初中数学华师大版八年级上册1 全等三角形练习

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

类型一　利用“三线合一”作辅助线　　　　　　　　　　　　　　　

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝        .【方法16】

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.【方法16】

(1)求证：DE＝DF；

(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)?

3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形

4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为【方法16】（    ）

A．0.4cm2

B．0.5cm2

C．0.6cm2

D．0.7cm2

类型二　利用等腰直角三角形构造全等

5．★如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P.求证：BP＝PE.

类型三　等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等

6．★如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.

参考答案与解析

1．40°

2．(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD(AAS)．∴DE＝DF；

(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段AE，AF，BE，CF，DF.

3．证明：作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.

4．B

5．证明：作EM⊥AP于M.∵∠ACB＝90°，∴∠M＝∠ACD.∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∠EAM＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠AEM.在△ADC和△EAM中，∴△ADC≌△EAM(AAS)．∴AC＝EM.∵AC＝BC，∴BC＝EM.∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠M.在△BCP和△EMP中，∴△BCP≌△EMP(AAS)．∴BP＝PE.

6．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)．∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.