2020-2021学年海南省海口市第四中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

海口市第四中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

考试时间：120分钟，满分：150分

命题人：许乔      初审人：杨红俊       终审人：韩敏

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。）

1、已知集合 ， ，则中元素的个数为（   ）           

A.                                           B.                                      C.                                       D. 

2、若，则（    ）           

A.                                    B.                                    C.                                     D.

3、过点且垂直于的直线方程为（   ）

A.     B.      C.      D. 

4、若不等式的解集为  ，则等于（    ）           

A.                                        B.                                       C.                                     D. 

5、直线和的交点在轴上，则的值为（    ）           

A.                                      B.                                         C.                                    D.

6、已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（    ）

A. 把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B. 把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

C. 把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

D. 把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

7、若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（   ）           

A.                          B.  

C.                          D.

8、如图，在正方体中，点分别是棱,上的动点．给出下面四个命题：

①若直线与直线 共面，则直线与直线相交；

②若直线与直线相交，则交点一定在直线上；

③若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大为；④直线与直线 所成角的最大值是．

其中，所有正确命题的序号是（    ）

A.  ①④                                 B. ②④                         C.  ①②④                        D.②③④

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

9、已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A. 若，则；             B.若，则； 

C.  若，则；             D.若，则；

10、下面关于  叙述中正确的是（    ）           

A. 关于点对称                                           B. 关于直线对称
C. 在区间上单调递增                                  D.函数的零点为

11、已知，为坐标原点，点是圆外一点，过点作直线，直线的方程是，则下列结论正确的是

A.  B.  C. 与圆相离 D. 与圆相交

12、已知，且，则（    ）           

A.             B.           C.          D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13、设向量，若 ，则________.

14、已知，则的值为________.   

15、如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，

圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则

该组合体的表面积等于________.  

16、设，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________.   

四、解答题（本题共6题，共70分）

17、如图，在三棱锥中， 分别为的中点，点在上，且底面

（1）求证：平面；  

（2）若，求证：平面 平面   

18、在 中，内角所对的边分别为， ，且  

（1）求；       （2）若，求；  

19、已知函数

（1）求的最小正周期及其对称轴；   

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．   

20、已知圆，若直线与圆相切.求：   

（1）实数的值；   

（2）过 的直线与圆交于两点，如果，求直线的方程.   

21、2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按 元来计算）   

（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；   

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？   

22、如图：在三棱锥中，平面 平面， ， ，且，

（1）若点为上的一动点，求证：；   

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．   

海口四中2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题答案

一、单选题和多选题（多选题答案少选得3分，错选或多选不得分）

  三、填空题

13题：    14题：   15题：    16题：   

四、解答题

17. （1）解：在三角形ABC中，由中位线定理知：DE//AC，又DE 面SAC，AC 面SAC

所以DE//平面SAC;

（2）解：由SD⊥平面ABC，知SD⊥AC，又SF⊥AC，SD与SF交于点S， 

所以，AC⊥平面SFD，所以，平面SAC⊥平面SFD

18.（1）解：   

由正弦定理可知：

（2）解：              

由正弦定理得：

19. （1）解：    

，

所以 的最小正周期 ，

由 ，解得 ，

所以 的最小正周期为   对称轴为

（2）解：当 时，则 ，  

所以 ，所以 ，

由不等式 恒成立，

则 ，解得

20. （1）解：圆C： 的圆心为 ，半径为2  

因为直线 与圆C相切，

所以 ，解得

（2）解：因为圆的半径为2，弦 ，  

所以直线l过圆心，

所以l的斜率为 ，

所以直线l的方程为 ，即

21. （1）解：由题意知，当 时， （万件）， 则 ，解得 ， . 所以每件产品的销售价格为 （元）， 2018年的利润 .
（2）解： 当 时， ， ，当且仅当 时等号成立. ， 当且仅当 ，即 万元时， （万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元  

22.（1）解：在 中由正弦定理 ，  

得 ，即 ，

∵平面 平面ABC，交线为AC， ，

故 平面APC，则 ，又 ，

∴ 平面ABP，而 平面ABP，

所以 ．

（2）解：∵平面 平面ABC，在平面PAC中过A点作AC的垂线l，  

则l垂直平面ABC，

以l为 轴，AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系．

由 知，E为PC的三等分点，

易得 ， ， ， ， ，

设平面EAB的一个法向量为 ，

由 得 ，

令 ，则 ， ，

设平面EBC一个法向量为 ，

由 ，得 ，

令 ，则 ， ， ．

则 ，

设二面角 的平面角为 ，则 ．