备战2022 中考数学 人教版 微专题四 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值

微专题四　二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值

类型一：二次函数与线段和差最值问题

　线段和、差最值问题的知识背景

1．线段公理——两点之间，线段最短．

2．对称的性质——关于一条直线对称的两个图形全等、对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线．

3．三角形两边之和大于第三边．

4．三角形两边之差小于第三边．

5．垂直线段最短．

6．过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦．

线段和、差最值问题的两种形式：

1．线段之和最小：如将军饮马、过河修桥、胡不归问题等．

2．线段之差最大．

二次函数背景下的线段和差最值问题，不仅仅考查线段和差最值问题的基本模型，还常常结合一次函数和二次函数的图象及性质一起考查，同时兼顾几何图形的性质，甚至圆的性质．

1．(2021·天津中考)已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，顶点为D.

(1)当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；

(2)当a＞0时，点E(0，1＋a)，若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；

(3)当a＜－1时，点F(0，1－a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m，0)是x轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线l上的动点．当a为何值时，FM＋DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．

【解析】抛物线y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，则c＝－1，

(1)当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，

故抛物线的顶点坐标为(1，－2)；

(2)∵y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－a－1，

故点D(1，－a－1)，

由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，

即(1－0)2＋(a＋1＋a＋1)2＝8[(1－0)2＋(－a－1＋1)2]，

解得a＝或，

故抛物线的表达式为y＝x2－x－1或y＝x2－3x－1；

(3)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′(－2，－a)，

作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为(0，a－1)，

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM＋ND最小，理由：

∵FM＋ND＝F′M＋D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，

则D′F′＝＝2，

解得a＝(舍去)或－，

则点D′，F′的坐标分别为，，

由点D′，F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝－3x－，当y＝0时，y＝－3x－＝0，解得x＝－＝m，

则m＋3＝，

即点M的坐标为、点N的坐标为.

2．(2020·连云港中考)在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2－x－2的顶点为D，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.

(1)若抛物线L2经过点(2，－12)，求L2对应的函数表达式．

(2)当BP－CP的值最大时，求点P的坐标．

(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．

【解析】(1)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x＝－1或4，∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－2)，

由题意设抛物线L2的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，

把(2，－12)代入y＝a(x＋1)(x－4)，

－12＝－6a，解得a＝2，

∴抛物线的解析式为y＝2(x＋1)(x－4)＝2x2－6x－8.

(2)∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A(－1，0)，B(4，0)，∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，

∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP－PC的值最大，

此时点P为直线AC与直线x＝的交点，

∵直线AC的解析式为y＝－2x－2，∴P

(3)由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，

∴AB2＝BC2＋AC2，

∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，

∵y＝x2－x－2＝－，

∴顶点D(，－)，

由题意，∠PDQ不可能是直角，

第一种情形：当∠DPQ＝90°时，

①如图2－1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，

设Q(x，x2－x－2)，则P，

∴DP＝x2－x－2－＝x2－x＋，QP＝x－，∵PD＝2QP，

∴2x－3＝x2－x＋，解得x＝或(舍弃)，

∴P.

②如图2－2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，

x－＝x2－3x＋，解得x＝或(舍弃)，

∴P.

第二种情形：当∠DQP＝90°时．

①如图2－3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，

过点Q作QM⊥PD于M.则△QDM∽△PDQ，

∴＝＝，由图2－3可知，M，

Q，∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝4，

由＝，可得PD＝10，∵D

∴P.

②如图2－4中，当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M.

同法可得M，Q，

∴DM＝，QM＝1，QD＝，

由＝，可得PD＝，∴P.

综上所述：P点坐标为或或或.

类型二：二次函数与几何图形周长的最值问题

　解决二次函数与几何图形周长的最值问题的基本方法

1．审清题意，弄清楚是求最大值还是最小值，判断出哪些点是定点，哪些点是动点，选取正确的解题方向．

2．若求最大值，利用线段之间的转化，将三角形周长转化为某条线段的最值．

3．若求最小值，常利用轴对称性质，将几何图形周长转化为线段之和最小问题．

　(2021·通辽中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，B(－1，0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；

(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，B(－1，0)两点，

∴，解得：，

∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，

∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC，BC是定值，

∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．

如图1，点A，B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，

∴△PBC周长的最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC.

∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，∴AC＝3，BC＝.∴△PBC周长的最小值是：3＋.

抛物线对称轴为直线x＝－＝1，

设直线AC的解析式为y＝kx＋c，将A(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝－x＋3，∴P(1，2)；

(3)存在．设P(1，t)，①以AC为边时，如图2，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝CA，

∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3±，

∴P1(1，3－)，P2(1，3＋)，

∴Q1(4，－)，Q2(4，)，

②以AC为对角线时，如图3，∵四边形APCQ是菱形，∴CP＝PA，∴12＋(3－t)2＝(1－3)2＋t2，

解得：t＝1，∴P3(1，1)，Q3(2，2)，

综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1(4，－)，

Q2(4，)，Q3(2，2).

类型三：二次函数与几何图形面积的最值问题

解决二次函数与几何图形面积的最值问题的两步法

1．表示出要求几何图形的面积(常用割补法).

2．把求出的面积配方成顶点式，确定其最值．

特别提醒：三角形面积计算的常用策略

1．如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

2．三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，常有两种方法：

(1)用“割”或“补”的方法．

(2)铅锤定理，面积＝铅锤高度×水平宽度÷2.

　(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13，10).

(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；

(3)设过F作与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

【解析】(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：

由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，

∵AB∥CD，∴∠EBO＝∠DCH，

∴△EBO∽△DCH，∴＝，

∵B(－2，0)、C(8，0)、D(13，10)，

∴BO＝2，CH＝13－8＝5，DH＝10，

∴＝，解得：EO＝4，∴点E坐标为(0，4)，

设过B，E，C三点的抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x－8)，将E点代入得：

4＝a×2×(－8)，解得：a＝－，

∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝－(x＋2)(x－8)＝－x2＋x＋4；

(2)抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：

由(1)可知该抛物线对称轴为直线x＝－＝－＝3，

当x＝3时，y＝，

∴该抛物线的顶点坐标为，

又∵F是AD的中点，∴F(8，10)，

设直线EF的解析式为：y＝kx＋b，将E(0，4)，F(8，10)代入得，，解得：，

∴直线EF解析式为：y＝x＋4，

把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，

故抛物线的顶点在直线EF上；

(3)由(1)(2)可知：A(3，10)，

设直线AB的解析式为：y＝k′x＋b′，将B(－2，0)，A(3，10)代入得：，

解得：，∴直线AB的解析式为：y＝2x＋4，

∵FQ∥AB，

故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x＋b1，将F(8，10)代入得：b1＝－6，∴直线FQ的解析式为：y＝2x－6，

当x＝0时，y＝－6，∴Q点坐标为(0，－6)，

设M(0，m)，直线BM的解析式为：y＝k2x＋b2，将M，B点代入得：，解得：，

∴直线BM的解析式为：y＝x＋m，

∵点P为直线BM与抛物线的交点，

∴联立方程组有：，

化简得：(x＋2)(x－8＋2m)＝0，解得：x1＝－2(舍去)，x2＝8－2m，∴点P的横坐标为：8－2m，

则此时，S△PBQ＝×MQ×(|xP|＋|xB|)＝×(m＋6)×(8－2m＋2)＝－＋，

∵a＝－1＜0，∴当m＝－时，S取得最大值，

∴点P横坐标为8－2×＝9，

将x＝9代入抛物线解析式中y＝－，

综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为.