湖北省武汉实验外国语学校2021-2022学年上学期八年级期中数学练习试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉实验外国语学校2021-2022学年上学期八年级期中数学练习试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉实验外国语学校八年级（上）期中数学练习试卷（4）
一、选择题
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19
3．若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．80° B．40° C．62° D．38°
5．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°
6．如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（　　）

A．BC＝BD B．∠C＝∠D C．AC＝AD D．∠ABC＝∠ABD
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为（　　）

A．18 B．21 C．26 D．28
8．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝7.5，CF＝6，则EF的长度为（　　）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
9．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）

A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
10．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
二、填空题
11．如图，工人师傅用角尺平分任意角．做法：在OA、OB上取OM＝ON，同时保证CM与CN的刻度一致（即CM＝CN），则OC平分∠AOB，这样做的依据是 　 　．（填全等三角形的一种判定方法）

12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标是　 　．
13．用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cm，则所围成等腰三角形的底边长为　 　cm．
14．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　 　°．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为 　 　．

16．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为　 　．

三、解答题
17．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．

18．如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．

19．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　 　；
（2）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　 　；
（3）直接写出点B关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为﹣1）对称点B′的坐标为　 　；
（4）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置．（保留画图痕迹）

21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，延长AB至E，使AE＝AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠E＝40°，求∠AGB的度数．

22．如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，求HFAC．

23．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．
（1）如图1，直线MN过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则线段AD、BE、DE之间有何数量关系：　 　（不用证明）；
（2）如图2，直线MN过A点，CD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则线段AE、BE、CD之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）如图3，直线MN过B点，AD⊥MN于D，CE⊥MN于E，则线段AD、CE、BD之间的数量关系是 　 　（不用证明）．

24．如图，已知AC＝BC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠C．

（1）如图1，若∠C＝90°，∠DBE＝135°，求证：①∠EDB＝∠CAD，②DA＝DE；
（2）如图2，若∠C＝40°，DA＝DE，求∠DBE的度数；
（3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA＝DE成立．
四、解答题
25．长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动．
（1）如图1，若AB⊥x轴且点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），在边AB上有动点P，过点P作直线PQ交BC边于点Q，并使得BP＝2BQ．
①当S△BPQ=18S长方形ABCD时，求P点的坐标．
②在直线CD上是否存在一点M，使得△MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出M点坐标：若不存在，请说明理由．
（2）如图2，若AB⊥x轴且A、B关于x轴对称，连接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求证：BO⊥DO．


2021-2022学年湖北省武汉实验外国语学校八年级（上）期中数学练习试卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19
【解答】解：由3，4，8，可得3+4＜8，故不能组成三角形；
由5，6，11，可得6+5＝11，故不能组成三角形；
由6，6，6，可得6+6＞6，故能组成三角形；
由9，9，19，可得9+9＜19，故不能组成三角形；
故选：C．
3．若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，
∴n﹣3＝4，
解得n＝7．
即这个多边形是七边形，
故选：C．
4．如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．80° B．40° C．62° D．38°
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣80°﹣62°＝38°，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
6．如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（　　）

A．BC＝BD B．∠C＝∠D C．AC＝AD D．∠ABC＝∠ABD
【解答】解：A．AB＝AB，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
B．∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
C．AB＝AB，∠CAB＝∠DAB，AC＝AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，∠CAB＝∠DAB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为（　　）

A．18 B．21 C．26 D．28
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，BC＝2BD＝10，即BE+AE＝CE+AE＝AB，
∵△ABC的周长为31，
∴△ACE的周长＝AB+AC＝31﹣10＝21．
故选：B．
8．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝7.5，CF＝6，则EF的长度为（　　）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG，

∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD，且DG＝AD，∠ADC＝∠BDG
∴△ADC≌△GDB（SAS）
∴AC＝BG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G
∵EF＝AF，
∴∠DAC＝∠AEF
∴∠G＝∠AEF＝∠BEG
∴BE＝BG＝7.5
∴6+AF＝BG＝7.5
∴AF＝1.5＝EF
故选：C．
9．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）

A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
【解答】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×1＝0.5（cm2），
故选：B．

10．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故选：B．


二、填空题
11．如图，工人师傅用角尺平分任意角．做法：在OA、OB上取OM＝ON，同时保证CM与CN的刻度一致（即CM＝CN），则OC平分∠AOB，这样做的依据是 　SSS　．（填全等三角形的一种判定方法）

【解答】解：在△OMC和△ONC中，
OM=ONOC=OCMC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS）．
∴∠MOC＝∠NOC．
∴OC平分∠AOB．
故答案为：SSS．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标是　（2，1）　．
【解答】解：点P（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
13．用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cm，则所围成等腰三角形的底边长为　2或8　cm．
【解答】解：①当8cm为底边时，
设腰长为xcm，
则2x+8＝18，
解得：x＝5，
5，5，8能构成三角形，此时底边为8cm；
②当8cm为腰长时，
设底边长为ycm，
则y+8×2＝18，
解得：y＝2，
8，8，2能构成三角形，此时底边为2cm
故答案为2或8．
14．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　72　°．

【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案为72
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为 　3　．

【解答】解∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，
故答案是：3．
16．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为　10　．

【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，
∠ADE=∠ADCAD=AD∠EAD=∠CAD，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC=12S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积=12×12×10×4＝10．
故答案为10．

三、解答题
17．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．

【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
AB=DC∠B=∠CBF=CE
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
18．如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．

【解答】证明：如图，

连接CD，
在Rt△ECD和Rt△FCD中，
CF=CECD=CD，
∴Rt△ECD≌Rt△FCD，
∴∠CDF＝∠CDE，
∵CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE．
19．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．

【解答】证明：连接AF，（1分）
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=180°-120°2=30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF＝AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC＝∠C＝30°（等边对等角），（2分）
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝120°﹣30°＝90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B＝30°，
∴BF＝2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）
∴BF＝2CF（等量代换）．

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　（2，﹣3）　；
（2）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　（﹣2，1）　；
（3）直接写出点B关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为﹣1）对称点B′的坐标为　（1，﹣3）　；
（4）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置．（保留画图痕迹）

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，﹣3），

故答案为：（2，﹣3）．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．

（3）由题意知直线n的解析式为y＝﹣1，
则点B关于直线n的对称点B′的坐标为（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．

（4）如图所示，点P即为所求．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，延长AB至E，使AE＝AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠E＝40°，求∠AGB的度数．

【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，EF⊥AC，
∴∠ABC＝∠AFE＝90°
在△AEF与△ACB中
∠EAF=∠CAB∠ABC=∠AFE=90°AE=AC，
∴△AEF≌△ACB（AAS）
∴AF＝AB，
∴BE＝CF；
（2）∵△ABC≌△AFE，
∴AB＝AF，
在Rt△AGF和Rt△AGB中，
AG=AGAF=AB
∴Rt△AFG≌Rt△ABG（HL）
在Rt△BEG中，∠BGE＝90°﹣∠E＝50°，
∴∠BGF＝130°，
∵Rt△AGF≌Rt△AGB，
∴∠AGB＝∠AGF=12∠BGF＝65°．
22．如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，求HFAC．

【解答】证明：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∠FDG＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD，
∵AD＝CE，
∴DG＝CE，
在△DFG与△EFC中
∠DFG=∠EFC∠FDG=∠EDG=CE
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DF＝EF；
（2）∵△ADG是等边三角形，AD＝DG DH⊥AC，
∴AH＝HG=12AG，
又∵△DFG≌△EFC，
∴GF＝FC=12GC
∴HF＝HG+GF=12AG+12GC=12AC，
∴HFAC=12
23．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．
（1）如图1，直线MN过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则线段AD、BE、DE之间有何数量关系：　DE＝AD+BE　（不用证明）；
（2）如图2，直线MN过A点，CD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则线段AE、BE、CD之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）如图3，直线MN过B点，AD⊥MN于D，CE⊥MN于E，则线段AD、CE、BD之间的数量关系是 　BD＝2CE﹣AD　（不用证明）．

【解答】解：（1）结论：BD＝2CE﹣AD．
理由：如图1中，∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）结论：AE＝BE+2CD．
理由：过点C作CF⊥BE交BE延长线于F，

∴∠CFB＝90°，
∵CD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠CDA＝∠BEA＝90°，
∴∠CDA＝∠CFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠AHC＝90°，
∵∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BHE＝90°，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠CAD＝∠CBF，
在△ACD与△BCF中，
∠CDA=∠CFB∠CAD=∠CBFAC=BC，
∴△ACD≌△BCF（AAS），
∴AD＝BF，CD＝CF，
∵∠CDE＝∠CFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，
∵AE＝AD+DE，AD＝BF，BF＝BE+EF，
∴AE＝BF+DE＝BE+EF+DE＝BE+2CD；

（3）结论：BD＝2CE﹣AD．
理由：过点A作AT⊥CE于点T．

∵AD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADE＝∠DET＝∠ATE＝90°，
∴四边形ADET是矩形，
∴AT＝DE，AD＝ET，
同法可证，△ATC≌△CEB（AAS），
∴AT＝CE，CT＝BE，
∴BD＝DE+BE＝AT+BE＝EC+CT＝EC＝EC+EC﹣AD＝2EC﹣AD．
24．如图，已知AC＝BC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠C．

（1）如图1，若∠C＝90°，∠DBE＝135°，求证：①∠EDB＝∠CAD，②DA＝DE；
（2）如图2，若∠C＝40°，DA＝DE，求∠DBE的度数；
（3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA＝DE成立．
【解答】（1）证明：①∵∠ADE＝∠C，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC，
∠EDB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC，
∴∠CAD＝∠EDB；
②在AC上截取CF＝CD，连接FD，（或在AC上截取AF＝BD，连接FD）

∵∠C＝90°，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
∴∠AFD＝135°＝∠DBE，
∵AC＝BC，
∴AC﹣CF＝BC﹣CD，即：AF＝BD，
由①知：∠CAD＝∠BDE，
∴△AFD≌△DBE（ASA），
∴DA＝DE；
（2）方法一：如图2，在AC上截取AG＝DB，连接GD（在AC上截取CG＝CD，连接GD），

∵AC＝BC，
∴AC﹣AG＝BC﹣BD即：CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG=180°-∠C2=70°，
∵DA＝DE，∠CAD＝∠EDB（已证），AG＝DB，
∴△AGD≌△DBE（SAS），
∴∠AGD＝∠DBE＝110°；
方法二：如图3，延长DB到点H使DH＝AC，连接EH，

∵∠CAD＝∠BDE，AD＝DE，
∴△ACD≌△DHE（SAS），
∴∠C＝∠H＝40°，CD＝EH，
∵AC＝BC＝DH，
∴CD＝BH＝EH，
∴∠HBE＝∠HEB＝70°，
∴∠DBE＝110°；
（3）当∠DBE＝90°+12∠C时，总有DA＝DE成立；
理由是：如图3，在AC上截取CF＝CD，连接DF，则∠CDF＝∠CFD，

设∠CDF＝x，
△CDF中，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠C+x+x＝180°，
x=180°-∠C2=90°-12∠C，
同理得△AFD≌△DBE（SAS），
∴∠AFD＝∠DBE＝∠C+∠CDF＝∠C+x＝∠C+90°-12∠C，
∴∠DBE＝90°+12∠C．
四、解答题
25．长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动．
（1）如图1，若AB⊥x轴且点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），在边AB上有动点P，过点P作直线PQ交BC边于点Q，并使得BP＝2BQ．
①当S△BPQ=18S长方形ABCD时，求P点的坐标．
②在直线CD上是否存在一点M，使得△MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出M点坐标：若不存在，请说明理由．
（2）如图2，若AB⊥x轴且A、B关于x轴对称，连接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求证：BO⊥DO．

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，且AB⊥x轴，点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），
∴点B的坐标（﹣4，﹣2），点D（﹣1，4），
∴AD＝3＝BC，AB＝CD＝6，
∵S△BPQ=18S长方形ABCD，
∴12×BP×BQ=18×AB×BC=94，且BP＝2BQ，
∴BQ=32，BP＝3，
∴点P（﹣4，1）
②如图，若∠MPQ＝90°，过点M作MN⊥AB于点N，

∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°
∴四边形BCMN是矩形
∴MN＝BC＝3，BN＝CM，
∵MN⊥AB，∠MPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BQP＝90°，∠NPM+∠BPQ＝90°，
∴∠BQP＝∠MPN，且PQ＝PM，∠ABC＝∠PNM＝90°，
∴△PMN≌△QPB（AAS）
∴PB＝MN＝3，BQ＝PN，
∵PB＝2BQ
∴BQ=32=PN
∴MC＝BN＝BP+PN=92
∴点M坐标（﹣1，52）
如图，若∠PQM＝90°，

∵∠PQM＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠PQB+∠MQC＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝∠MQC，且PQ＝QM，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴△BPQ≌△CQM（AAS）
∴BQ＝CM，QC＝BP，
∵BQ+QC＝BQ+BP＝BC＝3，且BP＝2BQ，
∴BQ＝MC＝1，
∴点M坐标（﹣1，﹣1）
综上所述：点M坐标为（﹣1，52）或（﹣1，﹣1）
（2）设BD与x轴的交点为E，连接AE，

∵A、B关于x轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠ADB＝∠EAD，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝BE，
∵AB⊥x轴，AB⊥BC，
∴BC∥x轴，
∴∠EOB＝∠OBC，
∵BO平分∠CBD，
∴∠DBO＝∠CBO，
∴∠DBO＝∠EOB，
∴BE＝EO，
∴BE＝EO＝DE，
∴∠EDO＝∠EOD，
∵∠DBO+∠EOB+∠EDO+∠EOD＝180°，
∴∠BOE+∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝90°，
即BO⊥DO．