2021滁州定远县育才学校高三3月月考数学（理）试题含答案

育才学校2021届高三下学期3月月考试卷

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 若全集集合，或，则     

A.  B. 或
C.  D.

2. 已知复数z满足，则的最小值为   

A.  B.  C. 3 D. 2

3. 若，则的值为     

A.  B.  C.  D.

4. 定义在R上的奇函数满足，则     

A.  B. 0 C. 1 D. 2019

5. 已知，F是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为   

A.  B. 4 C.  D.

6. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是

A. 8；
B. 5；
C. 3；
D. 2

 

7. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：

，，，则；

，，，则；

；

若，则

其中正确的命题个数有   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知，，，则（     ）

A.  B.  C.  D.

9. 在的展开式中，第5项与第7项的二项式系数相等，则n等于（      ）

A. 9             B. 10      C. 11              D. 12

10. 已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为

A.  B.  C.  D.

11. 我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一般。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为   

A.    B.  C.  D.

12. 已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 

A. 11 B. 9 C. 7 D. 5

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设x，y满足约束条件，则当取得最大值时，______．
14. 若函数在与处都取得极值，则________；
15. 在数列中，，，则通项公式______．
16. 抛物线上的点到直线的最短距离为，则正数p的值为_____________________。

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （12分）中华人民共和国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等位代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了目前中国制造的飞跃式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量服从正态分布，并把质量在内的产品称为优等品，质量在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量的样本数据统计如下．

根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量，求的近似值以及该企业生产的产品为正品的概率P；同一组中的数据用该组区间的中点值代表

假如企业包装时要求把2件优等品和3件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出2件产品进行检验，记摸出2件产品中优等品的件数为Y，求Y的分布列以及数学期望．

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
 

18. （12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

Ⅰ求角B的余弦值；

Ⅱ若，当的周长最大时，求的面积．
 

19. （12分）如图，在三棱柱中，D是AC的中点，，，．

证明：平面；

若，，求与平面所成角的正弦值．
 

20. （12分）已知椭圆L：的一个焦点与抛物线的焦点重合，点在L上．

Ⅰ求L的方程；

Ⅱ直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

 

21. （12分）已知函数．
    若，求的单调区间；
    证明：．
    
    
    
    
    
    
     

22.（10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，直线的方程为以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线和直线的极坐标方程；
若直线与曲线交于A，B两点，求．

 

23.（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

当时，解不等式；

已知，，的最小值为m，且，求的最小值．

答案

1.D   2.A   3.D   4.B   5.A  6.C   7.C   8.B   9.B   10.B  11.C   12.B
13.4   14.    15.      16.6
17.解:(1)由题意,=0.01010+0.02010+0.04510+0.02010+0.00510=70,即70，
样本方差=100,故σ=10,所以X~N(70,),
所以该企业生产的产品为正品的概率P=P(60< X≤90)=P(60< X≤70)+P(70< X≤90)
=(0.6827+0.9545)=0.8186.
（2）由题意,随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,

所以E(Y)=0+1+2=.
18.解：Ⅰ依题意，，
所以，
即，
所以．
因为A是三角形的内角，所以，
所以．
Ⅱ因为，，
即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
又，所以，
所以当的周长最大时，．
19.证明：连接，，再连接DE．
因为侧面是平行四边形，
所以E是的中点．又D是AC的中点，故DEC.
因为，，
所以平面．

解：连接，由已知，D是AC的中点，，
可知是边长为2的等边三角形，故．
又因为，，因此是直角三角形，
所以又，故A，
所以．
又，AC，平面ABC，
所以平面ABC．
考虑到，故以D为坐标原点，射线DB、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，0，，1，，，
进而有，，
设平面的一个法向量为，
由得
令，得．
而，
设与平面所成角为，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
 

20.Ⅰ解：抛物线的焦点为，
由题意可得，即，
又点在L上，可得，
解得，，
所以椭圆L的方程为；
Ⅱ证明：设直线l的方程为，
，，
将直线代入椭圆方程，可得，
，
所以AB的中点M的横坐标为，纵坐标为，
直线OM的斜率为，
所以，
则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
 

21.解：时，函数．
．
令，则，
函数在上单调递增．
又．
时，，此时单调递减；时，，此时单调递增．
函数的单调递减为；单调递增为．
证明：．
由可知：在上必有唯一零点，设为，则．
当时，，此时单调递减；时，，此时单调递增．
．
由，可得：，．
．
．
 

22.解：消去参数，得曲线的普通方程为，
则的极坐标方程为．
由于直线过原点，且倾斜角为，
故其极坐标方程为；
由，
得，
故，，
所以．
 

23.解：当时，

则等价于
或或
解得，
所以不等式的解集为；
因为
，
所以，
所以，
即，

，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4．