八年级人教版上册数学同步讲义第三讲 多边形及其内角和

第三讲  多边形及其内角和  【知识梳理】知识点1：多边形的有关概念1．  多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如图11—1所示，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.       图11—2                   图11—3 2.多边形的构成（1）多边形的边：组成多边形的线段。（2）多边形的内角:多边形相邻两边组成的角。（3）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。如图11—2注意：多边形的每一个顶点处有来个外角，并且同一个顶点处的外角与内角互为邻补角。 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.如图11—2，线段AC、AD就是五边形ABCDE的两条对角线。注意：多边形中从不同顶点作出的对角线是有重复的，所以多边形对角线的条数不是所有顶点上对角线条数的和；多边形的对角线通常用虚线表示.   4. 凸多边形与凹多边形（1）凸多边形：整个多边形都在这条直线的同一侧.如图11—3①所示。（2）凹多边形：至少有一条边，使整个图形不都在这条边所在直线的同一侧.如图11—3②所示。               图11—3①                               图11—3②   5.正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.图11—4 【经典例题】【例题1】：下列多边形中，不是凸多边形的是（       ）变式训练1：把一张形状是多边形的纸片减去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（      ）A．六边形          B.正五边形         C.四边形       D.三角形 变式训练2：如图，将一张四边形纸片沿虚线剪开，如果剪开后的图形是边数相同的两个凸多边形，那么下列四种剪法中，符合要求的是（     ）A.①②             B.①③              C.②④             D.③④ 知识点2：多边形的内角和如图，从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。                        类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？    观察下面的图形，填空：（1）从五边形一个顶点出发可以引    对角线，它们将五边形分成           三角形，五边形的内角和等于            ；（2）从六边形一个顶点出发可以引         对角线，它们将六边形分成        三角形，六边形的内角和等于            ；（3）从n边形一个顶点出发，可以引   对角线，它们将n边形分成           三角形，n边形的内角和等于           总结：n边形的内角和等于（n一2）·180°．从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？分法一:如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。[来源:学科网ZXXK]             图1                        图2分法二:如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。[来源:Z§xx§k.Com]∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°． 【例题2】 一个多边形的每个内角都是，这个多边形是（ ）         A.八边形    B.十边形      C.十二边形     D.十四边形  变式训练1：若一个边形的每个外角都相等，且它的一个外角等于，则的值为（ ） A．8        B．9       C．10        D．12  变式训练2：一个多边形的内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ）A．8  B．7  C．6  D．5  变式训练3：如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成             个三角形（用含有n的式子表示）. 【例题3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是（ ） A． 17      B． 16       C． 15      D． 以上答案都有可能 变式训练1：如图，，则=          ．变式训练2：如图，已知，求的大小． 【例题4】：如图，在△ABC中，∠A=75°，求∠1+∠2 变式训练1：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=a，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则求∠P 变式训练2：如图，在四边形中，，分别平分和，求证:  变式训练3：如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，求∠1的度数 知识点3：多边形的内角和与外角和 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？  【例题5】 若一个正多边形的一个外角为40º，则这个正多边形是          边形． 变式训练1：一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为(     )   A．8    B．9      C．10      D．12 变式训练2：以线段 a=7，b=8，c=9，d=11 为边作四边形，可作（ ）A． 一个 B． 2 个 C． 3 个         D． 无数个 变式训练3：如图所示，我们可以按照如下方法求一个多边形的对角线条数图（1）=0 条；图（2）=2 条；图（3）=5 条；图（4）=9 条．若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为  ，求得该多边形的对角线条数为   ． 【例题6】若一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，那么这个多边形是（ ）A． 四边形 B． 六边形 C． 八边形 D． 十边形 变式训练1：正三角形、正方形、正五边形和正六边形四种图形中，能够单独铺满平面的有（    ）A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种变式训练2：一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和的度数.    【例题7】若十边形的每个外角都相等，则一个外角的度数为（      ）A.18°     B.36°      C.45°    D.60°   变式训练1：已知一个多边形的内角和与外角和相加为2160°，求这个多边形的对角线的条数.    变式训练2：两个完全相同的正五边形搜友一边在直线L上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，求∠AOB   【课堂训练】1.下列说法正确的是 （   ）A.每条边相等的多边形是正多边形  B. 每个内角相等的多边形是正多边形C. 每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形  D.以上说法都对2．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（   ）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形3.每个内角为的正多边形是A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.把n边形变为边形，内角和增加了，则x的值为 4 B. 6 C. 5 D. 35．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　）A．240° B．280° C．360° D．540°6．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（　）A． B． C． D．7.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为(　　)A.90° B.180° C.270° D.360°8．一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为（　　）A．1260° B．900° C．1620° D．360° 9. 如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则为（ ）A.B.C.D.10.下列说法不正确的有（　　）①一个三角形至少有2个锐角；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③过n边形的一个顶点可作（n-3）条对角线；④n边形每增加一条边，则其内角和增加360°．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是（　　）A．6 B．7 C．10 D．1416．若从一个多边形的一个顶点出发可引5条对角线，则它是______边形.17.  若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是________边形． 18．多边形的每一个内角都等于，则从此多边形一个顶点发出的对角线有     条．19.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为________．
 20.如图,在七边形ABCDEFG中,线段AB、ED的延长线相交于O点.若∠1、∠2、∠3、∠4的外角的度数和为220°,则∠BOD的度数为　　　. 21．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪．      （1）图1中草坪的周长为         ；（2）图2中草坪的周长为         ；（3）图3中草坪的周长为         ；（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的周长为      ．22.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数．     25.  如图，已知，，．求．      26．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，（1）求证：∠DEC+∠DCE=90°；（2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=58°，求∠ABC．        【课后训练】1.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（      ）  A、8          B、9          C、10          D、112.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（    ）A.7          B.6C.5          D.4 3.如图，在六边形中，，分别平分和，若，则的度数为(        )A.B.C.D.4.下列说法不正确的是(  )A. 正多边形的各边都相等B. 各边都相等的多边形是正多边形C. 正三角形就是等边三角形D. 各内角都相等的多边形不一定是正多边形5.如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3=(　　)A.90°　　　　B.180°　　　　C.120°　　　　D.270°6.一个多边形内角和是外角和的K倍,那么这个多边形的边数是 (    )A. K        B. 2K+1      C. 2K+2       D. 2K-27.四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是(  )A. 四边形的边长                       B. 四边形的周长C. 对角线的条数                       D. 四边形内角的大小8.下列说法错误的是（ ） A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B.每组邻边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四个角都相等的四边形是矩形9.下列说法正确的是 （   ）A.每条边相等的多边形是正多边形  B. 每个内角相等的多边形是正多边形C. 每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形  D.以上说法都对 12.平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝　   　．13．一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻内角的，则这个多边形是　   　．14．已知多边形的内角和比它的外角和大720°，则多边形的边数为          ． 15.已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是________．     16.一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是________ 19.如图（1），四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=50°，如图（2），将纸片右下角沿直线PR向内翻折得到一△PCR，若CP∥AB，RC∥AD，则∠C为          ．20.如图，在n边形A1A2A3…An－1An内任取一点O，依次连_____.______.______.…….______.______．则它们将此n边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n边形的内角和＝180°×______－(    )＝(    )×180°． 21．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=      ．（提示：由AB=AC，可得∠BAC=∠BCA）       22.如图，小明从点 A 出发，前进 5m 后向右转 20°，再前进 5m 后又向右转 20°， 这样一直下直到他第一次回到出发点 A 为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了   米；（2）这个多边形的内角和是  度．     23．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝　   　．