2020海口四中高二下学期开学考试数学试题含答案
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考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）
- 设命题p：，则为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为
年级 | 一年级 | 二年级 | 三年级 |
学生人数 | 1200 | x | y |
A. 25 B. 26 C. 30 D. 32
- 为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：
甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为
A. B. C. D.
- A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
A. B. C. D.
- “”是“直线与直线平行”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 已知角的终边经过点，则的值等于
A. B. C. D.
- 正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则
A. 2 B. C. D.
- 已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，，，若，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
- 已知定义域为R，数列是递增数列，则a的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，共15.0分）
- 下列说法中正确的是
A. 若事件A与事件B是互斥事件，则
B. 若事件A与事件B是对立事件：则
C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
- 将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到的图象，则下列说法正确的是
A. 的图象关于直线对称
B. 在上的值域为
C. 的图象关于点对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
- 如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，，则下列结论中正确的是
A. B. 平面平面PBC
C. 直线平面PAE D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．
- 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________．
- 若数列满足，且，则________．
- 已知直线，若P是抛物线上的动点，则点P到直线l的距离与其到y轴的距离之和的最小值为____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
- （本题满分10分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数个 | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．
请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：，
参考数据：
，
．
- （本题满分12分）
某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为，，，，，．Ⅰ求频率分布直方图中a的值；Ⅱ求这50名问卷评分数据的中位数；Ⅲ从评分在的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评、
分都在的概率.
- （本题满分12分）
如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E、F分别为CD、PB的中点．求证：平面PAD；求证：平面平面PAB；
- （本题满分12分）
已知数列的前n项和为，且满足，
证明：数列为等比数列．
若，数列的前项和为，求．
- （本题满分12分）
在平面四边形ABCD中，已知，，．
若，求的面积；
- 若，，求CD的长．
- （本题满分12分）
已知定直线l：，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．
数学试题 答案
1. 解；命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．故选：D．
2. 解：由题意得高二年级学生数量为：，
高三年级学生数量为，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，
设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得．故选A．
3. 解：甲的中位数为28，乙的中位数为29，故不正确；
甲的平均数为28，乙的平均数为29，故正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确，故选：B．
4. 解：由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有4组随机数：978，479、588、779，
所求概率为，故选：D．
5. 解：当，；两直线方程分别为：与直线此时两直线重合，充分性不成立． 若直线：与直线：平行，
则当时，两直线方程分别为或，此时两直线不平行，
当，若两直线平行，则，即且，解得即必要性不成立，故选D。
6. 解：，则，．故选C．
7. 解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，
则，，，，，所以，
，．，
，解得．，故选B．
8. 解：根据题意，已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，
则，，则，，若，则有，
又由，则有，变形可得：，
解得或舍，故，故选C．
9. 解：定义域为R，数列是递增数列，解得，故选C．
10. 解：若事件A与事件B是互斥事件，则，故A正确；
事件A与事件B是对立事件：则 ，故B正确；
一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件，故C正确；把红、橙、黄、3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，故它们不是互斥事件，D错误；综上，故选A、B、C．
11. 解：因为，
所以，，故A正确，
，在上的值域为，故B正确，
的图象关于点对称，故C错误．
对于D，由的图象向右平移个单位长度，
得到 的图象，故D正确．故选ABD．
12. 解：对于A，因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因为底面ABCDEF是正六边形，所以，
又，PA，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，
所以，故A正确；
对于B，平面ABC，平面PAE，所以平面平面ABC，同理可得平面平面ABC，
可知：在五棱锥中，只有侧面PAE、侧面PAB与底面ABC垂直，
所以平面平面PBC不成立，故B错误；
对于C，，而AD与平面PAE相交，所以BC与平面PAE也相交，
直线平面PAE不成立，故C错误；
对于D，可知，而六棱锥的底面是正六边形，所以，
所以：在中，，，故D正确；故选AD．
13. 【解答】有数学，物理，化学三个兴趣小组，甲，乙两位同学各随机参加一个，
基本事件总数这两位同学参加同一个兴趣小组包含的基本事件个数
则这两位同学参加同一兴趣小组的概率为故答案为
14. 解：条件p：，，解得．条件q：，
若p是q的充分不必要条件，．则实数a的取值范围是：．
15. 解：，，
所以时，，所以，
即，所以，故答案为5050．
16. 解：抛物线的焦点，准线方程为，
过P作PN垂直准线于N，由抛物线的定义可得，
点P到直线l的距离d与其到y轴的距离之和为，
当F，P，M三点共线，且FM垂直于直线l时，的和最小，
可得F到直线的距离为，则的最小值为2．故答案为：2．
- 解：由数据求得，，由公式求得，再由，
求得，关于x的线性回归方程为；
当时，，时，，
，．
该小组所得线性回归方程是理想的．
18. 解：Ⅰ由频率分布直方图，可得，
解得．Ⅱ由频率分布直方图，可设中位数为m，
则有，解得中位数．Ⅲ由频率分布直方图，可知在内的人数：，
在内的人数：．
设在内的2人分别为，，在内的3人分别为，，，
则从的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：
，，，，，
，，，，，
其中2人评分都在内的基本事件有，，，共3种，
故此2人评分都在的概率为．
19. 证明：取PA中点G，连结DG、FG．
是PB的中点，且，
又底面ABCD为矩形，E是DC中点，
且，且，
四边形DEFG为平行四边形，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD．
底面ABCD，面ABCD
又底面ABCD为矩形， 又平面PAD
平面PAD ，，G为AP中点，又，
平面PAB又由知，平面PAB，又面平面平面PAB．
20. 证明：，时，，
两式相减 ，，，
常数， 又时，得 ，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；
解：由 ， ，
又 ，，
，
设，
，
两式相减可得：，
，又，
．
21. 解：在中，，
，
解得，或舍．
，，，
，
，
中，，，
，．
22. 解：Ⅰ设椭圆的标准方程为，
椭圆C过点A，所以，
将代入椭圆方程化简得：，
因为直线l与椭圆C相切，所以，
解可得，，所以椭圆方程为．Ⅱ设点，，则有，
由题意可知，所以，设直线PQ的方程为，
代入椭圆方程并化简得：，
由题意可知
，
通分后可变形得到，
将式代入分子，
所以OM，ON斜率之和为定值0．
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