3．相似三角形的判定和性质；4．用待定系数法确定解析式，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键．
9．(1) (2) 外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（，0）．(3) P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18) (4) 点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.
【详解】试题分析：（1）把点 （－1，0），点C(0，－2)代入解析式，即可求出a、c的值，从而二次函数的解析式可求；
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）根据梯形的定义即可求出点P的坐标；
（4）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
（1）将A（－1，0）、点C(0，－2)．代入
求得：
（2）∵A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（，0）．
（3）共三个P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18)
（4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，
当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x2-x-2，即：x2-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直线l：y=x-4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．
∴点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.
考点：二次函数综合题．
10．（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）9；（3）或；（4）存在，点P的坐标为；（5）存在，△APC的面积最大值为，此时点P的坐标为；（6）存在，点P的坐标为或或；（7）存在，点P的坐标为或或；（8）存在，点P的坐标为或或或；（9）；（10）存在，；（11）存在，；（12）8
【详解】答案：（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：由例题可知该二次函数的解析式为，，
连接，如图所示，
∴的底为OC，高为点D的纵坐标的绝对值，
∵，
∴
（3）解：由（14）可得，
①当过点E的直线l靠近点B时，交直线于点F，把四边形的面积分成两部分，如图所示：

∵点E在抛物线的对称轴上，
∴BE＝2，
设点F的纵坐标为，
∴，即，
∴，（2不符合题意，舍去），
设的解析式为：，则把点代入得：
，解得：，
∴的解析式为：，
∵点F在直线BC上，
∴，解得：，
∴，
设直线l的解析式为，把点E、F代入得：
，解得：，
∴直线l的解析式为；
②当过点E的直线l靠近点A时，交直线于点G，把四边形的面积分成两部分，如图所示：

由①可知，，
∴，
设直线的解析式为：，则把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵点G在直线AD上，
∴，解得：，
∴，
设直线l的解析式为，把点E、G代入得：
，解得：，
∴直线l的解析式为；
综上所述：当直线l把四边形的面积分成两部分时，则直线l的解析式为或
（4）解：设直线AC的解析式为，则把点代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
过点P作PH∥y轴，交AC于点H，如图所示：

设点，则有，
∴，
根据铅垂法可知△APC的水平宽为点A与点C的水平距离，即为3，
∴，
∵，
∴当时，△APC的面积为最大，最大值为，
此时点P的坐标为
（5）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当四边形取最大时，则△APC取最大，
∴由（16）可得△APC的面积最大值为，此时点P的坐标为
（6）解：设点，点，
由可知：△ABP与△ABC同底，为AB，则有点P与点C的纵坐标的绝对值相等，
∴，
∴或3，
①当时，解得：或（舍去），
此时点P的坐标为；
②当时，解得：，
此时点P的坐标为或，
综上所述：当时，点P的坐标为或或
（7）解：过点D作DM∥y轴，交AC于点M，过点P作PN∥y轴，交AC延长线于点N，如图所示：

∵，
∴点M的横坐标为－1，代入直线AC的解析式得：，
∴，
根据铅垂法可知，
设，则有，由铅垂法可把△ACP的面积看作以AC为水平宽，PN为铅垂高，
∴，
∴，即，
∴当时，解得：，
此时点P的坐标为或；
当时，解得：（不符合题意，舍去），
此时点P的坐标为；
综上所述：当时，点P的坐标为或或
（8）解：∵，
∴，
∴与的底相等，
∴当时，则与的高也相等，
由题意知的高是点P的纵坐标的绝对值，而的高是点P的横坐标的绝对值，
设，
∴，
∴当时，解得：，
此时点P的坐标为或；
当时，解得：，
此时点P的坐标为或；
综上所述：当时，点点P的坐标为或或或
（9）解：设直线BP与线段AC交于点H，如图所示：

∵BP平分的面积，
∴线段BH是的中线，即点H是线段AC的中点，
∵，
∴根据中点坐标公式可得，
设直线BH的解析式为，把点代入得：
，解得：，
∴直线BH的解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴
（10）解：设直线AC与线段PM交于点Q，如图所示：

设，
∵轴，
∴，
∵AC平分的面积，
∴线段AQ是的中线，即点Q是的中点，
∴根据中点坐标公式可得，
∵点Q在直线AC上，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴
（11）解：由，可知，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
∵点N在直线AC上，
∴，化简得，
解得：（不符合题意，舍去），
∴
（12）解：由抛物线上有一点P，其横坐标为t，抛物线上另有一点Q，其横坐标为，可知：
，
设直线的解析式为，把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵轴，
∴，
∴，
由铅垂法可知的水平距离即为水平宽，即为，为铅垂高，
∴
＝
＝，
∵－2＜0，开口向下，
∴当时，的面积有最大值，最大值为8