2020定远县育才学校高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

育才学校2019—2020学年度第二学期期末考试

高二理科数学试卷  

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)

1.命题“若，则中至少有一个大于”的否命题为（    ）

A. 若中至少有一个大于，则

B. 若，则中至多有一个大于

C. 若，则中至少有一个大于

D. 若，则都不大于

2.已知复数满足方程（为虚数单位），则（    ）

A．      B．     C．     D．

3.已知命题,，那么是（   ）

A.     B.

C.     D.

4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制形式是（    ）

A.     B.     C.     D.

5.过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为 （    ）

A.                       B.                            C.                            D.

6.在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则 （      ）

A.                    B.                           C.                   D.

7.已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为（        ）

A.                           B.                       C.                           D.

8.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是(              )
A.        B.       C.       D.

9.曲线与直线围成的封闭图形的面积为(      )

A.           B.          C.                        D.

10.已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（     ）

A．             B．            C．              D．

11.已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形,AC、BD相交于点O , ,  ， E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持， 则动点P的轨迹的周长为  (      )   

A.                       B.                           C.                       D.

12.已知是定义在上的偶函数，且，当时， ，则不等式的解集是(      )

A.     B.         C.          D. 以上都不正确

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________．

14.已知双曲线（）的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为__________．

15.已知为椭圆上任意一点， 为圆的任意一条直径，则的取值范围是__________．

16.如图是函数的图象，给出下列命题：

①是函数的极值点

②1是函数的极小值点

③在处切线的斜率大于零

④在区间上单调递减

则正确命题的序号是__________.

三、解答题(共6小题,共70分)

17.（10分）已知命题，使得成立；命题：方程有两个不相等正实根；

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.

18. （12分）已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，求的面积．

19. （12分）双曲线的中心在原点，右焦点为,渐近线方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点.

20. （12分）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围．

21. （12分）已知直线与抛物线切于点，直线经过点且垂直于轴。

（1）求值；

（2）设不经过点的动直线交抛物线于点，交直线于点，若直线的斜率依次成等差数列，试问：直线是否过定点？若是请求出该定点坐标，若不是，请说明理由。

22. （12分）已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
（1）设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）判断函数f(x)的单调性．

参考答案

1.D     2.A   3.C   4.C   5.D   6.C  7.D  8.C  9.B  10.D  11.C   12.C

13.

14.

15.[5,21]

16.①③④

17.(1) ；(2) 或.

【解析】

（1）， 不恒成立.

由得.

（2）设方程两个不相等正实根为

命题为真

由命题“或”为真，且“且”为假，得命题一真一假

①当真假时，则得或

②当假真时，则无解；

∴实数的取值范围是或.

18.(1) （2）

解析:由得

所以    所以

又因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为

（2）解:设

由得

所以

到的距离

所以

19.（1）；（2）．

解析：（1）易知双曲线的方程是

（2）由，得

由，且得，且

设，因为以为直径的圆过原点，所以

所以，又

所以

所以解得

20.（1）函数的极大值为； 极小值为；（2）．

解析：（1），令得，．

∴函数的极大值为； 极小值为；（2）若存在，使得，则由（1）可知，需要（如图1）或（如图2）．

于是可得．

21.解析：（1）略解：

（2）直线恒过定点，证明如下：

由（1）可知直线的方程为，因为直线相交，所以，且

设点，将直线的方程与抛物线方程联立，可得，而同理因为直线的斜率依次成等差数列，所以，整理得，因为直线不经过点，所以，所以即，故直线的方程为，即直线恒过定点.

22.解：（1）∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.
（2）解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．
∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，
∴当0<x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．