【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 3.3《幂函数》培优分阶练（含解析）

3.3  幂函数

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1.幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是 (　　)

A．    B．   C．  D．

答案    

解析 由图象得：，故选：．

2.若三个幂函数在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是(　　)

答案    

解析 ①，单调递增，且当时，在直线的上方，，

②，单调递增，且当时，在直线的下方，，

③，单调递减，且当时，在直线的下方，；

．

故选：．

3.任意两个幂函数图象的交点个数是(　　)

A．最少一个，最多三个             B．最少一个，最多二个

C．最少个，最多三个             D．最少个，最多二个

答案    

解析 所有幂函数的图象都过故最少个交点，

当函数为和时，它们有个交点，故选．

4. 幂函数经过点，则是(　　)

A．偶函数，且在上是增函数   B．偶函数，且在上是减函数

C．奇函数，且在是减函数     D．非奇非偶函数，且在上是增函数

答案    

解析 设幂函数的解析式为：，

将代入解析式得：，解得，，

故选：．

5.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则(　　)

 或  

答案    

解析 幂函数在上是减函数，

则，解得；

又，，，；

当时，，图象关于原点对称；

当时，，其图象不关于原点对称；

当时，，其图象关于原点对称；

综上，的值是或．

故选：．

二、多选题

6. 已知幂函数的图象经过点，则(     )

A．函数是偶函数                B．函数是增函数 

C．函数的图象一定经过点    D．函数的最小值为

答案

解析 幂函数的图象经过点，

，，，

是非奇非偶函数，故错误，函数是增函数，故正确，

函数图象不过，故错误，函数的最小值是0，故正确，

故选：．

三、填空题

7.已知是幂函数，则        .

答案

解析 函数是幂函数，

根据幂函数的定义知，，解得，；

所以．

8．幂函数的图象过点，则______．

答案

解析 设，则，所以．

所以．所以．

9.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　　．

答案

解析 ，

幂函数为奇函数，且在上递减，

是奇数，且，．

四、解答题

10.已知幂函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)证明函数在定义域上是增函数．

答案  (1)   (2)略

解析 (1)解：由得，，所以；

(2)证明：定义域是，设任意的，

则，

，，

函数在定义域上是增函数．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1. 下列命题中：

①幂函数的图象都经过点和点；

②幂函数的图象不可能在第四象限；

③当0时，幂函数的图象是一条直线；

④当0时，幂函数是增函数；

⑤当0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．

其中正确的是(　　)

A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤

答案 D

解析 ①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，故错误；

②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；

③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误；

④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；

⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小，故正确．

故选：．

2.已知指数函数且)的图象恒过定点，若定点在幂函数的图象上，则幂函数的图象是(　　)

．  ．．  ．

答案

解析 指数函数且)的图象恒过定点，

令，解得，且，

所以的图象恒过定点；

设幂函数，在幂函数的图象上，

可得：，解得；所以，

幂函数的图象是．

故选：．

3. 对于幂函数，若，则，大小关系是(　　)

．                ． 

．               ．无法确定

答案

解析 幂函数在上是增函数，图象是上凸的，

当时，应有．

故选：．

4.如图所示是函数(且互质)的图象，则(　　)

是奇数且                是偶数，是奇数，且

是偶数，是奇数，且       是偶数，且

答案

解析 函数的图象的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，

在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：.

5.已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　)

均为奇数，且           为偶数，为奇数，且 

为奇数，为偶数，且      为奇数，为偶数，且

答案  

解析 因为函数为偶函数，所以为偶数，且由图象形状判定．

又因互质，所以为奇数．所以选．

二、多选题

6. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是(     )

A．为偶函数 

B．的值域是 

C．若，则 

D．是上的增函数

答案  

解析 设幂函数，

，，，

函数为非奇非偶函数，故错误；

函数的值域为，故正确；

函数为凹函数，则，所以，故正确；

，则函数在是上的增函数，故正确．

故选：．

三、填空题

7. 已知幂函数在上单调递增，则的解析式是     .

答案    

解析 是幂函数，，解得或，

若，则，在上不单调递减，不满足条件；

若，则，在上单调递增，满足条件；

即.

8.已知幂函数的图象不与轴、轴相交，且关于原点对称，则　  ．

答案

解析 幂函数的图象不与轴、轴相交，

则，解得，

又由, ，

当时，，函数为偶函数，图象关于轴对称，

当时，，函数为奇函数，图象关于原点对称，

当时，，函数为偶函数，图象关于轴对称，

故.

9. 对幂函数有以下结论

(1)的定义域是；   (2)的值域是；

(3)的图象只在第一象限；         (4)在上递减；

(5)是奇函数．

则所有正确结论的序号是　   　.

答案

解析 对幂函数，以下结论

(1)的定义域是，因此不正确；(2) 的值域是，正确；

(3) 的图象只在第一象限，正确；(4) 在上递减，正确；

(5) 是非奇非偶函数，因此不正确．

则所有正确结论的序号是(2)(3)(4)．

四、解答题 

10. 已知幂函数

(1)若为偶函数，且在上是增函数，求的解析式；

(2)若在上是减函数，求的取值范围．

答案 或

解析 (1)幂函数，

又在上是增函数，，解得，

又，，

为偶函数，

①当时，，为奇函数，不符合题意；

②当时，，为偶函数，符合题意；

③当时，，为奇函数，不符合题意．

，；

(2)幂函数，

又在上是减函数，

，解得或，

的取值范围为或．

培优第三阶——高考沙场点兵

1. (2022•广西模拟)若是幂函数，且满足，则(     )

A． B． C． D．

答案

解析 设，，，，

．

故选：．

2. (2022•乐山模拟)已知幂函数和，其中，则有下列说法：

①和图象都过点；

②和图象都过点；

③在区间上，增长速度更快的是；

④在区间上，增长速度更快的是．

则其中正确命题的序号是(     )

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

答案

解析 由幂函数的性质可知，幂函数的图象过定点，故①正确，②错误，

在区间上，越大，幂函数的增长速度越快，故③正确，④错误，

所以正确命题的序号是①③，

故选：．

3.(2022•黄浦区二模)已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则　　．

答案

解析 ．

若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，

则．

4.(2022•通州区一模)幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数的值依次是 　  　．

答案 ，(答案不唯一)．

解析 幂函数在上单调递增，在上单调递减，

且，又是奇函数，

整数需满足为大于 的奇数，为小于的奇数，

故答案为：，(答案不唯一)．