(新高考)高考数学三轮冲刺大题优练6《立体几何》(2份打包，解析版+原卷版)

例1．已知四边形，，，．现将沿边折起，使得平面平面，．点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，．

（1）求证：平面；

（2）若为的中点，求到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1），，即为等边三角形，

由，知为中点，，

取中点﹐连接，则，

平面平面，平面平面，

平面，面，，

又，，

平面，平面，，

又，平面．

（2）为的中点，的边长为，．

由（1）知平面，

又为的中点，到平面的距离为，

连接，

由（1）知：，，

，，，

∴，

由（1）知，平面，面，

，则，

设到平面的距离为，由，得，

即，

到平面的距离为．

例2．如图，四边形是边长为的正方形，，将三角形沿折起使平面平面．

（1）若为上一点，且满足，求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为面面，面面，面，，

所以面，

又面，所以，

又，，所以面，

又面，所以．

（2）取中点，连接OP，

因为，所以．

又平面平面，所以平面．

以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则有，，，，

可得，，，

设为平面的一个法向量，

则有，即，

不妨令，则；

设为平面的一个法向量，

则有，即，

不妨令，则，

因为，可得，解得，

所以．

例3．如图，在三棱锥中，，，．

（1）证明：；

（2）有三个条件；

①；

②直线与平面所成的角为；

③二面角的余弦值为．

请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为．

【解析】（1）取中点，连接，，则，

又，，，

所以，所以，所以，

，，平面，

所以平面，

又平面，所以．

（2）在上取点，使得，连接，，

由于与是平面内相交直线，所以平面，

以为轴建立空间直角坐标系，如图，

，，因此，同理．

选①，，则是等边三角形，，，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，即，

记直线与平面（即平面）所成的角为，

则．

选②，由平面，得是（即）与平面所成的角，

所以，，

以下同选①．

选③，作，垂足为，连接，

由平面，平面，所以，

又，平面，而平面，所以，

所以是二面角，即二面角的平面角，

已知，则，，

所以，

以下同选①．

1．在三棱柱中，平面平面，，，，点，分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由题意，为等边三角形且分别为的中点，

∴面面，面，面面，

∴面，

而面，即，

又∵，，即，

∴，

又，∴平面．

（2）为中点，连接、，则为中位线，

由（1）知：面，

∴在中，，，

则，

∴，，

而，

若到平面的距离为h，∴，

则，即到平面的距离为．

2．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，

所以平面，

又因为平面，所以，

因为，，平面，平面，

所以平面．

（2）如图，取中点，连接，，

因为平面平面，为等腰直角三角形，所以平面．

易知三条直线两两垂直，

分别以为轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，，，，

设平面的法向量为，则，

所以，令，得，

由（1）知平面，所以平面的法向量为，

，

由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

3．如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．

（1）证明：平面；

（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，在棱上取点满足，连接，．

∵，∴且．

由题意，知且，

∴且，即四边形为平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面．

（2）如图，分别取，的中点，，连接，，．

由题意，知，，，．

在中，．

在中，，

而，∴，

又，，，平面，

∴平面．

以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，，．

∴，，，．

设平面的一个法向量为，由，得，

令，得；

设平面的一个法向量为，由，得，

令，得，

∴．

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

4．如图，在四棱锥中，，，，．

（1）求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，取的中点，连接，，，

∵，∴．

∵，，，

∴四边形为等腰梯形，且．

∵，，∴，∴，∴．

∵，平面，，∴平面，

又平面，∴．

（2）由（1）知平面，

又平面，∴平面平面．

∵平面平面，

∴过点作于点，则平面，

∴为直线与平面所成的角．

在等边三角形中，易得．

在中，，，∴．

又，∴在中，，

∴，

即直线与平面所成角的正弦值为．

5．如图所示的多面体中，平面，平面，，且，，，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）由平面，知为直线与平面所成角的平面角，

∴，即可得．

（2）在中，，即，

∴，则，所以，

又∵平面，平面，∴，

又，∴面．

（3）由（2），以为原点，分别以，，为，，轴正方向，

建立如下图所示空间直角坐标系，

在中，知，

则，，，，，

即，，，

设面的一个法向量，

，则，取，得；

设面的一个法向量，

，则，取，得，

，

又二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．

6．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值；不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）证明：连接，

在中，因为，，，所以．

因为点是的中点，所以．

在中，，，，

由余弦定理，有，所以，所以．

在中，，，满足，

所以，

又，所以平面．

（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，

设，，

在中，，

而，得，所以．

平面的一个法向量为，直线与平面所成角为．

因为，，，所以，

因为，

所以，

得，所以或(舍)，

所以．

7．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上一点．

（1）在平面内能否作一条直线与平面垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；

（2）若时，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）过作，交棱于，为所求作的直线，

因为平面平面，且，

所以平面，

又因为，所以平面．

（如证明平面、或寻找上任意一点作平行线、垂线都可）

（2）取中点，中点，连接，则平面，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．

则可得，，，，

则，．

设平面的法向量为，易得，

不妨取，

因为，所以，所以，

设与平面所成角为，则．

所以与平面所成角的正弦值为．