初中数学冀教版九下解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法(含答案)

解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法

类型一　利用切线的性质时，连接圆心和切点

1．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠C的大小为(　　)

A．40°     B．50°     C．55°     D．60°

第1题图               第2题图              第3题图 

2．如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为【方法3】(　　)

A．4cm     B．3cm     C．2cm     D．1.5cm

3．(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为________．

 第4题图             第5题图             第6题图

4．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则的长为________(结果保留π)．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．

6．★如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是________．

7．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D.

(1)求证：AE平分∠BAC；

(2)若AD＝2，CE＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．

8．如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED，BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.

(1)若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；

(2)求证：DE＝DM.

类型二　证明切线时，有切点型：连半径、证垂直

一、利用角度转换证垂直

9．(大连中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.求证：DE与⊙O相切．

二、利用勾股定理的逆定理证垂直

10．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，ME＝1，AM＝2，AE＝.求证：BC是⊙O的切线．

三、利用全等证垂直

11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线．

类型三　证明切线时，无切点型：作垂直，证半径

12．(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法4②】

参考答案与解析

1．C

2．B　解析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F.∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，∴△ABC的高为2cm，∴OC＝cm.∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，∴∠OCB＝90°.又∵∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°.在Rt△OFC中，FC＝OC·cos∠OCF＝cm，∴CE＝2FC＝3cm.故选B.

3．115°　4.2π

5.　解析：连接OE，OF，ON，OG，OD，OM.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，OE＝OF＝OG，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3.∵DM是⊙O的切线，∴∠OED＝∠OND＝90°.又∵OE＝ON，OD＝OD，∴△OED≌△OND，∴DN＝DE＝3.同理得MN＝MG，∴CM＝BC－BG－MG＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，∴MN＝，∴DM＝3＋＝.

6.　解析：连接OD，BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC.又∵AB＝BC，∴AD＝CD.又∵AO＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC.∵CD＝5，CE＝4，∴DE＝＝3.∵S△BCD＝BD·CD＝BC·DE，∴5BD＝3BC，∴BD＝BC.∵BD2＋CD2＝BC2，∴＋52＝BC2，解得BC＝.∵AB＝BC，∴AB＝，∴⊙O的半径是÷2＝.

7．(1)证明：连接OE.∴OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE.∵PQ切⊙O于点E，∴OE⊥PQ.∵AC⊥PQ，∴OE∥AC，∴∠OEA＝∠EAC，∴∠OAE＝∠EAC，∴AE平分∠BAC.

(2)解：连接BE.∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.由(1)可知AE平分∠BAC.∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠EAC＝30°.∵AC⊥PQ，∴∠ACE＝90°，∴AE＝2CE.∵CE＝，∴AE＝2，∴AB＝＝4，∴⊙O的半径为2.

8．(1)解：连接OD.∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.∵OA＝CD＝2，OA＝OD，∴OD＝CD＝2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC＝∠C＝45°，∴S阴影＝S△OCD－S扇形OBD＝×2×2－＝4－π.

(2)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADM＝90°.又∵＝，∴ED＝BD，∠MAD＝∠BAD.在△AMD和△ABD中，∴△AMD≌△ABD，∴DM＝DB，∴DE＝DM.

9．证明：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°.∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A.∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．

10．证明：∵ME＝1，AM＝2，AE＝，∴ME2＋AE2＝AM2，∴△AME是直角三角形，∠AEM＝90°.又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°，∴OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．

11．证明：连接OC，如图．∵AD为⊙O的切线，∴AD⊥AB，∴∠BAD＝90°.∵OD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∵OB＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.在△OCD和△OAD中，∴△OCD≌△OAD(SAS)，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线．

12．证明：过点O作OM⊥AB于M.∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.又∵OA平分∠CAB，OM⊥AB，∴OM＝OC，∴AB是⊙O的切线．