2022-2023学年人教版数学八年级上册考点大串讲 专题02 全等三角形 【知识梳理+解题方法+专题过关】

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专题02 全等三角形突破核心考点
【聚焦考点+题型导航】
考点一 全等图形的识别 考点二 全等三角形的性质
考点三 添加一个条件使三角形全等 考点四 全等三角形的判定
考点五 全等三角形判定的一线三等角模型 考点六 全等三角形判定的三垂直模型
考点七 全等三角形判定的倍长中线模型 考点八 全等三角形的动态问题
考点九 角的平分线的性质

【知识梳理+解题方法】
一、全等图形
概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
全等图形特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.
二、全等三角形
概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’

对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’
对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
对应元素的规律:
(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；
三、 全等三角形的判定（重点）

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
备注：
1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.2.全等三角形周长、面积相等.
四、证题的思路（难点）

五、 角平分线
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；

数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB 
∴∠MOP=∠NOP
六、角平分线常考四种辅助线：
1.图中有角平分线，可向两边作垂线. 2.角平分线加垂线，三线合一试试看. 
3.角平分线平行线，等腰三角形来添. 4.也可将图对折看，对称以后关系出现.

【专题过关+能力提升】
考点一 全等图形的识别
例题：（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（   ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．
【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；
B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；
C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；
D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有C中的两个可以旋转后重合，其它三个大小或形状不一致．
【详解】解：由全等形的概念可知：A、B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．
2．（2022·全国·八年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．
【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；
②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；
③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．
正确的有③，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．

考点二 全等三角形的性质
例题：（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（     ）

A．13° B．23° C．33° D．43°
【答案】C
【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，
∴∠CBA=∠FED=15°，
∵∠A=132°，
∴∠C=180°-132°=15°=33°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．
【变式训练】
1．（2022·贵州·贵阳市乌当区第三中学八年级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．
【详解】∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，
故①③正确；
∵△ABC≌△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，
故④正确；
∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；
综上：正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
2．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）下列结论中正确的有（    ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；
②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；
③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；
④全等三角形周长相等，正确，符合题意；
⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．
所以正确的有5个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．
3．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）已知△ABC≌△DEF，AB＝3，AC＝4，△DEF的周长为10，则BC的值为______．
【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为10，
∴△ABC的周长为10，
∵AB＝3，AC＝4，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4．（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝96°，∠BAC＝24°，那么∠AED＝______．

【答案】60°##60度
【分析】由题意易得∠C=60°，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠B＝96°，∠BAC＝24°，
∴，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C=60°，
故答案为60°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

考点三 添加一个条件使三角形全等
例题：（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级期中）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件是_______．（写出一个即可）

【答案】BE=CE（答案不唯一）
【分析】根据∠1=∠2可知∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，，AE=AE，根据全等三角形的判定定理即可确定．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，AE=AE，
因而根据SAS可以添加条件：BE=CE；
根据AAS可以添加条件：∠B=∠C；
根据ASA可以添加条件∶∠BAE=∠CAE．
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件______，使△ABC≌△BAD．（只需填写满足要求的一个条件即可）

【答案】BC=AD或∠CAB=∠DBA（答案不唯一）
【分析】要使△ABC≌△BAD，由于AC=DB，且AB是公共边，即已知两边对应相等，根据全等三角形的判定，可补充一组边相等或补充两边的夹角相等．
【详解】解：添加BC=AD或∠CAB=∠DBA．
添加BC=AD时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：
在△ABC与△BAD中，，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
添加∠CAB=∠DBA时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：
在△ABC与△BAD中，，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
∴加一个适当的条件是BC=AD或∠CAB=∠DBA．
故答案为：BC=AD或∠CAB=∠DBA．（答案不唯一）
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2020·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是________，△ABC与△DEF全等的理由是________．

【答案】     AC＝DF（答案不唯一）     SAS（答案不唯一）
【分析】由已知一边一角相等，根据全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC≌△DEF；
【详解】解：根据题意：AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，结合全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC≌△DEF：
AC＝DF，SAS，或者BC＝EF，HL，或者∠B＝∠E，ASA，或者∠ACB＝∠DFE，AAS，
故答案为：AC＝DF（答案不唯一），SAS（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据图形与题意，熟练运用三角形全等的判定条件是解决问题的关键．
3．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，需添加的一个条件是 _____．

【答案】
【分析】根据题目条件和图形可知，AE＝AD，公共角，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，添加的条件是即可得到结论．
【详解】解：添加的条件是．
理由如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL是解决问题的关键．
4．（2022·湖南·新田县云梯学校八年级阶段练习）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，只添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是 _____．

【答案】∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．
【分析】由∠1＝∠2可得∠CAB＝∠DAE，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形，根据判定定理ASA、AAS、SAS添加条件．
【详解】解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．
①添加∠C＝∠D，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
②添加∠B＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，，
∴△ABC≌△AED（AAS）；
③添加AB＝AE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，，
∴△ABC≌△AED（SAS），
故答案为：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．
【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
5．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可）

【答案】∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）
【分析】根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AE＝AC，
∴再添加AB＝AD，利用“SAS”可以证明△ABC≌△ADE；
添加∠B＝∠D，利用“AAS” 可以证明△ABC≌△ADE；
添加∠C＝∠E，利用“ASA” 可以证明△ABC≌△ADE．
故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．

考点四 全等三角形的判定
例题：（2021·江西·鹰潭市余江区正源学校七年级阶段练习）如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．

【答案】见解析
【分析】先根据BF＝CE，得出BC＝EF，然后根据“SAS”证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS、ASA、AAS、SSS和HL，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图， A、E、F、C在一条直线上， AF＝CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB＝CD，求证：

(1)△ABF≌△CDE
(2)BG＝DG
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用HL证明△ABF≌△CDE，即可；
（2）根据，可得，利用AAS证明，即可求证．
（1）
证明：∵，
∴，
在和中，
，
，
∴；
（2）
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2020·北京二中八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．

(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
（1）
证明：∵ABDE
∴∠ABC=∠DEF
在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(ASA)
（2）
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=10m，BF=3m，
∴FC=10﹣3﹣3=4m．
故答案为：4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
3．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB =CD，BC = DE．

(1)求证：△ABC≌△CDE；
(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△ ，边与边CD的交点为F ，连接EF，若EF将CDE分为面积相等的两部分，且AB = 4，则 CF =
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）首先由点C为AE的中点得出，再根据SSS证明△ABC≌△CDE即可；
（2）根据平移的性质得再由EF将CDE分为面积相等的两部分得
（1）
证明：∵点C为AE的中点，
∴
在△ABC和△CDE中，

∴△ABC≌△CDE
（2）
解：将△ABC沿射线AC方向平移得到，且AB = 4，
∴
∵边与边CD的交点为F ，连接EF，EF将CDE分为面积相等的两部分，如图

∴
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据SSS证明△ABC≌△CDE是解答本题的关键．

考点五 全等三角形判定的一线三等角模型
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E．

(1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度．
(2)当DC的长度是多少时，，并说明理由．
【答案】(1)小；140
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和即可得出结论；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
(1)
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
设∠BAD=x°，∠BDA=y°，
∴40°+x+y=180°，
∴y=140-x（0＜x＜100），
当点D从点B向C运动时，x增大，
∴y减小，
+=180°-
故答案为：小，140；
(2)
当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．

(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
(1)
证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
(2)
解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．
（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．

【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，利用ASA即可证明△ABE≌△CAF；
（2）同（1）证明△ABE≌△CAF，推出S△ABE＝S△CAF，S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，根据CD＝2BD可知，计算求解即可．
【详解】
解：（1）证明如下：
∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（ASA）
∴S△ABE＝S△CAF，
∴S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，
∵CD＝2BD，△ABC的面积为15，
∴S△ACD＝S△ACD＝S△ABC＝，
∴S△ABE+S△CDF＝10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”是解题的关键．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．

(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．

考点六 全等三角形判定的三垂直模型
例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D．
（1）求证：△BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的长．

【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．
【详解】
解：（1）证明：∵BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D，
∴∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵AC = BC，
∴≌；
（2）由（1）知，≌，
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD =12， BE =5，
∴CE=12，CD=5，
∴ED=CE－CD=12－5=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E．

(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝　 　；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【答案】(1)BD﹣EC
(2)BD＝DE﹣CE．见解析
(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【解析】
【分析】
（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，进而即可求得关系式；
（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；
（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．
(1)
结论：DE＝BD﹣EC．
理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣EC．
故答案为：BD﹣EC；
(2)
结论：BD＝DE﹣CE．
理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE；
(3)
归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   
∵   ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB   
∵在△DCA和△EAB中

∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°                      
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB                    
∵在△DCA和△EAB中

∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
3．（2022·广东·河源广赋创新学校八年级阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于．

(1)当直线绕点旋转到①的位置时，求证：①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）①先根据垂直的定义可得，，再根据直角三角形的性质可得，然后利用定理即可得证；
②先根据全等三角形的性质可得，，再根据、等量代换即可得证；
（2）同（1）的方法，先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据、等量代换即可得证；
（3）同（1）的方法，先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据、等量代换即可得出结论．
（1）
证明：①，
，，
，
，
，
，
在与中，，
；
②由（1）①已证：，
，，
．
（2）
证明：，
，，
，
，
，
，
在与中，，
，
，，
．
（3）
解：，证明如下：
，
，，
，
，
，
，
在与中，，
，
，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、垂线的定义等知识点，解题的关键是推出证明和全等的三个条件．
4．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）

【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．

【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．

考点七 全等三角形判定的倍长中线模型
例题：（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）已知△ABC中，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是______．
【答案】0.5＜AD＜3.5
【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=3，AC=4，
∴4-3＜AE＜4+3，
即1＜AE＜7，
∴0.5＜AD＜3.5．
故答案为：0.5＜AD＜3.5．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区丰丽学校七年级期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；
（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析
【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围；
（2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论．
【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，

在和中，

∴(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF-MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC相交于点F，

∵，
∴∠BAE=∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在和中，

∴（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线．
2．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中  
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
3．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：

(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
②求证：AC＝2OP．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析

【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
（1）
证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）
①证明：延长OP至E，使PE=OP，

∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BEOD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

考点六 全等三角形的动态问题
例题：（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时，∆PEC与∆QFC全等．

【答案】1s或3.5s
【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，求出即可得出答案．
【详解】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△CFQ，
∵△PEC≌△CFQ，
∴斜边CP=CQ，
有2种情况：
①P在AC上，Q在BC上，

CP=6-t，CQ=8-3t，
∴6-t=8-3t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，

∴CP=6-t=3t-8，
∴t=3.5；
答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．
故答案为：1s或3.5s．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，能根据题意得出方程是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0 （1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；
（2）是否存在某一时刻t，使若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）的值为2．（2）存在，的值为1，．
【分析】（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，利用垂直平分线的性质，得到，之后列出关于t的方程，求出t的值即可．
（2）当时，根据对应边，列出关于t的方程，求出t的值，之后利用全等三角形的性质，得到对应角相等，最后证得．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
点C在线段PQ的垂直平分线上，
，
故有：，
解得：
的值为2．
（2） 解： ，
，，
即．
四边形ABCD是长方形，
．
在中，且，
，
．
【点睛】本题主要是考查了垂直平分线和全等三角形的性质，熟练应用相关性质找到对应边相等，求出时间t，是解决本题的关键，另外，关于线段关系，一般以垂直关系为多．
2．（2021·海南华侨中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．

【答案】（1）见解析；（2）t=4或
【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可；
（2）先求解 再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED=∠AFD=90°．
∵ ∠BAD=∠CAD，AD=AD．
∴ △AED≌△AFD(AAS)．
（2）∵△AED≌△AFD
∴ DE=DF，AF=AE=10．
∴CF=6
若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，
∴EP=FQ，
①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，
∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t
∴10﹣2t＝6﹣t，
∴t=4；
②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，
∴EP=2t-10，FQ=6﹣t
∴2t-10=6﹣t，
∴t=   
③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，
∴EP=2t-10，FQ=t﹣6
∴2t-10=t-6，
∴t=4（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键.
3．（2021·吉林长春·八年级期中）如图①，线段，过点B、C分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为．

（1）当，________，用含a的代数式表示的长为_______．
（2）当时，
①求证：．
②求证：．
（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值．
【答案】（1）4，a；（2）①见解析；②见解析；（3）a＝2，t＝1或，
【分析】（1）根据题意得： ， ，即可求解；
（2）①根据题意可得BP＝CQ＝2，从而得到CP＝AB，即可求证；②根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角性质，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： ， ，
∴ ；                                                                         
（2）①∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°．
∵  ，                                                        
∴BP＝CQ＝2，
∵BC=6，
∴CP＝AB=4，                                                                
∴△ABP≌△PCQ；                                                          
②∵△ABP≌△PCQ，
∴∠A＝∠CPQ，                                                              
∵∠APC＝∠CPQ+∠APQ，∠APC＝∠A+∠B，
∴∠APQ=∠B＝90°．                                                        
∴AP⊥PQ；                                                                
（3）当△ABP≌△PCQ时，即PC=AB=4，QC=BP=2t，
∴BP=BC-PC=2，
∴2t=2，解得：t=1，
∴QC=2，
∴ ，
当△ABP≌△QCP时 ，即QC=AB=4，BP=CP= ，
∴ ，
∴ ，                                         
综上所述，当与全等时，a＝2，t＝1或，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，明确题意，准确得到全等三角形是解题的关键．

考点九 角的平分线的性质
1．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校七年级期末）在中，，若，平分交于点，且：：，则点到线段的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案．
【详解】解：，：：，
，，
平分，，∠C=90°，
，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线，解题的关键是求出的长度，本题属于基础题型．
2．（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（   ）

A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】过作于，依据平分，，，即可得到，再根据的面积算法，即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过作于，
平分，，，
，
，
，
即，
，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线的性质，解决问题的关键是面积法的运用．
3．（2022·重庆市巴渝学校八年级期中）如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____．

【答案】6
【分析】根据垂直的定义得到∠CHD＝90°，根据三角形的面积求得DH＝，过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝，于是得到结论．
【详解】解：∵BH⊥AC，
∴∠CHD＝90°，
∵△DCH的面积为4，CH＝3，
∴DH＝，
过D作DE⊥BC于E，

∵CD平分∠ACB交BH于点D
∴DE＝DH＝，
∵△BCD的面积为8，
∴DE•BC＝BC＝8，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．

【答案】3
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（2022·福建·福清西山学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD=DF．

(1)求证：CF=EB．
(2)求证：AB=AF+2EB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，即可得出结论；
（2）通过HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得AC=AE，再进行等量代换即可．
（1）
证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△CDF与Rt△EBD中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB；
（2）
证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵CF=BE，
∴AB=AC+EB=AF+2EB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．
6．（2022·山东济南·七年级期中）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，BC=4cm．

(1)若ED=2cm，则DC=______cm；
(2)求证：BE=BC；
(3)若△AED的周长是4cm，AC=3cm，求AB的长．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）由角平分线的性质可得出答案；
（2）证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）求出AE的长，则可得出答案．
（1）解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=2cm，故答案为：2；
（2）证明：在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC=BE；
（3）解：∵△AED的周长是4cm，∴AE+DE+AD=4cm，∵DE=DC，∴AE+DC+AD=4cm，即AC+AE=4cm，∵AC=3cm，∴AE=1cm，∵BC=BE=4cm，∴AB=BE+AE=4+1=5（cm)．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BCD≌△BED是解题的关键．
7．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．

(1)求证：△EGB≌△EFC；
(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)AF的长为1
【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；
（2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．
（1）
解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，
∴∠EGB=90°=∠EFC，
∴△EGB和△EFC是直角三角形，
∵AE平分∠CAD，
∴∠EAG=∠EAF，
∵EA=EA，
∴△AGE≌△AFE，
∴EG=EF，
∵EB=EC，
∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，
得证；
（2）
解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，
∴BG=FC，AG=AF，
∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，
∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，
∵AB=3，
∴2AF+3=5，
∴AF=1，
即AF的长为1．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键．
8．（2022·陕西渭南·七年级期末）问题情境：（1）如图1，，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，过点P作于点N，作于点M，请写出PE与PF的数量关系______．
变式拓展：（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作于M，于N，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F，．试解决下列问题：

①PE与PF之间的数量关系还成立吗？为什么？
②若，试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①还成立，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；
（2）①证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；
②结论：OE-OF=OP．证明△POM≌△PON（AAS），推出OM=ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM=EN，可得结论．
【详解】解：（1）∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM=PN，
∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴∠MPN=360°-3×90°=90°，
∵∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠MPF=∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF=PE，
故答案为：PF=PE；
（2）①结论：还成立．
理由：∵OC平分∠AOB，，，
∴．
∵∠MPN＝∠EPF，
∴∠MPF＝∠NPE，
在和中,

∴，
∴；
②解：结论：．
理由：在△OPM和△OPN中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．