2020宜宾叙州区一中校高三下学期第四学月考试数学（理）试题含答案

2020年春四川省宜宾叙州区第一中学高三第四学月考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，，则

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，若复数满足，则

A． B． C． D．

3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是

A．乙的数据分析素养优于甲    B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C．甲的六大素养整体水平优于乙   D．甲的六大素养中数据分析最差

4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝

A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85

5．已知向量，，则

A．7 B．8 C． D．9

6．若，则实数之间的大小关系为

A． B． C． D．

7．函数的部分图象大致是

A．B．C．D．

8．若，则的值是

A．1 B．-1 C． D．

9．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

10．过抛物线：的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于，两点，若，则抛物线的方程为

A． B． C． D．

11．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，是的中点，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

12．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是

A．     B．    C．  D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高.某学校社会调查小组得到如下数据：

经计算年个人消费支出总额x与恩格尔系数y满足线性回归方程，则______.

14．若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．

15．海伦公式亦叫海伦—秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为______.

16．在四棱锥中，⊥底面，，，则四棱锥的外接球的表面积为_________.

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了人进行问卷调查，得到这人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分分）：

（1）找出居民问卷得分的众数和中位数；

（2）请计算这位居民问卷的平均得分；

（3）若在成绩为分的居民中随机抽取人，求恰有人成绩超过分的概率．

18．（12分）在中，角的对边分别为，.

（1）求的值；

（2）求的值.

19．（12分）如图，四棱锥中，，，，，PA=PD=CD=BC=1.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.

21．（12分）已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点A的切线与交于点N，求面积的最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程，并求的半径；

（2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点，求的面积.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知．

求不等式解集；

若时，不等式恒成立，求a的取值范围．

2020年春四川省宜宾叙州区第一中学高三第四学月考试

理科数学参考答案

1-5:DBCDC    6-10:ABBCC    11-12:CB

13．0.1   14．   15．   16．

17．（1）依题意，居民问卷得分的众数为，中位数为；

（2）依题意，所求平均得分为

（3）依题意，从人中任选人，可能的情况为，，，，，，，，，，其中满足条件的为种，故所求概率；

18．（1）因为，所以，所以，

所以，因为，所以；

（2）因为，

所以，，

所以.

因为，所以，故.

19．（1）（1）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，

∴BD，∠ABC，，∴，

∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，

∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，

∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO，

由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，

直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），

（﹣1，0，0），（，），

设平面PBC的法向量（x，y，z），

则，取z，得（0，，），

∵（，），

∴cos，

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

20．（1），

当时，在时，，为单调减函数；

在时，为单调增函数.当时，，为单调减函数.

当时，在时，，为单调减函数；在时，为单调增函数.

（2）由（1）知，当时，，

，令，则，解得，

∴y在单调递减，在单调递增，∴，∴，

即，∴.

21．（1）设，动圆半径为，因为动圆与圆外切，所以，

又动圆与直线相切，所以由题意可得：，

即，即，整理得：；所以抛物线的方程为.

（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，

故设直线的方程为：，联立消去可得，.

则.所以

. 

由，得，所以过点的切线方程为， 又，

所以切线方程可化为.令，可得,所以点,

所以点到直线的距离，

所以，当时，等号成立 所以面积的最小值为4.

22．（1）由，得，

即，此即为的直角坐标方程.的半径为.

（2），当时，的半径最小，

此时的方程为.

因为曲线经过的圆心，且，所以，

则，，故的面积为.

23．（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,   

所以|x＋1|2＞|2x－1|2,

整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，

故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．                                   

（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，

设g(x)＝f(x)－x，则,

由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞）．