安徽省舒城中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

这是一份安徽省舒城中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

舒城中学2022-2023学年度第一学期第二次统考
高二数学
（总分：150分 时间：120分钟）
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1. 直线的倾斜角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2. 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则 （ ）

A． B． C． D．
3. 在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
4. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为 （ ）
A．4 B． C．5 D．
6. 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7. 已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8. 如图所示，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成，若为线段的中点，则在翻转过程中，则下列命题错误的是 （ ）

A．是定值
B．点在圆上运动
C．一定存在某个位置，使
D．一定存在某个位置，使平面

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图像可能是 （ ）
A． B．
C． D．
10. 如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是 （ ）
A．
B．平面
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥体积不变




11. 已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是 （ ）
A． B． C． D．
12. 在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是 （ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 直线过点，且与直线平行，则直线的一般式方程为______．
14. 若三个向量，，共面，则实数m的值为______．
15. ，动直线过定点A，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________
16. 已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为___________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分）设常数，已知直线：，：．
（1）若，求的值；
（2）若，求与之间的距离．

18. （本题满分12分）某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：

（1）求的值；
（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．

19. （本题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．

20. （本题满分12分）（本题使用几何方法）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．

（1）若，求证：平面；
（2）若是的中点，求二面角的余弦值．

21. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程.

22. （本题满分12分）（本题使用向量方法）如图，四棱锥中，，，是正三角形.

（1）求证：平面底面.
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为30°，求二面角的余弦值.
舒城中学2022-2023学年度第一学期高二第二次月考
数学试卷
（总分：150分 时间：120分钟）
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．直线的倾斜角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围.
【详解】易得斜率必存在，设的倾斜角为且，
由可得斜率，
因为，所以，
所以，即，
所以
故选：C
2．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】，．
，
故选：．
【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
3．在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正三棱柱的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，的中点，连接，则
∥，，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
所以，
设直线与所成角为，则
，
所以直线与所成角的余弦值为，
故选：D

4．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可
【详解】设直线的倾斜角为，则，
又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，
所以直线的倾斜角为，
故直线的斜率为，
故直线的方程是，即，
故选：D．
5．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解.
【详解】如图所示

由题意可知，，
因为为的中点，所以,
所以，
当时，取最小值，此时取最大值，
所以的最大值为4.
故选:A.
6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（    ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．
【详解】由条件，知．

，
，即，
所以二面角的大小为

故选：C．
7．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
8．如图所示，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成，若为线段的中点，则在翻转过程中，则下列命题错误的是（    ）

A．是定值
B．点在圆上运动
C．一定存在某个位置，使
D．一定存在某个位置，使平面
【答案】C
【解析】A正确，利用余弦定理得 是定值；
B正确，是在以为圆心，为半径的圆上；
C错误，当矩形满足时存在，其他情况不存在；
D正确，取中点，证明平面.
【详解】A正确，，定值，定值，
根据余弦定理得，，所以是定值；
B正确，由于是定值，是定点，所以是在以为圆心，为半径的圆上；
C错误，当矩形满足时存在，其他情况不存在，
D正确，取中点，连接、，则、，所以平面平面，因为平面，所以平面.
故选：C.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项B的真假，判断选项B的真假时，要利用选项A的结论，再结合圆的定义得解.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】首先假定每个选项中的图像正确，则可得正负，由此可确定图像所经过的象限，对比选项中的图像即可得到结果.
【详解】对于A，若图像正确，则，，图像经过第二、三、四象限，A正确；
对于B，若图像正确，则，，图像经过第一、三、四象限，B错误；
对于C，若图像正确，则，，图像经过第一、二、三象限，C正确；
对于D，若图像正确，则，，图像经过第一、二、四象限，D错误.
故选：AC.
10．如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（    ）

A． B．平面
C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变
【答案】ACD
【分析】以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，设出动点M，N的坐标，利用空间向量运算判断选项A，B，C，利用等体积法的思想判断选项D即可得解.
【详解】在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：

A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，，
，而
则，
对于A选项：，则，，A正确；
对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；
对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，
三棱锥体积为定值，即D正确.
故选：ACD
11．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.
【详解】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，
当直线时，的斜率为， 的方程是，
即；
当直线经过线段的中点时，的斜率为，
的方程是，即，
故选：AC
12．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
【答案】ACD
【分析】对于A，可知点在线段上，易证平面平面，利用线面平行的性质可证得结论；对于B，可证得点为中点，此时可判断； 对于C，可知三点共线，线段在中，利可求得距离最小值； 对于D，设点在平面内的射影为Q在线段上，则为所求角，求，可判断结果.
【详解】对于A，当时，，即点在线段上，利用正方体的性质，易证平面平面，平面，平面，故A正确；

对于B， 当时，，设的中点为H，则，即，即点为中点，此时，故B错误；

对于C，当时，可知三点共线，线段在中，当点为中点时，最小，此时，，故长度的最小值为，故C正确；

对于D，当时，可知三点共线，点在平面内的射影为Q在线段上，则为与平面所成的角，，又，所以，而，所以与平面所成的角不可能为，故D正确；

故选：ACD
【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角；
（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.


第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线过点，且与直线平行，则直线的一般式方程为______．
【答案】
【分析】先利用平行假设直线为，再将代入即可得到答案
【详解】解:因为直线与直线平行，所以假设直线为,
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的一般式方程为，
故答案为:
14．若三个向量，，共面，则实数m的值为______．
【答案】21
【分析】根据向量共面基本定理即可求解.
【详解】，，共面，则存在实数，使得，即，
故答案为：21
15．，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________
【答案】
【详解】由条件得直线过定点，直线过定点，且．
又直线，
所以,
∴，当且仅当时等号成立，
∴，即周长的最大值为．
答案：
16．已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为___________.
【答案】
【分析】球的半径即为到直线的距离也即底面正三角形的高，为球心，求出半球的体积即平面上方的半个球的体积，而位于正三棱柱内部的部分是在两平面和平面所夹锐角的部分，占半球的，由此可得体积．
【详解】如图，
正三棱柱的各棱长均为，
以A为球心与棱相切的球的半径为，
则以平面为截面的上半球的体积为.
又，
球A位于正三棱柱内的部分的体积为.
故答案为：.


四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设常数，已知直线：，：．
(1)若，求的值；
(2)若，求与之间的距离．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．
（1）
根据题意，直线：，：，
若，则，解可得a
（2）
根据题意，若，则有，解可得或，
当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，
当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离
18．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
【答案】(1)分；
(2)分；
(3).

【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；
利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；
利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率.
（1）
解：由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．
（2）
解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.
（3）
解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，
分数段的人数为 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点
而的对立事件包含个样本点
所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用正弦定理角化边，再借助余弦定理计算作答.
（2）利用正弦定理将周长表示为角C的函数，由（1）及锐角三角形条件结合三角函数变换和性质求解作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
整理得：，由余弦定理得：，而，解得，
所以.
(2)
由（1）知，即，因为锐角三角形，即，解得，
由正弦定理得：，
则，
当时，，，而，
即，因此，，则，
所以周长的取值范围是.

20．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．

(1)若，求证：平面；
(2)若是的中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接交于，连接，则可得∽，得，再结合已知可得，则∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）过作于，过作于，连接，可得是二面角的平面角，从而可求得结果
（1）
证明：连接交于，连接，
因为∥
所以∽，
所以，
因为，
所以,
所以∥,
因为平面平面
所以∥平面

（2）
过作于，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面，
因为平面，所以
过作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，
所以
所以是二面角的平面角，
不妨设，则，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以

21．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设点B的坐标为，中点M的坐标为，点B在直线上，点M在直线上，列方程求解即可；
（2）点A关于直线的对称点为，根据对称列方程求解点的坐标为，再由点斜式即可得解.
【详解】（1）设点B的坐标为则中点M的坐标为
依题意可知，点B在直线上，点M在直线上
则有解得，
即点B的坐标为
（2）设点A关于直线的对称点为，
则在直线上
设点的坐标为，则点的中点坐标为
则有解得
即点的坐标为
直线的斜率为
所以直线的直线方程为
化简得：
即直线的方程为.
【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，涉及中点坐标的运算及点线对称的求解，属于中档题.
22．如图，四棱锥中，，，是正三角形.

（1）求证：平面底面.
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为30°，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由条件可证明平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，,得，
又,
所以.
因为
所以在三角形中，,
所以.
因为，，
所以
所以.
因为，所以平面.
因为底面，所以平面底面.
（2）根据（1），以为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，.
设，可得，于是.
取底面法向量为，则，，可得或(舍去)，.
设平面法向量为，因为，则，，得，取.
，二面角平面角是钝角，
故二面角的余弦值是.