2021滁州定远县育才学校高三下学期最后一模数学（理）试题含答案

育才学校2021届高三下学期最后一次模拟检测

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，的夹角为，，，则

A.  B. 1 C.  D. 2

3. 某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高年全年总收入与2018年全年总收相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化而发生了相应变化如表给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是

A. 该企业2019年设备支出金额是2018年设备支出金额的一半
B. 该企业2019年用于研发的费用是2018年用于研发的费用的五倍
C. 该企业2019年支付工资金额与2018年支付工资金额相当
D. 该企业2019年原材料的费用是2018年原材料的费用的两倍

4. 马林梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士他在欧几里得、费马等人研究的基础上，对做了大量的计算，验证工作人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，把形如其中p是素数的素数，称为梅森素数若执行如图所示的程序框图，则输出的所有梅森素数的和为

A. 676 B. 165 C. 158 D. 2212

5. 已知函数，，若恰有1个零点，则a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

6. 已知P为圆上任一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值为

A. 9 B.  C. 3 D.

7. “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符号，用“一”、“一一”两种“爻”的符号代表阴阳，“”称为阳爻“一一”称为阴爻阴阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦两个八卦叠加而成64卦，比如图中损卦，即为阳爻占据1，5，6三个位置，阴爻占2，4，5位从64卦中任取1卦，阳爻个数恰为2且互不相邻的概率

A.  B.  C.  D.

8. 正项等比数列中，已知，那么

A. 4042 B. 2021 C. 4036 D. 2018

9. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

10. 已知，分别是椭圆E：的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若，则椭圆E的离心率为

A.  B.  C.  D.

11. 函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

12. 在西游记中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过PB的中点M到，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，，底面圆O的面积为，为底面圆O的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 在的展开式中，含项的系数为______ ．
14. 若x，y满足约束条件，则的最大值______ ．
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为______ ．
16. 若函数在上存在唯一零点，则实数a的取值范围是______ ．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （12分）已知等腰中，，D是AC的中点，且．
    若，求的面积；
    若，求sinC．
    
    
     
18. （12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图：
    求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
    小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：

Ⅰ根据数据求m关于n的线性回归方程；
Ⅱ若是中的平均值，则当天被称为“有效运动日”估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
附；在线性回归方程中，，．

19. （12分）如图，在直三棱柱中，点D，E分别为AC和的中点．
    证明：平面；
    若，，求二面角的余弦值．

20. （12分）如图，椭圆C：经过点，离心率，直线l的方程为．
    求椭圆C的方程；
    是经过右焦点F的任一弦不经过点，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

21. （12分）已知函数．
    讨论函数的单调性；
    当时，若，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 选修4 - 4：坐标系与参数方程（10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
Ⅱ设直线l与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．



 

23.选修4-5：不等式选讲（10分）

已知函数，．
当，时，求不等式的解集；
若的最小值为4，求证：．





 

答案解析

1.C【解析】，，，
，或，，
，故选：C．
2.B【解析】向量，的夹角为，，，
可得，
所以，
，
解得负值舍去．故选：B．
3.B【解析】由折线图可知：不妨设2018年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，
对于选项A，该企业2019年设备支出金额为，2018年设备支出金额为，故A错误；
对于选项B，该企业2019年用于研发的费用时，2018年用于研发的费用时，故B正确；
对于选项C，该企业2019年支付工资金额为，2018年支付工资金额为，故C错误；
对于D选项，该企业2019年原材料费用为，2018年原材料费用为，故D错误．故选：B．
4.D【解析】由题意，模拟程序的运行，可得
，，输出7，满足，
，，输出31，满足满足，
，，输出127，满足满足，
，9不是素数，
，11是素数，，输出2047，11不满足，结束，
所以输出梅森素数和．故选：D．
5.A

【解析】

解：由得，
，
，即是的一个零点，
若恰有1个零点，
则当时，函数，没有其他根，
即，没有根，
当时，设，此时函数为增函数，
则，即此时，
当时，，，此时为减函数，
此时，且，即，
作出函数的图象如图：
则要使，没有根，
则或，
即实数a的取值范围是，故选：A．
6.B【解析】根据圆的方程，圆心到直线的距离，
所以圆上的点P到直线的最大距离，
所以．故选B．
7.D【解析】从64卦中任取1卦，基本事件个数，
阳爻个数恰为2且互不相邻包含的基本个数，
阳爻个数恰为2且互不相邻的概率．故选：D．
8.B【解析】正项等比数列中，，
，




．故选：B．
9.D

【解析】由题意知函数的定义域为R，且，
所以为R上的奇函数，又，
故在R上单调递增；
令，则，
当时，由，，得，
所以在上单调递增，又为R上的偶函数，
故，
所以，故选：D．
10.C

【解析】不妨设点M为椭圆短轴的上端点，
且，，设点N的坐标为，
则，
由可得：，即，
所以点N的坐标为，
代入椭圆方程可得：，解得，
所以椭圆的离心率为，故选：C．
11.D

【解析】由，可知当时，，排除A，C；
当时，由指数爆炸可知，则，排除B．
故选D．
12.A
 

【解析】解：如图，建立以OM为x轴，过M作MN平行以MN为y轴的直角坐标系，

设抛物线方程为，
底面圆O的面积为，所以，，
在中，，
又因M为PB中点，故，
，
，
，故选：A．
13.100

【解析】解：展开式中通项为：，
在的展开式中，含项的系数为：．故答案为：100．
14.3

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，，
由，得，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为．
故答案为：3．
15.

【解析】解：因为，由正弦定理可得，
又，
可得，可得，
因为，可得，
可得，
可得





，
因为，可得，可得，
可得．故答案为：．
16.

【解析】解：当时，函数的零点为，满足题意；
当时，时，，函数的对称轴不在区间内，
函数在上存在唯一零点，
，可得，且，
函数它的对称轴为，
函数的对称轴在区间内，可得：即：
，
解得．
函数在上存在唯一零点，则实数a的取值范围是：．
故答案为：．
17.解：因为，D是AC的中点，且，，
所以在中，由余弦定理可得，可得，
所以．
设，由题意可得，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
所以，解得，
所以，
可得．
 

18.解：，．
．
Ⅰ，，
，
，
，，
关于n的线性回归方程为．
Ⅱ当时，，估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．
 

19.证明：取BC中点M，连接MD、ME，
又因为点D为AC中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为为直三棱柱，所以四边形为矩形，
又因为E为中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
又因为平面MDE，所以平面．
解：因为，，，所以BA、、BC两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，因为，
所以，，，
设平面ABE和平面ADE的法向量分别为y，，v，，
，令，0，，
，令，，2，，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
 

20.解：椭圆C：经过点，可得  ，
由离心率得，即，又，
解得，，
故椭圆的方程为
由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为，
代入椭圆方程并整理得
设，，
，，
在直线AB中，令得，M的坐标为，
从而，，
注意到A，F，B共线，则有，即有
所以
，
得
又，所以
故存在常数符合题意．
 

21.，函数的定义域为，
当时，，在上单调递增，没有减区间；
当时，令，得，此时函数的增区间为，减区间为；
，可化为，
若，取，，不合题意，故a必为正数，
不等式，化为，
令，有，
由函数的定义域为，令有，
可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，得，
当时，，可得；
当时，令，有，可得函数单调递增，又由，可得，
由上知．
 

22.解：Ⅰ直线l的参数方程为为参数，，转换为普通方程为．
曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
Ⅱ把直线l的参数方程为为参数，，代入，
得到：，
所以，，
故，
点到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为．
 

23.解：当，时，，
当时，等价于，解得，此时的解为；
当时，恒成立；
当时，等价于，解得，此时的解为；
综上，所求不等式的解集为；
证明：由绝对值三角不等式可得，当且仅当时等号成立，
又的最小值为4，故，则，
，
当且仅当时取等号，原命题得证．