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2020宜宾叙州区一中校高二下学期第四学月考试数学（理）试题含答案
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2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数，则 A. B. C. D.2.设函数的定义域，函数的定义域为，则 A. B. C. D.3.命题“，使”的否定为 A. B.C.， D.，4.抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D.5.随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是 A. 9 B. 12 C. 15 D. 176.已知函数f(x)=2xf′(e)+lnx，则fe= A. -e B. e C. -1 D. 17.执行如图所示的程序框图，输出的的值为 A. B. C. D.8.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是 A. B. C. D.9.若向量，，则 A. B. C.3 D.10.函数的图象大致是 A. B.C. D.11.在四面体中，，，两两垂直，，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值 A. B. C. D.12.已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷 非选择题（90分）填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是______．14.函数在点处的切线方程为________．15.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______.16.若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若在内只有一个零点，求的取值范围.18.（12分）如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若，求二面角的余弦值.19.（12分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（Ⅰ）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（ = 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。参考公式：其中。临界值表：参考数据：20.（12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．（Ⅰ）求轨迹的方程；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值21.（12分）已知函数，．（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（Ⅰ）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）求证：.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，x∈R.（Ⅰ）解不等式；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若对x，y∈R，有，，求证：.2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试理科数学答案1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11.C 12.A13. 14. 15. 16.①③.17.解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立 ，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ，当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.18.（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，平面的法向量，∵，平面，∴平面.（2），，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取得，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为.、19.解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关。（2）依题意，完善表格如下：计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为则数学期望为（或由，得20.（1）设，由题意，为线段的中点，即又在圆上，，即，所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，得到，即即有设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，将代入椭圆方程得：由相切的条件得解得，则所求直线为或，故与直线的距离为，则的面积的最大值为.21.（I）． ∴在内单调递减， ∴在内恒成立， 即在内恒成立．令，则，∴当时，，即在内为增函数；当时，，即在内为减函数． ∴的最大值为，∴（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，则在内有两根，，由（I），知． 由，两式相减，得．不妨设， ∴要证明，只需证明． 即证明，亦即证明． 令函数．∴，即函数在内单调递减．∴时，有，∴．即不等式成立． 综上，得．22.（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得，联立，得或，则点、，因此，线段的中点为；（2）由（1）得，，易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，，因此，.23.(1)∵,∴|2x－1|<|x|＋1,即 或或得或或无解．故不等式的解集为{x|0
2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数，则 A. B. C. D.2.设函数的定义域，函数的定义域为，则 A. B. C. D.3.命题“，使”的否定为 A. B.C.， D.，4.抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D.5.随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是 A. 9 B. 12 C. 15 D. 176.已知函数f(x)=2xf′(e)+lnx，则fe= A. -e B. e C. -1 D. 17.执行如图所示的程序框图，输出的的值为 A. B. C. D.8.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是 A. B. C. D.9.若向量，，则 A. B. C.3 D.10.函数的图象大致是 A. B.C. D.11.在四面体中，，，两两垂直，，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值 A. B. C. D.12.已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷 非选择题（90分）填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是______．14.函数在点处的切线方程为________．15.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______.16.若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若在内只有一个零点，求的取值范围.18.（12分）如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若，求二面角的余弦值.19.（12分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（Ⅰ）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（ = 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。参考公式：其中。临界值表：参考数据：20.（12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．（Ⅰ）求轨迹的方程；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值21.（12分）已知函数，．（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（Ⅰ）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）求证：.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，x∈R.（Ⅰ）解不等式；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若对x，y∈R，有，，求证：.2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试理科数学答案1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11.C 12.A13. 14. 15. 16.①③.17.解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立 ，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ，当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.18.（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，平面的法向量，∵，平面，∴平面.（2），，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取得，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为.、19.解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关。（2）依题意，完善表格如下：计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为则数学期望为（或由，得20.（1）设，由题意，为线段的中点，即又在圆上，，即，所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，得到，即即有设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，将代入椭圆方程得：由相切的条件得解得，则所求直线为或，故与直线的距离为，则的面积的最大值为.21.（I）． ∴在内单调递减， ∴在内恒成立， 即在内恒成立．令，则，∴当时，，即在内为增函数；当时，，即在内为减函数． ∴的最大值为，∴（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，则在内有两根，，由（I），知． 由，两式相减，得．不妨设， ∴要证明，只需证明． 即证明，亦即证明． 令函数．∴，即函数在内单调递减．∴时，有，∴．即不等式成立． 综上，得．22.（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得，联立，得或，则点、，因此，线段的中点为；（2）由（1）得，，易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，，因此，.23.(1)∵,∴|2x－1|<|x|＋1,即 或或得或或无解．故不等式的解集为{x|0
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