2021蚌埠高三上学期第二次教学质量检查考试（二模）数学（文）试题含答案

蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试

数学（文史类）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数满足，则

A．  B． C． D．

2．已知集合，，则

A． B． C． D．

3．已知是等差数列的前项和，且，则

A． B． C． D．

4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数组成一个两位数，则其能被整除的概率是

A． B． C． D．

5．已知是三角形的一个内角，，则

A． B． C．  D．

6．函数的图象是

A．  B．  C．  D．

7．已知双曲线，离心率，则双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

8．某校随机调查了名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：

附：

参照附表，得到的正确结论是

A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”

C．有以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”

D．有以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”

9．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为

A． B． C． D．

10．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，所得图象对应函数的解析式可以为

A． B． C． D．

11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为

A． B． C． D．

12．已知函数函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则函数在区间上零点的个数为

A． B．  C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知实数，满足目标函数的最大值为________．

14．已知单位向量，满足：，则向量与向量的夹角________．

15．已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于，两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________．

16．在中，角，，的对边分别为，，，若，外接圆周长与周长之比的最小值为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知数列中，，，其前项和，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）

为了满足广大人民群众日益增长的体育需求，年月日（全民健身日）某社区开展了体育健身知识竞赛，满分分．若该社区有人参加了这次知识竞赛，为调查居民对体育健身知识的了解情况，该社区以这名参赛者的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将成绩整理后分成五组，依次记，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）请补全频率分布直方图并估计这名参赛者成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）采用分层抽样的方法从这人的成绩中抽取容量为的样本，再从该样本成绩不低于分的参赛者中随机抽取名进行问卷调查，求至少有一名参赛者成绩不低于分的概率．

19．（12分）

如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，，．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

20．（12分）

设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值．

21．（12分）

已知函数有两个极值点，，且．

（1）求实数的取值范围，并讨论的单调性；

（2）证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4─4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）由直线（为参数，）上的点向曲线引切线，求切线长的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）若时，解不等式：；

（2）若关于的不等式存在实数解，求实数的取值范围．

蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试

数学（文史类）参考答案及评分标准

一、选择题：

二、填空题：

13． 14． 15． 16．

三、解答题：

17．（12分）

解：（1）由题意知，，

从而，即，···································································2分

∵，

∴数列是以为首项，公差为的等差数列，············································4分

∴；········································································ 6分

（2）·······································································8分

∴·········································································10分

···········································································2分

18．（12分）

解：（1）成绩落在的频率：

，·········································································· 2分

补全的频率分布直方图如图：

···········································································4分

样本的平均数：

（分）······································································· 6分

（2）由分层抽样知，成绩在内的参赛者中抽取人，记为，，，，成绩在内的参赛者中抽取人，记为，，则满足条件的所有基本事件为：

，，，，，，，，，，，，，，，共个，············································8分

记“至少有一名参赛者成绩不低于分”为事件，则事件包含的基本事件有：

，，，，，，，，共9个．······················································10分

故所求概率为．······························································12分

19．（12分）

解：（1）证明：在平面中，过作于，交于，连接，

由题意知，且，

∴，，······································································· 3分

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面．····································································6分

（2）由题意知平面，∵平面

∴平面平面，

在平面内过点作交于，

则平面，

∵，

∴，，······································································S分

设点到平面的距离为，

则由得，

由题意知，，

：，·······································································10分

代入，

解得即点到平面的距离为．······················································12分

20．（12分）

解：（1）∵点在圆内

∴圆内切于圆

∴

所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，从而，

∴点的轨迹的方程为····························································5分

（2）设，

若直线斜率存在，设，

联立，

整理得：，

，，①······································································6分

∵

∴，①

化简得······································································8分

即，

故原点到直线的距离为，·······················································10分

若直线斜率不存在，设，

联立

解得，，代入①化简得，

即原点到直线的距离为，·······················································11分

综上所述，原点到直线的距离为定值．·············································12分

21．（12分）

解：（1）∵，

令，其对称轴为，

由题意知，是方程的两个不相等的实根，

则··········································································2分

∴··········································································4分

当时，，∴在内为增函数；

当时，，∴在内为减函数；

当时，，∴在内为增函数；······················································6分

（2）证明：由（1）知，，

，··········································································8分

令，

则；

∴在上单调递增，····························································10分

故．

从而·······································································12分

22．（10分）

解：（1）由，，

可得，······································································2分

∵，，，

∴曲线的直角坐标方程为．······················································5分

（2） ∵直线的参数方程为：（为参数，），

∴直线上的点向圆引切线长是

···········································································7分

，

∴当时，切线长最小值为．······················································10分

23．（10分）

解：（1）时，所解不等即为：，··················································2分

两边平方解得，

∴原不等式解集为．····························································5分

（2）存在实数解，

即存在实数解，

令，即，····································································7分

，

当时等号成立，∴，解得．······················································10分