八年级人教版上册数学第五讲《三角形全等的判定》同步讲义

第五讲  三角形全等的判定（AAS、ASA）【知识梳理】知识点1：角角边（AAS）定理角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“AAS”.用“AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边，按角边顺序列出全等的三个条件时要有顺序的对应. 【例题1】如图，点B、E、F、C在同一直线上． 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是                （写出一个即可）．      【例题2】如图，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于点C，点E从B向C运动，过点E作ED⊥AE，交l于D．（1）求证：∠A=∠DEC；（2）当BE长度为多少时，△ABE≌△ECD？请说明理由．                                                变式训练1：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF．       【例题3】如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠D=∠B，AD∥BC．求证：△AFD≌△CEB．    变式训练1：已知：如图，AB∥DE，∠A=∠D，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．    变式训练2：如图，点D，E分别在AB，AC上，BE，CD交于O，且AB=AC，∠B=∠C．（ 1）试说明：AD=AE；（2）△BOD与△COE全等吗？为什么？      知识点2：角边角（ASA）定理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”.(1) 用“ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等，证明时要加强边、角的对应关系.(2) 书写两个三角形全等时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角位置及对应关系. 【例题1】如图，AC、BD相交于点0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC. 试说明△AOD≌△BOC.证明：∵∠A=∠B ，∠1=∠2（已知）∴∠ADC=∠BCD（三角形内角和）∴∠ADC-∠1=∠BCD-∠2    即∠          =∠             在△AOD和△BOD中，∵    ∴△AOD≌△BOD（          ） 变式训练1：如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。求证：BC=AE。    变式训练2：如图，AB∥CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BF=DE．求证：△ABE≌△CDF．     【例题2】如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）点D在∠A的平分线上． 变式训练1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．  知识点3：斜边、直角边公理（HL）　斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）几何语言表示：∵∠C=∠C´=90° A B=A´B´ A C= A´C´（ 或BC= B´C´）∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L 【例题1】已知 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD∥BC.         变式训练1：如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.         变式训练2：如图，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC，直线DN经过点C，且AD⊥DN于D，BE⊥DN于E，求证：DE=AD+BE.                                                      【例题2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。­  求证:AN平分∠BAC。 ­       变式训练1：如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.        变式训练2：如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.        变式训练3：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.求证：BE=DF.          【课堂训练】1.如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：       2.如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：（1）≌        （2）AB//DE，BC//EF         3.如图，在D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（1）；（2）BD平分（角平分线的相关证明及性质）        4.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.        5.如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：①CE=AC+DC；    ②∠ECD=60°.          6.如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。           7.如图，，AC=AE，求证：DE=BC            8.如图，已知，求证：BE=CD                                                         9.已知如图，在中，AD平分，求证：         10. 如图中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF        【课后训练】1.已知：如图，是的中点，，．求证：． 2.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．    3.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线分别交AB于点F,交BC的延长线于点E.求证:(1)∠EAD=∠EDA; (2)DF∥AC.       4.已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．                                                            5.已知等腰，，的平分线交于，则．                                                    6.如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE=DC;（2）BE⊥DC。                                                         7.如图所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD．求证：∠B=∠D．      8.如图，AD平分∠BAC，点E在AD上，连接BE、CE．若AB＝AC，BE＝CE．求证：∠1＝∠2．      9.如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．（1）求证：△ADE≌△BEC；   10.如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）